宋鸿芳，褚宏睿，张文思

(1.河北经贸大学管理科学与工程学院，河北 石家庄 050061；2.首都经济贸易大学管理工程学院，北京 100070；3.中国海洋大学经济学院，山东 青岛 266100)

1 引言

病床是医院重要的医疗资源之一，病床资源的合理配置直接影响到医院的收入水平，术前检查、术后恢复等医疗活动都需要病床资源，因此病床资源是医院运营管理的重点之一。高效的运营管理，不仅能提高病床资源的使用效率和医院的经济效益，还有助于患者早日康复。当前，国内外的很多医院普遍存在病床不足的压力[1]，而随着老龄化进程的加快，我国的病床资源正面临着前所未有的压力。在医疗资源相对紧张的情况下，医院通过信息技术和流程优化，从一定程度上提高了医疗服务效率，但并未从本质上改变供需不足的矛盾。同时，由于病床资源涉及到财务、医护人员配置和场地等诸多问题，短时间内病床数量很难有较大提升[2]。因此，在未来一段时间内，病床资源短缺是一种普遍现象，如何科学有效的管理病床资源成为医疗运作的重要研究问题。

针对某一部门/科室内的病床资源优化问题，已有较多的研究成果，此类研究主要采用排队论及其衍化模型解决急诊室、手术室或者重症监护室的病床调度问题。如Song等利用排队论设计急诊室专用就诊系统，根据患者分诊情况进行医护人员分配，然后根据诊断结果安排病床，研究结果表明这种方式减少医护人员的工作负担且缓解急诊拥堵[3]。同样，为了缓解患者就诊等待时间长、就诊拥堵等问题，周雄伟等针对患者的多渠道就诊行为，分析了医院的最优门诊资源调度策略[4]。Siqueira等[5]指出医院追求短期绩效的目标造成了部门/科室之间的病床资源不平衡，针对患者从到达、康复直至出院整个过程，考虑排队患者人数约束，基于排队指标提出了手术室调度和术后病床分配联合优化模型。患者就诊的随机性极大降低医疗服务效率[6]，同时患者就诊随机性造成了病床需求波动，进而影响了病床资源的分配。对此，Zhu等[7]考虑重症监护室患者的两种到达形式(紧急到达和预约到达)，以排队等待时间为目标，建立了离散事件仿真模型，按照先到先得原则分配病床，减少患者等待时间，获得成本效益和服务水平的均衡。为了进一步提升经济效益，Ayvaz和Huh[8]采用收益管理方法研究了病床资源动态分配问题。王娟等[9]提出将患者首先均衡分组，再进行需求匹配的两阶段医疗资源分配。上述研究集中在医院某一部门/科室的病床分配问题，然而，由于职能差异，不同部门/科室就诊患者的数量差异较大，通常会导致一些部门/科室的病床紧张，而其他部门/科室有闲置病床。因此，针对某一部门/科室的病床分配对于提高医院整体病床的使用率效果不佳。

医院各部门/科室均有自己服务的特殊病种，相关学者关注不同病种的病床资源调度，从而实现多部门/科室的病床管理。Green[10]指出，病床资源分配是一个复杂问题，由于涉及到多个病种，医院里经常出现某些疾病患者的病床资源过剩，而其他疾病患者病床资源不足的现象。为了缓解这种不同病种间的资源不匹配现象，Gorunescu等[11]基于排队论指标，以最小化患者排队等待时间和病床成本为目标分析了医院最优病床总数。为了分析患者到达过程对病床分配的影响，Kokangul[12]从患者到达率和住院时间的随机性角度，利用马尔可夫理论研究患者排队系统指标变化对病床分配的影响。患者是病床的使用者，根据自身疾病的类型不同，患者有参与医疗服务的选择权。Cochran和Roche[13]分析医疗数据发现患者对病床需求的差异，进一步确定患者对病床需求的一致性并挖掘了潜在病床需求患者，利用排队论实施病床规划方案，为病床的合理分配提供有效策略。陈超等[14]基于收益管理理论，研究了多时间窗口、考虑患者康复出院情况的多病床分配模型。基于组合和柔性思想，Best等[15]按照不同病种分类，将多个部门/科室间的病床进行组合，构建单个排队系统，探讨患者就诊过程与病床分配问题，实现不同部门/科室间病床资源共享，之后，Holm等[16]结合挪威一家医院的实际案例，利用仿真系统，证实了不同部门/科室间病床资源共享能够提高病床分配的效率。上述研究关于多部门/科室的单阶段病床分配系统，但是，单阶段病床分配系统不能从根本上解决患者就诊排队拥堵的问题。

