王妍妍，孙佰清

(哈尔滨工业大学经济与管理学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

1 引言

频繁发生的各类破坏性突发灾害，使应急管理与应急决策受到国家和各级管理部门的高度重视[1-3]。灾后应急管理的首要工作是通过有效的应急救援措施减少人员伤亡和灾区损失，而应急救援物资的有效分配及科学供给是灾害应急救援过程的关键环节，是影响救援整体效果、降低灾区损失以及关系应急救援成败的重要因素[4-5]。同时，由于灾害的突发性以及应急救援的紧迫性，加之次生灾害的影响，导致在应急救援过程中通常无法准确获得相关信息，为应急物资分配增加了一定的难度。因此，如何在各种信息模糊不确定情况下，制定科学合理的应急物资分配优化方案，实现救援物资的多周期有效供给，符合实际灾害应急物资分配的现实需求，是大规模灾害多周期应急救援领域所关注的重要问题。

已有文献对应急物资分配问题进行了研究，Tzeng等[6]以最小化救援总成本和总配送时间、最大化灾民最小物资满足率为目标，构建面向多需求点的应急物资分配模型。Arora等[7]以救助成功率最大化作为目标，提出了基于成本约束的医疗应急物资分配模型。Lin等[8]为测度应急救援过程中物资分配的满意度，以最小化物资短缺量和物资满意度差异为目标构建模型。Najafi等[9]基于救援灾民数量最少和物资短缺量最小构建应急物资分配优化模型。Wex等[10]提出了以总分配时间最小化为目标的面向多受灾点的应急物资分配模型。Su Zhaopin等[11]通过运用多约束整数线性规划方法构建模型研究多灾害事件情况下的应急救援物资分配问题。Cotes和Cantillo[12]以总社会成本(即运输成本、库存成本、设施成本和剥夺成本之和)最低为目标，构建了一个包含设施选址的应急物资分配优化模型。Guo Yu等[13]以应急资源效用最大化和任务完成可能性最大化为目标，提出针对海上搜救资源分配的多目标整数非线性规划模型。Wang Yanan等[14]通过应急物资短缺的负效用损失量化公平，在此基础上提出面向地震灾害的应急物资多周期分配优化模型。Zhou Yawen等[15]提出了针对多周期动态应急资源调度问题的多目标优化模型，并设计了一种基于分解的多目标进化算法求解该模型。王旭坪等[16]以车辆运输成本最小化和灾民总损失最小化为目标，运用灾民救援物资短缺数量刻画其所面临的损失，研究运力受限条件下的应急物资分配问题。沈晓冰和杨保华[17]基于混合整数的非线性规划方法，以物资送达时间最小和物资短缺量之和最小构建应急物资分配的多目标模型。张国富等[18]针对多救援点对多受灾点进行多种物资分配的情况，提出以最小化应急物资分配的路径时间与物资短缺量为目标建立优化模型。付江月和陈刚[19]基于灾后首批救援物资的分配，考虑物资需求的变化特性，以物资最晚送达时间最小化和最小物资需求满足率最大化为目标构建兼顾效率与公平的应急物资分配模型。上述研究均以确定性信息为前提，忽略了灾害情况下信息的模糊不确定性对应急救援物资分配的影响。

对于模糊或者不确定情况下应急物资分配的研究，邓先明和汪传旭[20]针对灾后多个受灾点物资需求的模糊不确定特点，运用三角模糊数表示灾后各受灾点的物资需求，以最小化总应急救援时间为目标构建单救援点多受灾点的应急物资配送模型。张玲等[21]运用区间数表示受灾点的物资需求，以总费用最小为目标研究应急物资的分配优化问题。李永义等[22]通过对区间数的可能度矩阵进行改进，并在考虑需求点灾害损失程度、灾害区域范围、人口密度和物资需求基础上，基于区间数可能度构建灾害应急救援物资的分配优化决策模型。王海军等[23]基于灾后各受灾点的物资需求量和物资运输时间的不确定，以最小化应急物资配送的成本和时间为目标构建双目标优化模型。Qin Jin等[24]以总成本最小化为目标，提出考虑物资不足和需求不确定的应急救援物资分配车辆路径优化模型。但上述关于模糊不确定条件下应急物资分配的研究，多以单周期物资分配为主，无法适应大规模灾害情况下需要进行多次多周期物资分配才能使各受灾点全部需求得以满足的现实情况。

