陈东乾 张长飞 林端琳

(中国电建集团福建省电力勘测设计院有限公司 福建福州 350003)

0 引言

自从Mandelbrot引进分形几何理论后，分形几何被认为在各个学科研究领域(如化学、物理、材料科学、地球科学、土壤科学、地下水研究等)是一个十分强大的方法。当前，分形理论已被广泛用来研究岩土微观结构参数与岩土物理力学参数之间的关系，该方向为分形理论的一大研究热点[1-2]。

赵安平等[3]研究了季节性冻土区路基土粒分形参数与液限含水率、塑限含水率、塑性指数、粘聚力和摩擦角之间的关系，并得出分形参数与液限含水率、塑限含水率、塑性指数的回归方程。

梁维等[4]研究了散体云母片岩粒度分形特征与抗剪强度参数(粘聚力和内摩擦角)的关系，分析了分形参数与不均匀系数和曲率系数之间的定量关系，并建立了内摩擦角和分形参数的回归方程。

张静等[5]研究了吉林省西部分散性土的分形特征与土的分散性，发现土的颗粒越粗分形维数越小，土的分散性越大，当土的颗粒越细分形维数越大，分散性越小。

向贵府等[6]分析了昔格达地层岩土颗粒组成分形参数与不均匀系数、曲率系数、含水量、干密度之间的关系，并得到了分形参数与不均匀系数、曲率系数、含水量之间的函数关系。

韩琳[7]分析了细粒土分形参数与不均匀系数、渗透率、液限含水率、塑限含水率、塑性指数的相关曲线，并进行曲线关系分析。

以上研究成果开展了部分土的物理力学参数与粒度分形维数之间的关系研究，存在一定局限性。从以上研究可发现，土粒度分形维数与土的物理力学参数存在一定的回归关系,粒度分形维数在一定程度上表征土的工程地质特征，其分形维数的物理意义显示了土粒度成分的复杂性特点及非线性作用的特征,对认识不同区域的工程地质特征有重要作用。

基于此，本文较为系统地研究了土粒度分形维数与多物理力学参数(含水率、土粒比重、湿密度、干密度、饱和度、孔隙比、孔隙率、液限含水率、塑限含水率、塑性指数、液性指数、压缩系数、压缩模量、粘聚力和内摩擦角)之间的关系，得到了土颗粒粒度分形参数与各物理力学参数之间的回归方程，并分析了它们之间的关系，期为该地区的岩土工程实践能提供一定的帮助。

1 分形理论

大量研究表明，土壤中不仅存在孔隙大小分形特征，而且存在土壤粒度自相似分形特征，即土颗粒粒径大于或等于R的累积土颗粒总质量和土颗粒粒径大小满足分形标度关系式(1)[8]。粒度分形维数可以用来描述土颗粒分布情况，可用来定性或定量研究土的岩土工程性质，为工程实践提供一定的理论依据。

根据分形理论[9]可知：

(1)

其中，M(r≥R)为颗粒直径大某粒径R的固体颗粒质量(量纲：g)；

GS为土颗粒比重(无量纲)；

Cn，λi为颗粒形状和计算标度有关的常量；

D为粒度分形维数(无量纲，0

当R=0时，可得：

(2)

其中,M为开展粒度分析的土颗粒总质量(量纲：g)。将式(1)除以式(2)可得：

(3)

当土颗粒粒径达到最大的颗粒粒径(RM)时，即R=RM，可得：

M(r≥R)=0

(4)

将式(4)代入式(1)可得：

λi=RM

(5)

式(5)代入式(3)可得：

(6)

当颗粒粒径小于R时，即r≤R，可得:

(7)

将式(7)两边取对数，可得：

(8)

在双对数坐标上，以粒径为横坐标，以小于某一粒径的累计质量含量为纵坐标，通过拟合曲线，获得斜率B，通过式(8)进行对比3-D=B，可求的颗粒大小分形维数：

D=3-B

(9)

2 海沧某区域变电站花岗岩残积土粒度分形特征

试样为2019年1月在厦门市海沧区海沧街道古楼村附近取样，取样地点为两个110kV变电站(A，B)，距离较近(直线距离约1650 m)。该区域基岩都为花岗岩，地层类似，残积土都为花岗岩残积土；该土层为主要地基持力层，总共取样12件进行室内土工试验[10-11]。按照《土工试验方法标准》(GB/T 50123-2019)进行颗分实验，实验过程中添加分散剂六偏磷酸钠，土样颗分曲线如图1所示。