随着医疗资源配置相关研究的深入，一些学者提出了两阶段和多阶段病床分配模型以实现精准化管理。如Berk和Moinzadeh[17]根据患者病情变化和出院标准将住院过程分为强制治疗和康复阶段，在患者享受医疗公平性基础上，考虑患者病情复发而导致的再次住院的情况，反之，提前出院的风险问题没有进一步探讨，提出一个两阶段排队模型，该研究没有研讨两阶段医疗服务过程对于医疗资源配置的影响。随后，Holm等[16]利用仿真模型证实两阶段病床分配模型提高了病床利用率、缓解了患者的排队拥堵问题。在此基础上，Kuntz等[18]研究了多阶段的病床使用率，利用分段线性函数刻画患者使用病床的转折点，研究结果表明当有限的病床资源应付过度患者需求时，病床利用压力过大会导致患者死亡率的增加。吴晓丹等[19]发现对不同阶段的患者实施分流能够缓解病床资源紧张，但会造成患者滞留。以上研究表明，两阶段病床分配的相关文献较少，还有不少的发展空间。多阶段病床分配模型虽然能够较好的刻画患者病情变化对病床资源的影响，难点在于如何对不同程度的多种疾病患者进行医疗服务阶段划分，同时存在划分标准不一致导致误诊的缺陷。

在医疗实践中，当病床需求较大时，病情较轻患者存在提前出院的风险，Kim等[20]通过实证研究发现了这种现象，指出当病床资源紧缺时提前出院现象普遍存在。康复阶段患者提前出院方案有助于提升病床资源利用率，减少新患者的入院等待成本，对新入院的患者产生有利的影响。Berry和Tucker[21]发现医院面临着如何权衡病床高利用率和患者响应之间的关系，医护人员在工作量较大的情况下患者数量和住院时间呈现倒U型。但是，医护人员的工作负荷到达饱和状态时，只能通过患者提前出院缓解患者入院压力。患者提前出院减少了住院时间，Bhattacharjee和Ray[22]指出病床优化管理与患者住院时间相结合能够更好的控制患者排队系统。因此，提前出院的决定会影响到患者入院的时间、住院时间等，同时有利于优化整个医疗服务系统。

通过上述文献发现，目前关于两阶段病床资源建模和求解方法的研究较少且很大的扩展空间。针对多病种患者的医疗服务过程，本文在患者住院过程两阶段划分的基础上[17]，考虑患者在康复阶段提前出院的风险和新患者等待时间，将每个阶段患者医疗服务过程作为一个排队系统，构建两个串联的排队系统，建立不同病种间的病床资源分配模型。研究结果不仅可以完善优化理论，该模型合理的应用有助于医疗管理者在实际医院管理中合理的分配病床。

2 患者就诊的两阶段医疗服务系统

本文考虑两阶段的医疗服务系统。患者住院接受医疗服务的过程中，大部分疾病患者存在一个强制治疗-康复的阶段，如白内障、心脑血管等。通常情况下，当医疗资源不足时，处于康复阶段且情况稳定的患者可能被要求提前出院。即患者的就诊过程包括两个阶段，第一阶段为强制治疗阶段，处于该阶段的患者不能被安排出院；第二阶段为康复阶段，如果新患者到达时病床被全部占用，则处于该阶段且康复时间最长的患者将被安排出院。因此，患者的医疗服务过程是一个病床资源共享的两阶段排队过程，就诊过程如图1所示。