基于模糊不确定条件下的多周期应急物资分配问题研究中，王海军等[25]以总应急费用和运输时间最小化为目标构建模型，研究模糊供给和需求情况下的救援物资分配调度问题，但没有考虑灾害情况下的运力限制因素。刘扬等[26]运用三角模糊数刻画受灾点对于应急物资需求的模糊不确定性，构建多阶段应急物资分配模型，但其研究中未考虑灾害情况下物资供给以及由于道路受损所导致的每周期物资运输量的模糊不确定性。

通过分析上述文献发现，首先，现有多数应急物资分配研究多以确定性信息为基础构建确定性物资分配模型，忽略了由于灾害的突发性和应急救援的紧迫性而导致的救援过程中存在大量的模糊不确定信息的实际情况；其次，在模糊不确定条件下的应急物资分配研究方面，多以单周期单种类物资分配模型为主，但在现实应急救援过程中，多个受灾点通常同时对多种物资产生大量需求，灾害初期配送中心的物资通常有限，多个受灾点的多种物资需求要经过多个周期才能得到完全满足，单周期单种类的物资分配模型无法适应大规模灾害应急救援多种物资的多周期分配需要；再次，针对模糊不确定条件下的多周期应急物资分配问题研究较少，而现有研究一般仅单一考虑供给或者需求一个方面的模糊不确定，并且在研究中未考虑运力限制等灾害救援的现实情况。可见，研究基于模糊信息的多周期物资分配优化问题更符合大规模灾害应急救援物资分配的实际需求。因此，本文结合现实灾害救援物资分配的特点，研究各受灾点的应急物资需求量、各配送中心的物资供给量以及最大物资运输总量均为模糊数时，以总延迟时间最小化和总系统损失最小化为目标构建多周期多种类应急物资分配双目标优化模型，通过模糊数清晰化方法和双目标转化方法求解模型，并以玉树地震为例进行验证，旨在使模型最大程度地符合灾害救援实际，进而为现实大规模灾害应急救援多物资多周期分配提供一定的决策参考。

2 应急物资多周期分配优化模型

2.1 问题描述

大规模突发灾害通常具有影响范围大、破坏性强、救援紧迫性高、所需物资种类多等特点，加之次生灾害的影响，导致应急救援信息获取的不完全性，即仅能通过有限的信息将应急响应周期内的物资供给量、需求量和运输量等相关信息确定在某个模糊区间范围内。因此，本文所研究的问题为：模糊信息条件下大规模突发灾害多种类应急救援物资多周期分配优化问题，为符合灾害救援实际，运用区间数刻画应急物资供给与需求的模糊不确定性，运用三角模糊数刻画路网容量受限情况下每周期的最大物资运输总量，并考虑到灾害应急救援的“强时效性”，引入延迟系数建立最小化物资分配的总延迟时间函数，同时考虑灾害、灾区、灾民以及物资等多重因素，建立多周期总系统损失最小化函数，结合不同周期不同物资供给与需求的关系及其动态变化特性，构建基于多需求点、多配送中心、多物资、多周期、多目标的应急物资动态分配优化决策模型，目标是最大程度地实现整个应急周期内物资分配的总延迟时间最小和各受灾点的总系统损失最小。

所研究的模糊信息条件下大规模突发灾害多需求点—多配送中心—多物资—多周期动态分配优化问题，如图1所示。

图1 基于模糊信息的多需求点多配送中心多种类应急物资多周期分配问题

2.2 符号说明

模型构建所采用的相关数学符号说明如下：

(1)索引

P：应急救援物资配送中心集合，p∈P；

Q：灾害应急物资需求点集合，q∈Q；

N：应急救援物资种类集合，n∈N；

H：应急物资分配的规划周期集合，以天数为单位表示，h∈H。

(2)参数

Tregpq：非灾害情况下，从p∈P到q∈Q的道路运输时间；

Tloadpn：非灾害情况下，在配送中心p∈P单位物资n∈N的装货时间；

Tunloadqn：非灾害情况下，在需求点q∈Q单位物资n∈N的卸货时间；

(3)变量

2.3 模型构建

(1)目标函数：

(1)

minZ2

(2)