图1 土样颗粒分析曲线

从颗粒分析曲线可以看出，B变电站不同花岗岩残积土土样颗分曲线大部分比较集中，粗颗粒含量较多，细颗粒含量较少，只有土样B-5，主要以细颗粒为主，含少量粗颗粒。A变电站不同花岗岩残积土土样颗分曲线较为集中，相比较于B变电站，粗颗粒含量略少，细颗粒含量略多。

通过拟合不同土样颗分数据曲线，获得每个土样的粒度分形维数(见图2～图3，详细数据见表1)，计算出来的花岗岩残积土粒度分形维数范围在2.616-2.900，相关系数范围在0.851-0.996，拟合效果较好，线性相关较好。

表1 土样粒度成分[10-11]和粒度分形维数计算结果

从图2～图3可以看出，不同土样拟合直线的相关系数较好，A变电站的粒度分形维数略大于B变电站的分形维数，可见粒度分形维数越小颗粒粒径越大，粒度分形维数越大颗粒粒径越小，与相关研究结论一致。

因此，可以通过粒度分形维数的大小来评价颗粒大小的分布情况。当粒度分形维数越小，粗颗粒含量越多；当粒度分形较大，细颗粒含量越多，该粒度分形维数也和土的物理参数有一定关系(具体分析见第4部分)。

(a)土样A-2

(b)土样A-6

图2 海沧区A变电站不同土样粒度分形特征

(a)土样B-1

(b)土样B-4

3 粒度分形特征与物理力学参数关系分析

将12个土样开展相关土工试验，实验过程严格按照规范要求进行，以获得较为可靠的物理力学参数(表2)。

通过将粒度分形维数设置为横坐标，相关物理力学参数为纵坐标进行数据点直线拟合，并分析粒度分形特征与土的物理力学参数之间的关系。

表2 土样粒度分形维数与物理力学参数[10-11]

土的含水率为土中水的质量与土粒质量之比。从图 4可以看出，花岗岩残积土的含水率与分形维数成正相关。当粒度分形维数越大，含水量越高，此时细粒土越多，整体土样的含水率就越大，其回归方程为：W=97.425D-237.673；相关系数为r=0.859，两者有强的相关性。

图4 含水率与分形维数的关系曲线图

土粒比重为土粒质量与同体积的4℃时纯水的质量之比。从图5可以看出土粒比重与分形维数相关系数为r=0.135，相关系数小于0.3，可认为无相关性。

图5 土粒比重与分形维数的关系曲线

湿密度为单位体积湿土(取样土)的质量。从图6可以看出，湿密度与分形维数成负相关。当粒度分形维数越大时，土的湿密度越小，其回归方程为：ρ0=-0.445D+3.124；相关系数为r=-0.612，相关性弱。

图6 湿密度与分形维数的关系曲线

干密度为单位体积中固体颗粒部分的质量。从图7可以看出，干密度与分形维数成负相关。当粒度分形维数越大时，土的干密度越小，其回归方程为：ρd=-1.347D+5.169；相关系数为r=-0.811，相关性强。

图7 干密度与分形维数的关系曲线

图8 饱和度与分形维数的关系曲线

饱和度为土中孔隙水的体积与孔隙总体积之比。从图8可以看出，饱和度与分形维数成正相关。当粒度分形维数越大时，土的饱和度越大，其回归方程为：Sr=67.703D-91.678；相关系数为r=0.833，相关性强。

孔隙比为土中孔隙体积与土粒体积之比。从图9可以看出，孔隙比与分形维数成正相关。当粒度分形维数越大时，土的孔隙比越大，其回归方程为：e=1.964D-4.550，相关系数为r=0.760，相关性弱。

图9 孔隙比与分形维数的关系曲线图

孔隙率为土中孔隙体积与总体积之比。从图10可以看出，孔隙率与分形维数成正相关。当粒度分形维数越大时，土的孔隙率越大，其回归方程为：n=52.843D-99.734；相关系数为r=0.754，相关性弱。