图1 患者就诊路径

患者的强制治疗和康复阶段均为随机服务时间，不考虑患者病情复发的影响，首先分析该两阶段串联医疗服务系统的相关指标，然后基于排队指标构建多病种医疗资源分配模型。针对患者就诊的两阶段医疗服务系统，t时刻系统的状态可表示为Sk,n(t)=(t,y1,…,yk;x1,…,xn)，其中yi表示处于强制治疗阶段第i个患者已经接受的医疗服务时间(1≤i≤k)，xj表示处于康复阶段第j个患者已经接受的康复服务时间(1≤j≤n)。显然0≤y1≤…≤yk≤∞，0≤x1≤…≤xn≤∞，若假设强制治疗阶段服务时间的概率分布为F(y)，康复阶段服务时间的概率分布为G(x)，则yi，xj分别为具有如下概率密度函数的次序统计量(1≤i≤k,1≤j≤n)

(1)

(2)

针对该排队系统，某一种疾病患者到达率为λ，该类疾病可用病床病床总量为M，每位入院患者占用1个病床。假设t时刻处于强制治疗阶段的患者人数为k，处于康复阶段的患者人数为n，显然k+n≤M。首先采用补充变量(也称增补变量)方法构建排队系统稳态概率的偏微分方程，进一步基于特征方程进行变量变换，最后结合边界条件确定稳态概率方程。下面分三种情形考察该排队系统:

情形1：病床有剩余，即k+n0,y1>0n>0,x1>0。

此情形下，病床没有全部被占用，系统内新到的患者可以立即接受服务。令h>0为充分小的数，使得h时间内新患者的到达率、转移率和出院率分别为λh+ο(h)，μ1(y)h+ο(h)和μ2(x)h+ο(h)，则可得如下等式

pk,n(t+h,y1+h,…,yk+h;x1+h,…,xn+h)

{pk,n(t,y1,…,yk;x1,…,xn)

xn)dη}+ο(h)

(3)

其中，等式右端第一项表示在(t,t+h)时间段内，没有新患者到达，同时没有患者从强制治疗阶段转移到康复阶段；第二项表示存在一个康复阶段的患者在(t,t+h)时间段内出院，同时不存在新患者到达和患者转移。式(3)可化简为

(4)

令h→0，t→∞可得排队系统在情形1下的稳态概率的偏微分方程表达式

(5)

情形2：病床全部被占用且有患者处于康复阶段，即k+n=M，n≥1，x1>0。

当k+n=M时，将不存在情形1中等式第二部分，即不存在康复阶段的患者出院的情形，此时稳态概率满足的偏微分方程可表示为

(6)

情形3：病床全部被占用且都处于强制治疗阶段，即k+n=M，n=0。

此情形下，所有医疗资源均被强制治疗阶段的患者占用，即使新患者到达服务平台也无法接受服务，因此

pM,0(t+h,y1+h,…,yk+h)

(7)

稳态概率满足如下方程

(8)

当新患者进入服务平台或患者由强制治疗阶段转入康复阶段时，可以构造出偏微分方程的边界条件，

边界条件1：病床存在剩余，新患者到达时，即k+n≤M，k≥1，

pk,n(0,y1,…,yk-1;x1,…,xn)

=λpk-1,n(y1,…,yk-1;x1,…,xn)

(9)

边界条件2：强制治疗阶段患者进入康复阶段时，即k+n

pk,n+1(y1,…,yk;0,x1,…,xn)

xn)dη

(10)

其中y0=0，yk+1=∞。

(11)

·H1(y1-y2,…,yk-x1,…,xn-1-xn)

(12)

同理可得，当k+n=M，n≥1，x1>0时，

·H2(y1-y2,…,yk-x1,…,xn-1-xn)

(13)

当k=M，n=0时

(14)

下面通过边界条件确定f1，f2和f3的函数形式，对于函数f1，由边界条件1和2可得

·f1(-y1,y1-y2,…,yk-1-x1,…,xn-1-xn)

·f1(y1-y2,…,yk-0,0-x1,…,xn-1-xn)

通过边界条件，可知函数f1(y1-y2,…,yk-x1,…,xn-1-xn)具有如下表达式，

f1(y1-y2,…,yk-x1,…,xn-1-xn)=Kλn+k

(15)