(2)约束条件：

(3)

(4)

(5)

(6)

∀p∈P,q∈Q,h∈H

(7)

∀p∈P,n∈N,h∈H

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

模型中，目标函数(1)表示最小化所有周期所有需求点应急物资分配的总延迟时间，包括运输延迟时间、装货延迟时间和卸货延迟时间；(2)表示最小化所有周期所有需求点在应急物资分配过程中由于物资未满足而产生的总系统损失。

约束条件中式(3)表示在给定周期内，分配给各需求点的物资数量不应超过其真实需求量，能够有效避免物资分配冗余或与实际需求不一致；式(4)表示在给定周期内，各配送中心向各需求点分配物资的数量不超过其实际可供给数量；式(5)表示运力限制，同时体现了决策变量之间的逻辑关系；式(6)表示尽可能地满足各周期各受灾点的物资需求，即当需求大于供给时，耗尽供给；当供给小于需求时，满足需求；式(7)为总运输延迟时间的计算表达式；式(8)为在配送中心总装货延迟时间的计算表达式；式(9)为在需求点总卸货延迟时间的计算表达式；式(10)为物资未满足量的计算表达式；式(11)表示给定应急周期内各受灾点实际物资需求量的动态变化；式(12)表示给定应急周期内各配送中心实际物资可提供量的动态变化；式(13)为二进制0-1变量，表示配送中心是否向需求点运输物资；式(14)和(15)表示决策变量均为非负整数。

3 模型求解

模型求解主要分为两个步骤：首先，运用区间数和三角模糊数清晰化方法对所构建模型的目标函数和约束条件中的模糊数进行确定性转化；其次，采用基于二维欧式距离客观赋权模糊算法将多目标函数转化为单目标函数，进而求解模型。

3.1 模糊数确定性转化

(1)区间数确定性转化。在所构建的模型中，目标函数(2)和约束条件(3)、(4)、(6)、(10)、(11)、(12)中均含有区间数，可以根据下面的定义1将区间数进行确定性转化。

minZ2=(1-β)

(16)

(17)

(18)

∀n∈N,h∈H

(19)

∀q∈Q,n∈N,h∈H

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

由此可以将模型约束条件(5)中的三角模糊数转化为如下形式：

∀p∈P,q∈Q,h∈H

(25)

至此，模型中含有模糊数的目标函数和约束条件已全部被转化为确定性实数的规划问题，决策者可以在实际应急物资分配过程中，根据灾害、灾区、灾民和相关物资信息，并结合自身决策偏好，科学给定置信水平β(β∈[0,1])和优化水平γ(γ∈[0,1])，进而求解模型获得最优的决策方案。

3.2 求解算法

本文经过去模糊化的模型为双目标规划模型，可以运用多目标求解方法，如理想点法、逐步法、线性加权法、约束法等等，对其进行计算求解。但相关研究发现，上述方法通常在多目标转化过程中忽略对决策者目标偏好的考虑[29-30]，而在模型求解过程中，不同的决策者偏好对于模型的最优解具有重要影响，特别是本文构建的多种类多周期应急物资分配优化模型，决策者可以根据每个应急周期的实际灾害灾情信息，有所倾向地选择科学的物资分配方案，以达到整个应急周期物资分配的最优状态。基于二维欧式距离客观赋权模糊算法在求解多目标优化问题中能够有效避免上述弊端[31]，因此，本文选择运用该方法求解去模糊化的双目标规划模型，以便于能够在各周期以及整个应急周期获得更为科学的应急物资分配方案。

对于已经进行确定性转化的双目标模型，函数Z1(x)表示应急物资分配的总延迟时间，函数Z2(x)表示应急物资分配的总系统损失，进而可以得到如下函数：

minZ(x)=[Z1(x),Z2(x)]，x∈Z(x)

(26)

具体的求解转化步骤如下：

步骤1: 分别求出分目标函数Z1(x)和Z2(x)在所给约束条件范围内的最大值与最小值，即两者各自的上确界和下确界，分别记为large{Z1(x)}与small{Z1(x)}，large{Z2(x)}与small{Z2(x)}。

