■福建省泉州第一中学 徐卫忠

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。近十几年来，中考几何综合题图形较复杂，涉及的知识点较多，类型多种多样，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答，是学生最惧怕的题型之一。通过研究分析发现，中考几何综合题中常出现的垂直、长度、定值、面积、最值、平分角和共线等问题，经常可建立平面直角坐标系，挖掘题目中的隐含条件，构造函数解析式，妙用函数的相关性质，求出关健点的坐标，得出所需的数量关系，从而达到避开构造复杂辅助线、化难为易、化繁为简的目的。

预备知识：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的长度AB=线段AB的中点坐标直线AB的斜率设直线AB与直线CD的斜率都存在，若A、B、C 三点共线，则kAB=kBC；若直线AB与CD垂直，则kAB⋅kCD=-1，反之亦然。

下面以四道中考几何综合题为例，谈一谈函数思想在上述几何综合题中的应用。

一、函数思想在垂直问题中的应用

例1.如图（1），矩形ABCD 中，AB=6，AD=5，G 为CD中点，DE=DG，GF⊥BE于点F，求DF的长度。

图（1）

图（2）

图（3）

点评：此思路需从条件DE=DG入手，看出ΔDEG为等腰直角三角形，为了构造手拉手型全等三角形，需延长FG 到点M，使GM=EF，辅助线的构思为难点之一；通过等面积算GF的长度，为构思难点之二；最后需算出FM=FG+GM才可最终求出DF为构思难点之三。对考生的几何直观、模型构造、等面积求高及勾股定理的应用等数学素养有较高的要求，在有限的做题时间内很难构思出来。

而如果使用下面的思路二，建立平面直角坐标系后，只需求出直线BE和直线GF的解析式，联立方程可求出交点F 的坐标，通过两点间的距离公式就可求出DF 的长度，避开构造复杂辅助线，达到化难为易，化繁为简的目的。

思路二：如图（3）以点A 为坐标原点，AB、AD 所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，可知点B（6，0），D（0，5），C（6，5），G（3，5），E（0，2），∴直线BE 为y=-x+ 2，∵GF⊥BE，∴kGF⋅kBE=-1，∴kGF= 3，∴直线GF为y= 3x- 4．

二、函数思想在对称问题中的应用

例2.在平面直角坐标系中，直线y=x+a(a＞

0)分别与x轴、y轴交于A、B两点，C、D的坐标分别为C( 0，b)、D(2a，b-a)(b＞a)．

（2）若点C、D关于直线AB的对称点分别为C、D．

②当点C恰好落在x轴上时，试求a与b的函数表达式．

（2）②思路一：如图，设点C∕(m，0)，则CC∕的中点∵点P在直线AB上，∴m= 4a- 2b．

由对称性可知，BC∕=BC=b-a．

在直角ΔBC∕O中，OB2+OC∕2=BC∕2，

∴[-(4a- 2b)]2+a2=(b-a)2，整理得16a2-14ab+ 3b2= 0，

∴(2a-b)(8a- 3b)= 0，∴a=或a=b．

∵BC∕＞OB，∴b-a＞a，∴a≠，∴a与b的 函数表达式a=b(b＞0 )．

点评：设点C∕(m，0 )，将CC∕的中点P代入直线AB，m= 4a- 2b，对直角ΔBC∕O利用勾股定理列出方程因式分解得出a与b的关系，求解方程及验证解的有效性为思路难点。

而如果使用下面的思路二或者思路三，因AB⊥CC∕，kAB=-，得kCC∕=2，所以直线CC∕的解析式为y=2x+b，所以对直角ΔBC∕O用勾股定理得出结论或者算出直线CC∕与直线AB的交点P的坐标，利用点P是CC∕的中点得出结论，避开解复杂方程及验证解的有效性，将问题简单化、具体化。

思路二：连接CC∕，∵直线AB垂直平分CC∕，∴kAB⋅kCC∕=-1．

三、函数思想在共线问题中的应用

例3.（2018·福建）已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．

（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：

当x1＜x2＜0 时，（x1-x2）（y1-y2）＞0；当0＜x1＜x2时（x1-x2）（y1-y2）＜0．以原点O为心，OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；

②若点P与点O关于点A 对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．

（2）①解得抛物线的解析式为y=-x2+ 2；

（2）②思路：过点M作y轴的垂线，垂足为点Q，

四、函数思想在定值问题中的应用

例4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax-3a(a＜0)交x轴于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点D的纵坐标为4．

（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），直线PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由。

思路：易求得抛物线的解析式为y=-x2- 2x+ 3，A（3，0），B（1，0），对称轴x=-1，设P(m，-m2-2m+3)，F(-1，f)，由kAF=kAP得得f= 2 - 2m；同理设G(-1，g)，kBP=kBG得g= 2m+6，∴EF+EG= 2 - 2m+ 2m+ 6= 8为定值．

由此可见，函数思想在中考几何综合题中的应用，就是一种解题思维策略，通过建立函数模型，妙用函数的相关性质，将中考几何综合题中常出现的垂直、长度、定值、面积、最值、平分角和共线等问题具体化、简单化，避开构造复杂辅助线，达到化难为易，化繁为简的目的。

这要求我们学生在平时的学习过程中，做到以下几点：

1.理解、掌握好以下常用的公式和函数性质：两点间距离公式，线段中点坐标公式，过两点的斜率公式以及若A、B、C 三点共线，则kAB=kAC；若直线AB 与CD垂直，则kAB⋅kCD=-1。学以致用，能够用这些公式和性质，求解中考几何综合题。

2.养成建立平面直角坐标系的解题习惯。若题目中有正方形、长方形、直角三角形，可以直角顶点为原点，两直角边所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系。若有等边三角形或者等腰三角形，可以底边所在直线为x轴，等腰三角形的高所在直线为y轴建立平面直角坐标系，构造函数解析式求解。

3.多尝试、积累、归纳总结。亲身体验解综合题的成功过程，是最好增强信心的方法。多尝试利用函数思想求解中考几何综合题，积累利用函数性质求解的经验，归类总结出能用函数思想求解的题型，通过不断地尝试、积累、归纳总结，内化为自己的知识经验，形成数学能力。