其中K为待定常数。

对于函数f2，由边界条件1和2同样可得f2的表达式为，

f2(y1-y2,…,yk-x1,…,xn-1-xn)=Kλn+k

(16)

同理，由边界条件2可知函数f3的表达式，

f3(y1-y2,…,yk-2-yk-1)=Kλk

(17)

两阶段患者排队模型的稳态概率pk,n(y1,…,yk;x1,…,xn)表达式为

pk,n(y1,…,yk;x1,…,xn)=

(18)

由于概率求和等于1，因此可得

从而由概率求和约束计算可得

进一步，可计算出排队系统中处于强制治疗阶段患者人数的概率

pk=

以社会福利最大化为优化目标，社会福利包括病床资源不足造成的患者无法入院成本和康复阶段的患者由于提前出院而产生的健康损失成本两部分。本文在社会福利函数中考虑排队系统的两个指标：单位时间新患者被拒绝的期望人数以及康复阶段患者的期望服务时间。

当处于强制治疗阶段的患者占满所有可用病床时，新到达的患者将不能接受服务，因此，新患者被拒绝的期望人数为

E(l)=λpM=

(19)

(20)

3 基于两阶段医疗服务的病床资源分配模型

上一节给出了患者就诊过程中病床资源需求和供给的状态关系，并给出了患者住院强制治疗时间和康复时间的函数表达式。本节立足于患者排队的服务系统，构建病床资源分配模型，并进行成本函数核算，探讨病床分配策略。

假设病床总数为N，当分配给疾病i患者ni个病床时，相应的成本为Vi(ni)，以成本最小化为目标，病床资源分配模型可表示为：

(21)

其中，n=(n1,n2,…,nT)。针对患者的两阶段医疗服务过程，成本指标由两部分组成，即新到达患者被拒绝的成本和康复阶段患者的提前出院成本。对于某一病种，当病床被强制治疗阶段患者占用时，新到达患者将无法接受服务，采用单位时间新患者被拒绝的期望人数E(l)和单位拒绝成本cl表示。而康复阶段的患者存在提前出院风险，提前出院成本旨在刻画收益的下降，如提前出院可能产生再入院、完全康复周期延长等现象，采用cτ(T-E(τ))表示，其中cτ为单位时间提前出院成本，T表示该病种最长康复时间，E(τ)为两阶段医疗服务系统患者的期望康复时间。因此，病种i的成本函数可表示为

(22)

资源分配模型(21)可转化为：

(23)

由于资源分配问题的特殊形式，动态规划方法常常被用于求解该类问题(如文献[15])。因此，考虑采用动态规划方法求解上述病床资源分配问题，按照疾病种类将问题划分成S个阶段，定义病床数为ξ，需要分配病床的疾病数为r时(r

(24)

即第r阶段优化问题。最优目标Fr(ξ)表示第r种疾病、可分配病床数为ξ时的最小成本，从而Bellman最优方程可表示为：

(25)

同时，病床资源动态优化问题的边界条件为F0(ξ)=0，ξ≥0。对于该问题，本文采用逆推法进行求解。

4 数值分析

本节针对不同部门/科室患者的脑梗塞、急性阑尾炎、白内障三种疾病展开数值分析，假设患者的到达过程为泊松过程，三种疾病患者接受医疗服务的时间服从指数分布，同时假设同一疾病患者的服务时间分布相同，即患者是同质的，并且假设病床资源总数为N=10。结合上文中排队模型的推导分析，参考2017中国卫生和计划生育统计年鉴[24]，假设三种疾病患者的住院时间分别为11.5天、6.8天和4.2天，住院费用分别为17867.7元、14131.8元和7293.8元。

根据卫生统计数据，同一病种的平均住院时间在不同级别医院间的差异不大，但患者就诊率差别显著，如脑梗塞在中央直属医院的平均住院时间为11.5天、省属医院11.5天、市属医院12.1天、县级医院10.6天，但心脑血管疾病在城市的入院率为0.59%，在农村的入院率为0.34%，并且入院率随年份波动很大，因此首先分析入院率对病床资源优化分配的影响。