步骤2: 分别求出分目标函数Z1(x)和Z2(x)的优属度，即决策者在应急物资分配过程中对Z1(x)和Z2(x)的满意度函数，分别记为λ1(x)和λ2(x)，优属度表达式如下：

(27)

(28)

步骤3: 确定各分目标函数Z1(x)和Z2(x)的理想权重ω1+ω2=1(即决策偏好系数)，分别记为ω1和ω2，满足。其中，权重系数或偏好系数可以由应急决策者和管理专家根据每周期的灾害严重程度、需求紧急程度以及物资供需实际情况等多种因素共同确定。但要坚持一个原则：即应使模型的有效解符合最大程度地接近正的模糊理想解。结合所构建模型，运用二维欧式距离分别表示最大值和最小值，则有：

(29)

(30)

其中，b和c分别为模糊的负、正理想解的优属度向量。

步骤4: 根据决策偏好系数以及二维欧式距离确定模型的有效解，将原多目标规划模型转化为单

目标规划模型，具体如下：

(31)

并满足如下约束条件：

ω1+ω2=1，x∈X

(32)

步骤5: 通过构建拉格朗日函数，求解上述单目标规划模型，如下所示：

(33)

同时满足ωi,xi,σ的偏导为零。

4 案例验证

以2010年青海玉树地震为研究背景，验证所提出模型的有效性和可行性。选择地震烈度在6度区及以上的受灾地区作为应急物资需求点，包括玉树县(YS)、称多县(CD)和四川甘孜州石渠县(SQ)，选择西宁(XN)和兰州(LZ)作为应急救援物资配送中心，并选择食品(N1)、药品(N2)和医疗器械(N3)作为急需物资。由于某些灾害数据未公布或者灾害情况下无法收集，相关参数设置采取实际数据与部分仿真数据相结合的方式。例如每周期各受灾点的物资需求量、各配送中心的物资供给量、从配送中心分配物资到需求点的最大模糊运输量等相关数据通过灾区的受灾人口及灾情程度估算，分别见表1、表2和表3；每周期各需求点与各类物资的差异参数等通过受灾点所处的烈度区域以及余震次数、灾民特性(性别、年龄等)以及救援物资的保质期等估算，见表4，以尽量符合灾害实际情境信息。非灾害情况下，应急物资的道路运输时间、在各配送中心的装货时间以及在各需求点的卸货时间分别如表5和表6所示；灾害情况下，每周期从配送中心分配物资到需求点的物资运输延迟系数、装货延迟系数和卸货延迟系数分别如表7和表8所示。

表1 每周期各受灾点每种物资的需求情况

注：食品的单位为万份；药品的单位为万瓶；医疗器械的单位为万件。

表2 每周期配送中心每种物资的供给情况

注：表中各类应急物资的单位与表1相同。

表3 灾害情况下每周期配送中心到需求点的最大模糊物资运输量

根据前文设计的模糊数转化方法及模型求解思路和步骤，给定应急物资分配的置信水平β=0.9、约束优化水平γ=0.9，分别讨论、比较和分析以下三种情况。

(1)不同分目标理想权重(决策偏好系数)ω1和ω2对于应急物资分配的影响分别计算ω1=0.1，ω2=0.9、ω1=0.3，ω2=0.7、ω1=ω2=0.5、ω1=0.7，ω2=0.3、ω1=0.9，ω2=0.1时，所得的分目标函数值，即相应的总物资分配延迟时间和总系统损失，如图2所示，在横坐标中总延迟时间决策系数的理想权重ω1=0.1时，相应地代表ω2=0.9，由于ω1+ω2=1，以此类推。

表4 每周期各需求点与各类物资的差异参数

表5 非灾害情况下配送中心到需求点的物资运输时间(小时)

表6 非灾害情况下配送中心物资装货时间和需求点物资卸货时间(小时)

表7 灾害情况下每周期配送中心到需求点的物资运输延迟系数

表8 灾害情况下每周期配送中心单位物资装货延迟系数和需求点单位物资卸货延迟系数

图2 不同决策偏好下总延迟时间和总系统损失趋势

由图2可以看出，在应急物资分配过程中，不同的决策偏好系数对物资分配方案的选择具有重要影响，随着时间决策系数的权重逐渐增大，表示决策者对于物资分配总延迟时间最小化的要求逐渐提高，使得总延迟时间的目标值逐渐减小；损失决策系数的权重逐渐增大，表示决策者逐渐重视对于物资分配总系统损失最小化的要求，使得总系统损失的目标值逐渐减小。

