■福建省龙岩市连城县实验小学 马启健

一、缘起：怎么这么难算的“圆柱体积”

人教版六年级数学下册练习五最后一题：下面4个图形的面积都是36dm2 。用这些图形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？（单位：dm）

孩子们做这题，无一例外的都认为很难。难的原因不是因为这道题有多种卷法，也不是因为这道题是已知圆柱的底面周长与高要求圆柱的体积，更不是因为通过计算结果所要发现的规律。这道题之所以给学生带来很大困难，在于根据底面周长求出半径再求底面积的计算量实在太大，且计算的难度很大。

以第一图为例，第一种卷法的圆柱底面半径18÷3.14÷2 就已经超过六年级学生的计算水平，因为现行教材的除法只学到两位数除三位数。更何况前三幅图都有两种卷法，共有七种卷法。每种卷法都要先算出半径，再算出底面积，最后算出体积。即使借助计算器，这道题的计算也要花费大量的时间。

二、疑惑：题目中的数据为什么不选用3.14的倍数

题目中的数据如果选用3.14 的倍数，如6.28、12.56、18.84等，计算略为好算了，但有价值吗？花费七遍的时间，重复练习除了让学生进一步掌握已知圆柱的底面周长与高求圆柱体积的流程之外没有多大价值，还会让学生产生厌学和抵触情绪。

难道编者故意刁难教师和学生？编者不可能故意刁难教师和学生！那编者的意图又是什么呢？“人不走让楼梯走”换角度思考问题发明了电梯。这道题这么难算，有没有不要算的方法？

三、反思

（一）圆周率π的近似值可以取整数3这样计算略为简单，但这题仅仅是这一目的吗？

（二）被忽略的另一种算法

众所周知，圆柱体积等于底面积乘高。当圆柱体换一个位置摆放，体积不变，底面积是侧面积的一半，高是圆柱的半径。也就是说圆柱体积＝侧面积的一半×半径。

面对此题，我再次思考：圆柱体积＝侧面积的一半×半径，这种方法为什么会被忽略？

“学生的空间想象能力太差了，教完就忘记！”一位教师的抱怨给了我启发：以往我只注重对教材的解读，却忽略了对学情的深度把握。教学的难点不仅仅来自学习内容，学生的空间想象力才是制约学生学习的根本因素。依据教材，学生被强化的只是“圆柱体积＝底面积×高”的技能，空间观念没有得到相应的发展。因此学生在课堂上虽然“掌握”了知识，实际上这种“掌握”缺少支撑，如同无根之草，经不起时间的检验，更经不起变式题目的检验。要让学生真正掌握，应该将教学的重点放在“发展学生的空间观念”之上。

什么是空间观念？看不见摸不着的空间观念又该如何培养？2011 年修订版的数学课程标准指出：空间观念主要表现在：能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。

四、实践：基于发展空间观念的教学尝试

空间观念既有“实”的一面，以“圆柱体积公式推导”一课为例，实指的是：学生能用圆柱学具，通过切拼成长方体，描述出变化的过程及结果。空间观念也有“虚”的一面，“虚”指的是支撑学生理解和操作的空间想象能力。“实”需要“虚”的统摄和支撑，“虚”需要“实”的诱发和表现，虚实相生是发展学生空间观念的有效策略。体悟学生的计算困难，我把这道题教学的重点放在“发展空间观念”这一核心问题上，引导学生再次阅读课本第25页圆柱体积公式的推导，教师演示教具，然后学生自己操作学具，采取“虚实相生”的教学策略，透视公式推导直观本意，助力学生很好地理解了数学知识。

（一）空间想象能力是虚的

“虚”的“空间想象能力”并不是凭空产生的，需要实境来诱发和开拓。为此我通过学生的操作学习活动来“丰盈学生的空间想象力”。苏霍姆林斯基说：“学生的思维在他们的指尖上。”学生的空间想象力同样在他们的指尖上，让学生动手操作学具，以此活动为基础，观察思考，发展学生的空间观念。

（三）用圆柱学具切拼成长方体是“实”的

教学不能停留在看山是山的层面，从具体走向抽象，依托实像诱发想象能有效地发展学生的空间观念。动手操作后要求学生描述圆柱学具切拼成长方体的过程，描述过程后还要说说自己的发现：什么变了？什么没变？有了这样一个环节的铺垫，这样学生就会经历一个由整体想象到细致思考的过程，而不至于把图形推导的结果仅仅演变为技能的训练，有效发展学生的空间观念。

在前面的教学中，通过实践操作，学生已发现把一个圆柱切开可以拼成一个近似的长方体，在转变过程中体积不变，底面积相等，高相等，并由此推导出圆柱的体积公式是底面积乘高，可以说这个公式已在孩子们脑中牢牢掌握。在推导的过程中，我把拼成的长方体放倒，引导学生观察思考：现在什么变了？什么没有变？长方体摆放的样子变了，体积没变。原来长方体的前面变成了底面，此时长方体的底面积就是原来圆柱侧面积的一半，长方体的高就是圆柱的半径，所以得出另一个公式——圆柱体积＝侧面积的一半×半径（如下图），并可进一步得出当侧面积一定时，圆柱的体积与底面半径成正比例的结论。

通过阅读教材、动手操作，学生恍然大悟。其实这道题可以不用计算，通过推理就能知道哪个圆柱的体积最大？哪个圆柱的体积最小了。由于题目中四个长方形的面积相等，所以卷成的七个圆柱的侧面积就相等，它们的体积大小只需要考察底面半径即可。因为圆的半径与圆的周长成正比例，所以当侧面积一定时，圆柱的体积与底面周长成正比例，底面周长越大的圆柱体积就越大，底面周长越小的圆柱体积就越小。也就是当侧面积一定时，圆柱的体积与底面半径成正比例，底面半径越大的圆柱体积就越大，底面半径越小的圆柱体积就越小。本文开头的练习，七个数据中18最大，2最小。所以第一张纸横着卷时，18dm的底面周长最大，也就是底面半径最大，这时的体积也就最大。第一张纸竖着卷时，2dm的底面周长最小，也就是底面半径最小，这时的体积也就最小。

五、感悟：换个角度柳暗花明

就这样，一道计算很繁琐的问题通过换个角度观察、思考、推理，不要计算就解决了，而且在解决问题的过程中培养了学生观察图形、有效推理的能力，发展了学生的求异思维和空间观念。真是“山重水尽疑无路，柳暗花明又一村”。通过这道题的练习，说明仅仅基于教材的深度解读，虽然学习材料层次清晰，但是教学的指向是技能的提升，依靠的是外在的强化训练，有效果却不牢固；我们的教学设计必须基于学生的学习需要，基于学的设计，重在发展学生的空间观念，指向了学习的本质，才会取得更好的效果。看来，当学生出现“很难算”等现象的时候，我们需要思考的不仅仅是教材的难度问题，更要思考学生学力的提升问题，以往的教学我们更多地关注前者，以后的教学我们应该更多地关注后者。