王邱玉

摘要：利用几何画板探究函数问题在教学上有很大的价值。二次函数是初中数学教学的重点内容，学好二次函数，对学生在高中学习圆周曲线有一定的帮助。通过设计一系列的例题，从所有学生掌握的基础题型出发，再通过几何画板探究分析动态问题，随着题目的改变，不断发展学生的探索和推理能力，题目的层层深入符合学生思维的发展规律，这对二次函数学习的通性通法有很大的帮助。同时，还能引导学生通过构造思想去解决多种问题。

关键词：几何画板;二次函数最值问题;数形结合

一、几何画板在函数教学中应用的可行性、必要性与教学价值分析

函数的性质是通过图象归纳总结出来的，因此，用好图象是解决函数问题的关键。图象能使抽象的数学问题变得具体、形象，使复杂的“数”通过直观的“形”来表示。因此，我们若能利用好数形结合的数学思想方法，就可有效解决函数问题。

现今计算机技术在教学中的应用已越来越普遍，计算机技术的运用不仅可以有效提高教学效率，还可很好地调动学生学习的积极性。作为优秀的教学软件，几何画板可以动态计算、展示几何模型及几何对象运动变化规律，正是实现“数形结合”思想的有效辅助教学工具。几何画板与数学教学有机结合，可以使教学内容更生动形象，并且富有多样性与趣味性，有助于学生建构数学知识尤其是函数知识体系。在“浙教版”九年级上册第一章二次函数的阅读材料部分“探索函数y=ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”的教学中，我向学生引入了几何画板。几何画板可动态研究参数对函数图象变化的影响，其在数学教学尤其是函数教学中的应用已势在必行。

从教上看，几何画板能更便捷地将数学知识形象化，便于教师的教学;从学上看，学生通过几何画板的演示，一方面可以更清晰明了地理解函数及动态问题，另一方面有利于他们清晰地把握问题，由静到动，利用几何画板学会探究函数的方法，学会研究新问题的方法。通过几何画板在学习中的应用，学生能够提高分析问题的能力，逐渐学会用数学眼光观察世界，逐步具备探究新问题的能力，培养学生数学建模的核心素养。

二、二次函数最值问题研究的必要性

考纲要求学生能确定简单实际问题中的函数的自变量的取值范围及函数值范围，能结合对函数关系的分析对变量的变化情况进行初步讨论，利用函数解决实际问题。近几年各地的中考试题也往往围绕二次函数的相关知识点，通过联系实际问题和含参问题考查函数的最值。

在教学中，我发现学生其实都知道数形结合是解决函数问题的重要方法，也知道图象很重要，但总是不习惯或者说不知道该如何用图象来解决问题。因此，利用几何画板帮助学生分析此类问题，并培养学生具备通过数形结合解决函数问题的能力已迫在眉睫。教师应通过研究二次函数的最值问题，使学生掌握解决函数问题的通性通法。

三、几何画板在二次函数最值问题中的应用浅析

（一）分析缘起

分析缘起于2015年天津中考第25题：

已知二次函数 y=x2+bx+c（b，c为常数）.

（1）当b=2，c=-3时，求二次函数的最小值;

（2）当c=5时，若在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式;

（3）当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式.

第一小题是直接考查二次函数的最值，学生可利用公式或将函数变形为顶点式求取，较为简单。第二小题需要求解参数b，其中关键条件为“只有一个自变量x的值与其对应”，“此时”即考查二次函数图象的对称性，根据图象可知“此时”即为函数最值。解决此小题需要通过函数图象来帮助记忆函数的性质，难度中等。而第三小题不仅给定了自变量的取值范围，同时还在取值范围中增加了参数，大大提高了难度，但若是能通过几何画板对问题进行动态分析，问题便迎刃而解。

此题的核心考点为二次函数的最值问题，难点除了增加了参数，还在于函数本身的最值并不一定处于自变量的取值范围内。因此，学生若不能通过图象来分析自变量的取值范围与函数图象的关系，而是仅仅通过背公式来求解，就会出现错误。

（二）设计理念

通过改编课本例题，我设计了一个课前小测：“某农场拟建四间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长20 m），中间用三道墙隔开。已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m，求这四间饲养室的总占地面积的最大值。”批改之后，我对学生的解答情况进行了统计，发现解析式正确率高达87%，取值范围正确率为56%，最值正确率为48%，利用图象解决的同学为8%。

由以上数据我们不难发现，学生的问题其实主要体现在没有关注到取值范围，能正确求出取值范围的学生往往最终能正确求解，这是由于他们关注到了取值范围与最值之间的关系。但是可惜的是，这两项的正确率较低。归根结底，大部分学生在求解二次函数的最值问题时，仍停留在套取公式的阶段，而不能真正理解最值是如何产生和发现的。更可惜的是，能利用图象来解决最值问题的学生少之又少。如果能利用图象，运用数形结合，更好地分析函数自变量的取值范围及对称轴是否在自变量取值范围内对最值产生的影响，学生便能较好地解决二次函数的最值问题。学生其实都知道数形结合是解决函数问题的重要方法，也知道图象很重要，但总是不习惯或者说不知道该如何用图象来解决问题。

为解决这一问题，我将题目层层剖析，追本溯源，以培养学生利用图象，通过数形结合的数学思想方法来解决函数问题的能力和习惯。由此，我设计了一系列的题目，一方面培养学生通过数形结合解决函数问题的能力和习惯;另一方面，通过研究二次函数的最值问题，使学生掌握解決该问题的通性通法。

（三）课堂实践

首先，我们回归到问题的本质，在给定自变量取值范围下求解二次函数的最值，我设计了例题1：请分别求出在下列条件下，函数y=x2-4x+2的最小值和最大值：（1）x取任意实数;（2）-2≤x≤3;（3）-2≤x≤1.