当时间决策系数的权重大于损失决策系数权重时，表示决策者在总延迟时间和总系统损失的选择中，更倾向于当使物资分配的总延迟时间最小化，即以最少的时间将物资送至各需求点，但在物资有限情况下，往往选择向距离较近的需求点优先配送，而忽略对各需求点的不同易损性、重要性、整体需求紧急性等多方面因素的考虑，可能使物资分配产生较大的总体系统损失。

当损失决策系数的权重大于时间决策系数权重时，表示决策者在总延迟时间和总系统损失的选择中，更倾向于当使物资分配的总系统损失最小化，即在物资分配的过程中，综合考虑产生系统损失的多种因素，包括灾情信息、灾区信息(不同需求点的易损性、重要性、整体需求紧急性和对于某类物资的需求紧急性差异参数)、灾民信息以及物资信息(各类物资的重要性与时效性差异参数)，在此基础上选择应急物资分配方案，但在这一过程中，可能出现距离较远需求点的灾情严重程度大于较近需求点的情况，为了尽可能地降低受灾严重需求点的损失，可能要首先向其分配物资，由于距离和灾害严重程度等原因进而可能产生较大的物资分配延迟时间。

因此，在时间和损失偏好系数选择方面，决策者要科学把握选择“度”，应该根据不同现实灾害不同应急周期的灾情、灾区、灾民、物资等多种信息，发挥二者结合的相互促进作用。

(2)比较分目标理想权重ω1=0.9，ω2=0.1与ω1=0.1，ω2=0.9两种情况下，每周期物资延迟时间和系统损失的变化情况(如图3和图4所示)

图3 不同决策偏好系数下每周期物资分配的延迟时间

图4 不同决策偏好系数下每周期各需求点的系统损失

从图3和图4可知，总体上，不同决策偏好系数下，应急物资分配的延迟时间和系统损失均呈现逐步降低且最后为零的趋势。原因在于，随着救援活动的进行，每周期供给的物资逐步增加，并且灾区的灾情逐步得到改善，使得每周期应急物资分配的系统损失逐渐减小；同时，应急物资分配过程中的道路延迟情况逐渐好转，应急物资分配到各需求点的时间逐渐缩短，使得每周期的物资分配的延迟时间大体呈下降趋势。其中，第二周期的延迟时间高于第一周期，主要原因是为弥补第一周期(救援初期)所造成的大量物资短缺，在第二周期向各需求点最大程度分配了可供给的所有物资，但在由于道路条件等原因导致该周期的单位物资运输延迟系数较大，因此该周期的物资分配延迟时间较第一周期增大是符合灾害实际且合理的，但随着第三周期之后的单

位物资运输和装卸货延迟系数的逐步减小，每周期物资分配的延迟时间也在逐步降低。

从具体的每周期来看，较高的时间偏好系数权重产生较低的应急物资分配延迟时间(图3，ω1=0.9，ω2=0.1≤ω1=0.1，ω2=0.9)，但产生了相对较高的系统损失(图4，ω1=0.9，ω2=0.1≥ω1=0.1，ω2=0.9)；反之亦然。这表明在多周期应急物资分配过程中，单一考虑时间偏好系数和损失偏好系数均具有片面性，同时，时间因素并不是唯一考虑的因素，某些情况下缩短应急物资分配的延迟时间可以降低系统损失，但在大规模多周期物资分配时，需要综合考虑需求点受损严重程度等多方面的因素对系统总损失造成的影响。

(3)在大规模灾害应急物资多周期分配过程中，延迟时间和系统损失均对应急救援整体效果具有重要的影响作用。因此，令分目标理想权重ω1=ω2=0.5，分析模型的最优物资分配方案以及每周期各需求点物资分配的延迟时间和系统损失。

计算得到应急物资分配的总延迟时间为324，总系统损失为0.28，具体的多周期应急物资分配方案如表9所示。每周期各需求点物资分配的延迟时间和系统损失分别见图5和图6。