图10 孔隙率与分形维数的关系曲线

液限和塑限可以通过液塑限联合测定仪来测定。液限为仪器锥尖下沉深度为17mm所对应的含水量。从图11可以看出，液限与分形维数成正相关。当粒度分形维数越大时，土的液限越大，其回归方程为：Wl=106.494D-256.275；相关系数为r=0.802，相关性强。

图11 液限与分形维数的关系曲线

塑限为仪器锥尖下沉深度为2mm处所对应的含水量。从图12可以看出，塑限与分形维数成正相关。当粒度分形维数越大时，土的塑限越大，其回归方程为：Wp=66.775D-157.997；相关系数为r=0.741，相关性弱。

图12 塑限与分形维数的关系曲线

塑性指数为液限和塑限的差值(省去%)，即土处在可塑状态的含水量变化范围。从图13可以看出，塑性指数与分形维数成正相关。当粒度分形维数越大时，土的塑性指数越大，其回归方程为：IP=39.719D-98.279；相关系数为r=0.813，相关性强。

图13 塑性指数与分形维数的关系曲线

液性指数为土的天然含水量和塑限的差值与塑性指数之比。从图14可以看出，液性指数与分形维数成正相关。当粒度分形维数越大时，土的液性指数越大，其回归方程为：IL=2.032D-5.193；相关系数为r=0.416，相关性弱。

图14 液性指数与分形维数的关系曲线

压缩系数为土体在无侧向膨胀条件下，孔隙比减少量与垂直压应力增量的比值。从图15可以看出，压缩系数与分形维数成正相关。当粒度分形维数越大时，土的压缩系数越大，压缩性越高，其回归方程为：av=1.121D-2.594；相关系数为r=0.504，相关性弱。

图15 压缩系数与分形维数的关系曲线

压缩模量为土在无侧向膨胀条件下，压缩时垂直压应力与垂直总应变的比值。从图16可以看出，压缩模量与分形维数成负相关。当粒度分形维数越大时，土的压缩模量越小，压缩性越高，其回归方程为：Es=-7.507D+24.784；相关系数为r=-0.552，相关性弱。

图16 压缩模量与分形维数的关系曲线

以上情况也和一般研究成果相同，土的压缩系数越大，压缩模量越小，土的压缩性越高[12-13]。

土的粘聚力和内摩擦角为土的抗剪强度指标，表示土体的抗剪强度，一般情况下，粘聚力、内摩擦角越大，土的抗剪强度越大[12-13]。通过直接快剪试验获得内摩擦角和粘聚力，通过数据拟合。从图17可以发现，内摩擦角与分形维数成负相关，其回归方程为：φ=-16.831D+71.182；相关系数为r=-0.261。从曲线和数据分布点可以看出，内摩擦角随着粒度分形维数的增大而减少，表明土颗粒越细，内摩擦角越小，这与已有研究成果相同。

图17 内摩擦角与分形维数的关系曲线

通过数据点拟合，发现内粘聚力与分形维数拟合的相关系数为r=-0.152，无相关性。从图18可以看出，数据点关系较为分散，拟合出的关系曲线存在一定误差，主要是因为在剪切试验中，局部需要克服颗粒间的咬合，造成粘聚力不同大小程度的分布；另外，由于试验过程不同剪切面和花岗岩残积土中的原岩结构面的夹角不同，造成得出的粘聚力数据较为分散。后期可以进一步开展相关区域土样数据采集，进行更为详细的研究。

图18 粘聚力与分形维数的关系曲线

4 结论

(1)花岗岩残积土粒度分形维数的大小可以定性评价土颗粒大小的分布情况，粒度分形维数与所含粗颗粒的含量负相关，即粒度分形维数越小，粗颗粒含量越多，粒度分形越大，细颗粒含量越多。

(2)该区域花岗岩残积土粒度分形维数与该土层多物理力学参数存在较为明显的线性相关性。本次分析可以发现，花岗岩残积土粒度分形维数与含水率、饱和度、孔隙比、孔隙率、液限含水率、塑限含水率、塑性指数、液性指数、压缩系数正相关；与湿密度、干密度、压缩模量、内摩擦角负相关，其中粒度分形维数与含水率、干密度、饱和度、液限、塑性指数相关性强。

在实际应用中，岩土工程师可根据粒度分形维数预估岩土体的状态及力学指标等，快速掌握场地岩土条件，对实际生产具有一定的参考意义。