不同疾病患者康复时间差别较大，对于急性阑尾炎、白内障等死亡率低且需要手术干预的疾病，强制治疗时间占住院时间的比例较低，康复时间占比较高。而对于脑梗塞等死亡率较高的疾病，强制治疗和康复时间的比例相当。为此，假设三类疾病患者的强制治疗时间所占比例单调递减。

基于上述分析，令强制治疗阶段服务率μ1=[0.124,0.210,0.340]，康复阶段服务率μ2=[0.290,0.490,0.794]，即假设强制治疗阶段占平均住院时间的70%。患者到达率分别为λ1=[0.3, 0.4, 0.5]，λ2=[0.3, 0.5, 0.4]，λ3=[0.4,0.3, 0.5]，λ4=[0.4,0.5,0.3]，λ5=[0.5,0.3,0.4]，λ6=[0.5,0.4,0.3]。在以下的数值分析中，本文提出的模型记作两阶段模型。本文用M/M/1排队模型刻画患者接受医疗服务的过程记作单阶段模型，即单阶段模型的服务率μ=μ1+μ2。采用Matlab编写动态规划程序进行计算，结果如图2所示。

由图2可知，在本文提出的两阶段模型中，患者到达率对病床分配有较显著影响，到达率较高时，分配的病床数较多，如图2左上λ1情形中，疾病3患者的到达率最大，分配的病床最多；图2中下λ5情形中，疾病1患者的到达率最大，同样分配了最多的病床；其它情形类似。同时，两阶段模型计算得到的最优病床数与单阶段模型差异显著。特别是，本文的病床分配结果主要受病种的成本参数和到达率、服务率影响，当服务率固定时，单阶段模型结果受成本参数影响更大，两阶段模型受各疾病患者到达率的影响更大。出现上述结果的原因在于，对于两阶段病床分配模型模型，患者到达率较高时，新患者无法接受医疗服务和康复患者被提前出院的风险均较高。

图2 到达率与分配病床数关系图

图3 不同服务率下病床分配量

两阶段模型的数值结果如图3所示，即分配给三类疾病患者的病床数一致。数值实验表明，单阶段模型在病床分配量在三个病种间呈现递减趋势，而两阶段模型的强制治疗阶段占平均住院时间比为0.9时病床分配量也呈现递减的趋势，但随着强制治疗阶段占平均住院时间比的减小，疾病3患者分配的病床数显著增加。数值结果说明，当患者的康复时间所占总医疗服务时间比例较小时，到达率对于病床分配量的影响增加，即到达率高的疾病患者需要的病床数更多。造成该结果的原因在于各类疾病患者强制治疗阶段的服务率相比于康复阶段的服务率差别较小，因此对于入院率高的疾病患者应当分配更多的病床。对于医疗实践来说，随着医疗技术的提高，一些关键强制治疗过程(如心脏、白内障手术)所需的服务时间显著缩短，康复时间比例相对增加，此时病床分配数在病种间呈现出均匀的趋势。在医疗资源总量固定的情况下，医院调整强制治疗和康复阶段的服务率会对病床分配造成较大影响在医疗实践中，医院也可以通过增加检查、查房频次等投入方式调整服务率，促进患者的强制治疗和康复。

图4 成本参数与总成本的变化关系图

上述数值实验主要从到达率和服务率方面对病床分配结果进行了分析，接下来本文分析成本参数对于病床分配的影响。考察患者提前出院成本变化时(cτ/cl=0.1, 0.2, 0.4,0.6四种情形)，病床分配的变化情况。患者到达率为λ1=[0.3, 0.4, 0.5]，两阶段医疗服务率分别为μ1=[0.124, 0.210, 0.340]，μ2=[0.290, 0.490, 0.794]，其它参数取值与上文一致。数值结果显示，病床分配情况与图2中λ1对应的情形一致，即两阶段模型病床分配量分别为(3,2,5)，单阶段模型病床分配数为(3,5,2)。由于在单阶段模型中不存在患者提前出院，没有涉及cτ参数，因此结果一致。而对于两阶段模型，在数值参数假定的取值范围内，分配结果同样没有发生变化，说明达到率和服务率对于病床分配的影响效果更大。图4给出了两阶段模型不同成本参数与优化目标总成本的变化关系，结果说明随着康复阶段提前出院成本的增大，医院的总成本提高。在医疗实践中，若康复阶段提前出院成本较高，可考虑下转到社区医院以减少再入院可能。