在解决例1的第（2）（3）两问时，学生往往容易被思维定式主导，直接考虑最小值在顶点处求得、最大值在端点处求得，而未考虑对称轴是否在取值范围内，因此出错率极高。此时，我们若能利用几何画板，通过对取值范围进行动态变化，就能让学生直观地看到自变量的取值范围对函数图象和函数最值的影响。因此，我在几何画板中制作了y=x2-4x+2的函数图象，并设计了一段取值范围为-2≤x≤a的对应函数，将数据a进行拖动，使学生看到自变量取值范围是如何影响函数最值的。

通过几何画板的观察及之后的探讨分析，一方面，学生可以体会到用图象解决最值问题的便利性与必要性;另一方面，学生在探究解题时会思考该如何用图象以及在使用图象时应关注什么，即对称轴与取值范围的关系。

之后，我将例1进行了两次变形，将题目由静到动进行了变形。一个是在取值范围上增加参数，即例2：当-2≤x≤a时，求函数y=x2-4x+2的最值（可用a表示）;另一个是在解析式上增加参数，即例3：当-2≤x≤1时，求函数y=x2-4mx+2的最小值（可用m表示）。

这两个板块的设计意图有以下三点。首先，我希望通过不断地重复强化，让学生逐渐习惯用图象来解决问题;其次，也让学生感悟到无论题目如何变化，解决这类问题的方法是不变的，利用图象可以帮助我们化难为易、化繁为简;再次，层层递进，逐渐增加题目的难度，更设置了终结挑战题，以满足不同能力学生的需求，让所有学生都能获得提高。

例2看似与例1的几何画板演示一样，那么为何要设计例2呢？这并不是多此一举。要知道，学生在考试时是不可能利用几何画板来解决问题的，因此，几何画板在教学中的作用主要是让学生直观感悟图象，并理解动态变化对图象所带来的影响。在用完几何画板之后，一定要及时地让学生进行相似题的练习，从而将几何画板中感悟到的直观经验转化为自身的实践经验，这样才能使学生真正学会用图象解决最值问题。

当例3展示给学生时，它又给学生带来了新的难点冲击。它从自变量范围的变化转变成了解析式的变化。此时，我们就要再一次引入几何画板。这次，我在几何画板中制作了y=x2-4mx+2的函数图象，并设计了一段取值范围为-2≤x≤1的对应函数。在几何画板中我们可以清楚地看到，这个动态函数的变化实际上主要源于对称轴x=2m的变化，因此我们可以将x=2m进行拖动。

我通过这次几何画板的演示，一方面，通过不断地重复强化，让学生逐渐习惯用图象来解决问题;另一方面，也让学生感悟到无论题目如何变化，解决函数问题的方法是不变的，利用图象可以帮助我们化难为易、化繁为简。

对应地，我又设计了一个变式：当-2≤x≤1时，函数y=-（x-m）2+m2+1的最大值为4，试着求m的值。让学生真正内化通过几何画板所掌握的利用数形结合的数学思想方法解决函数最值问题。

经过一系列层层递进、步步深入的训练，学生已能初步利用图象来分析问题，并能抓住问题变化过程中的不变性，通过研究对称轴与自变量取值范围之间的关系来突破解决问题的难点。根据之前两次利用几何画板观察分析问题的经验，我们可以发现前文提到的2015年天津中考第25題的第（3）小题可以分三类进行作图讨论，分别是：对称轴在取值范围左侧，对称轴在取值范围内，对称轴在取值范围右侧。接下来，可以根据图形分别求出三种情况下的函数最小值，根据已知最小值为21即可求出b的值，进而求出二次函数的解析式。

四、总结

我们不难发现，利用几何画板帮助学生分析二次函数的最值问题，不仅能培养学生利用数形结合解决函数问题的能力和习惯，还能充分调动学生学习的积极性。笔者设计一系列的例题，从所有学生掌握的基础题型出发，再通过几何画板不断探究分析新的动态问题。随着题目的改变、深入，一方面能满足不同层次学生的需求;另一方面，层层深入的改变更符合学生的发展规律，在课堂中不断发展学生的探索和推理能力，这对二次函数学习的通性通法有很大的帮助。

一系列的探究过程，能够引领学生利用几何画板分析函数问题及动态几何问题。这样，我们通过研究二次函数的最值问题，不仅可以使学生掌握解决最值问题的方法，更可使学生掌握解决、探究函数问题的通性通法，为学生研究动态问题（含几何动态问题）打开了新的思路，对学生后续学习圆周曲线也会有帮助。

此外，利用几何画板教学，有利于学生对问题有清晰的把握。通过由静到动地利用几何画板探究函数问题，学生学会了研究新问题的方式。通过几何画板在教学中的应用，学生能够提高分析问题的能力，逐渐学会用数学眼光观察世界，逐步具备探究新问题的能力，最终形成“数学建模”的核心素养。

我们平时在教学中可以多利用几何画板让学生形象直观地感知复杂抽象的数，帮助学生构建函数及几何的知识体系，引领学生学会自己探究数学问题，充分调动学生的学习积极性。这对教学实践有极其重要的意义，对学生后续的探究学习有着极其深远的影响。

参考文献：

[1]王素敏.数形结合思想在初中教学中的应用[D].上海：上海师范大学，2019.

[2]宋月茹.对数形结合思想在初中函数教学中的作用分析[J].新课程（中学），2018.

[3]易良斌.中学数学教与学：研究与引领[M].北京：光明日报出版社，2015.

（责任编辑：韩晓洁）