表9 每周期各需求点的应急物资分配方案(ω1=ω2=0.5)

由图5可知，每周期各需求点物资分配的延迟时间大体上呈下降趋势并且在第五周期延迟时间为零。表明随着应急救援活动的逐步开展，应急物资分配的速度也逐渐提高。其中，需求点SQ在第一至三周期应急物资分配的延迟时间呈上升趋势，主要原因在于，在三个需求点中，两个配送中心XN和LZ向SQ分配物资的运输时间最长，加之在第一至第三周期分配过程中的物资运输、装货和卸货延迟系数都较高，使得延迟时间呈上升趋势，但随着后期延迟系数的逐渐减小，SQ的延迟时间也逐渐减小直至第五周期延迟时间为零，表明最终物资能够及时分配至各需求点，不存在分配延迟的情况。

图5 每周期各需求点物资分配的延迟时间

图6 每周期各需求点物资分配的系统损失

由图6可以看出，每周期各需求点面临的物资分配系统损失逐步减小直至为零。表明随着应急物资供给的逐步增加，各需求点由于物资未满足而面临的损失得到了一定程度的缓解，当各需求点所需的应急物资全部得到满足时，各需求点不存在系统损失。其中，需求点YS在每个周期的系统损失均最低，说明在每一周期YS的物资需求都得到了满足，原因在于， YS的受灾情况最严重、需求紧急情况较高(相比另外两个需求点，该需求点的易损性、重要性、需求紧急性以及所需要的应急物资的重要性和时效性等差异参数都较高，如果该需求点物资短缺严重，则会导致物资分配的整个过程将面临巨大的系统损失)，并且其距离配送中心较近，因此，模型综合考虑最小化延迟时间和系统损失两种因素，优先向YS派送，使其尽量避免物资短缺而产生的系统损失，这也是在最大程度地降低多周期整体系统总损失。

5 结语

本文从实际突发灾害的信息获取不完全性和应急救援的紧急性出发，以总延迟时间最小化和总系统损失最小化为目标，构建基于模糊信息的多周期多种类应急物资分配双目标优化模型。运用区间数描述应急物资供给与需求的模糊不确定性，运用三角模糊数刻画路网容量受限情况下每周期的最大物资运输总量，分析与设计了模糊数清晰化方法和双目标模型转化与求解方法，并以玉树地震为例对所提出模型进行实际验证。

本论文的创新性在于针对现有应急物资分配模型多以确定性信息为基础、多以单周期单种类物资分配研究为主、较少考虑运力限制等因素的情况，在考虑信息模糊条件下，不同应急周期物资需求与供给的动态变化以及道路条件变化所导致的最大运输量动态变化基础上，提出了面向多需求点、多配送中心、多物资、多周期的应急物资动态分配双目标优化决策模型。通过实际地震灾害案例验证了所提出的模型能够最大程度地权衡延迟时间与系统损失，获得多周期最优的应急物资分配方案；现实多周期应急物资分配，时间并不是唯一考虑的因素，某些情况下缩短应急物资分配的延迟时间可以降低系统损失，但在大规模多周期物资分配时，需要综合考虑不同应急周期的灾情、灾区、灾民和物资等多种因素对系统总损失造成的影响；重视时间偏好系数，容易使系统总损失增大，但并不代表二者具有反向作用关系，原因在于，单一考虑时间偏好系数和损失偏好系数均具有片面性，应该把握选择“度”，发挥二者结合的相互促进作用；模型考虑了灾害情况下存在的物资模糊需求、模糊供给以及道路受损导致无法确定最大运输量等现象、每周期各需求点的易损性、重要性、需求紧急性以及各类应急物资的重要性与时效性差异参数等多重因素对物资分配的影响，使研究更符合救援实际。

现实应急救援虽然讲求以人为本和时效性，但在大规模多周期的应急物资分配过程中，如果能够在确保应急救援时效性和公平性基础上，考虑效益性，即成本因素，将对现实灾害救援物资分配起到更为有益的指导作用，同时，随着研究问题的复杂程度逐步提高，应该进一步设计更为高效的模型求解方法。因此，如何在大规模多周期应急物资分配过程中科学考虑成本要素以及设计高效科学的模型求解方法等问题还有待进一步深入研究。