图5 不同病床总数下的分配关系图

最后，本文分析当可用病床总数变化时，两阶段模型病床分配问题。与图2中λ1情形一致，患者到达率为λ1=[0.3, 0.4, 0.5]，两阶段医疗服务率分别为μ1=[0.124, 0.210,0.340]，μ2=[0.290, 0.490,0.794]，可用病床总数分别为N=10, 15, 20, 25，计算结果如图5所示。研究结果表明，随着可用病床数量的增加，单阶段模型分配给每个病种的病床数均有所增加，而两阶段模型仅分配给疾病3患者的病床数有所提升，其余病种的病床分配数没有发生变化。两阶段模型中，当病床数增加时，会对到达率高的病种分配更多的住院病床。与上文结果相似，两阶段模型中，患者的入院率对病床分配的影响更大。

5 结语

针对当前医疗资源总量不足，医疗资源需求日益增长和病床资源配置效率低的现实问题背景，本文考虑多病种间的病床资源分配问题。不同于已有研究，本文假设患者就诊为一个两阶段串联排队过程，首先研究了患者强制治疗-康复的两阶段排队系统相关指标，然后考虑患者因资源不足无法入院和入院后由于新需求到达而被迫提前出院两类因素，构建了基于排队论的病床资源分配模型，并进一步给出了动态规划求解方法。最后，针对三种疾病，基于卫生统计数据和模拟数据，对病床资源分配模型进行了数值模拟，分析了不同参数条件下最优病床数的变化，并且与单阶段模型结果进行了比较分析。

研究结果表明在当前服务水平下，两阶段模型与单阶段模型的病床分配结果差异显著，两阶段模型中，患者的到达率对病床资源正向影响更加显著；在参数取值范围内，患者提前出院成本对病床分配的影响有限；同时，当病床总数增加时，病床资源分配向入院率高的疾病患者倾斜。单阶段模型权衡收益和拥堵成本，成本参数和入院率、服务率均对病床分配结果造成影响，而本文提出两阶段模型考虑了患者由于病床不足被迫提前出院的情形，相比于单阶段模型，拥堵成本对于病床分配的影响有所减弱，入院率和服务率对病床分配的影响较大，同时由于医疗实践中医疗服务率的变化范围相对较小，因而数值实验结果显示入院率对住院病床分配影响显著。在医疗实践中，医疗服务率的提高一方面需要医疗技术水平的提升，另一方面需要医疗资源投入的增加，因此医疗服务率变化范围有限。同时，现实中，受资金、医护人员数量等因素的约束，病床等医疗资源很难满足需求水平，在最优的医疗决策下，入院率高的患者会占用较多的病床资源，对其它疾病的患者医疗服务造成负面影响。因此，承担严重疾病医疗服务的三甲医院应与下级医院形成互补联动机制，充分利用下级医院的闲置资源，将康复阶段的患者合理转诊分流，是解决上述困境的有效方法。

本研究对医疗资源优化实践具有一定理论意义，为解决医疗病床分配问题提供了方法论支持，同时相关研究还可以从以下方面做进一步拓展。实际运营中，医院通常按照部门/科室、疾病类目分配病床，本文虽未考虑病种组合问题，但实验挑选的三类疾病(脑梗塞、急性阑尾炎、白内障)分别属于内科、外科、眼科的项目，应用本文构建的两阶段模型时，可通过综合各部门/科室下疾病类目的总体参数指标进行分析求解。同时，将患者两阶段医疗服务过程纳入按疾病分组分配病床资源是进一步研究的方向。此外，当病床数较大时，本文采用的动态规划方法求解效率降低，如何设计快速有效的求解算法也是需要进一步研究的问题。