【摘 要】 问题引领教学，是当今课堂的基本组织形式. 问题追问，是在原问题问答境域中的“再对话”，是对当前学生理解的再深入，是对问题本质的再接近，是对知识意蕴的再挖掘. 教师问题下的追问能有效引领学生深度学习，提高学生数学素养.

【关键词】 问题追问;深度学习;案例

问题引领师生交流对话是教学中最常见的组织形式，而问题追问是发生在师生问答境域中的“再对话”，是问题引领课堂的深度表现，具有预设性与生成性、深刻性与动态性、主体二元性等特征，有促进解决问题、建构知识、形成策略、发展思维等价值. “深度学习是在特定的社会文化情境中，学习者在与他人互动以及环境互动中，关注知识之间的有机联系，最终能够迁移并能够解决实际问题的意义生成的过程. ”[1]问题追问，是教師对学生当前理解的再启动，是对问题本质的再接近，是对知识意蕴的再挖掘. 教师有效的问题追问是促进学生深度学习的有效手段，是学生数学素养的生长剂. 本文以“导数在研究函数中的应用——单调性”为例，展示情境问题导学过程的同时，突出对原问题的“追问”，促进学生深度学习和素养的生长.

1 追问使“抽象”更深刻

情境 如图1，黑暗中，你是怎样通过远处汽车自身的灯光判断该车是上坡还是下坡的？

图2问题1 这种生活现象反映出怎样的数学现象？

引领学生用数学的眼光观察现实世界. 教学中发现，学生的理解常常是：道路可以想象成曲线，汽车灯光的指向想象成切线，这样现实问题就可想象为曲线的切线斜率正负与曲线上升下降间存在着联系. 但是光有这样的想象还是不够的， 教师继续追问.

追问1 曲线、上升、斜率与数学中哪些量有关，你能建立起它们之间的联系吗？

意图 引导学生在原有理解的基础上，继续进行数学抽象，具体过程总结如下：

山坡 灯光向上 → 上坡

↓↓↓

曲线切线斜率k>0→上升

↓↓↓

函数y=f（x） f′（x）>0f（x）递增

（x∈I）通过学生对追问1的思考，实现二次抽象，触及到具体的数学概念，并把抽象内容比对出来，把抽象过程展示出来，让学生进一步理清具体与抽象的联系，亲身经历数学抽象的具体过程，引领学生体验、感悟、反思，进而提升学生的数学抽象思维水平. 数学家弗莱登塔尔说过“与其说学数学，倒不如说学习数学化”，道出了数学学习的本质. 史宁中教授所说“会用数学的眼光观察世界”，其中的数学眼光就是抽象.

2 追问使“本质”更突出

学生操作：画出二次函数y=x2-4x+3的图象，可把直尺当成曲线的切线，移动直尺观察函数导数值变化与函数单调性的变化关系（如图3）.

教师可利用几何画板动态演示函数曲线上点运动时该点处切线斜率的变化.

问题2 函数的单调性与函数导数值存在怎样的关系？

学生通过实践与观察，直观想象，不难得出结论：设函数y=f（x），如果在某区间上f′（x）>0，那么f（x）为该区间上的增函数;如果f′（x）

<0，那么f（x）为该区间上的减函数. >     教学中，多数老师喜欢学生的回答符合自己的教学设计，从而使课堂教学顺利进行，不希望出现偏离教学设计的异议，即使听到有这样的“杂声”，也会极力“避让”. 这样往往会掩盖学生“火热的思考”，抹杀学生的创新发现，很难激起学生的争论与互学，使探究与合作成为虚设.

追问2 学生们还有其它观察结果吗？

意图：教学中发现有的学生观察到斜率数值变化与曲线增减快慢存在联系，如图4所示：

当切线斜率大于零时，斜率数值越大函数递增的越快，但不改变单调递增的本质特征;同样当切线斜率小于零时也有相应的结论. 此追问不仅让学生看到可喜的结果，更看到变化过程的精彩，体会到只有量变积累到一定程度后才引起质变！过程中让学生去掉非本质属性，突显数学本质，对结论印象更深刻，同时还能激发学生更多的有价值的数学联想，增强数学学习的兴趣，学生的直观想象能力也得到提升. 所以对数学的本质理解仍要遵循实践—认识—再实践的反复过程，采取现象与本质并重、过程与结果并重、形式与内容并重，这对数学教学具有重要的指导意义. 正如《普通高中数学课程标准（2017年版）》所强调的那样，“数学核心素养是在学生与情境、问题的有效互动中得到提升的. ……在教学中，应结合教学任务及其蕴含的数学核心素养设计合适的情境和问题，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质. ”

3 追问使“推理” 成自然

教学中不少教师通过以上的直观感知就结束了对结论的理解，进入应用环节. 事实上，作为函数变化率的导数刻画了函数在每一点处的瞬时变化趋势，函数的单调性刻画了函数在区间上的变化趋势，它们之间还是有一定区别的.

追问3 函数导数与函数单调性之间存在着怎样的内部联系呢？

意图 回顾函数导数和单调性概念，对比二者结构的相同处与不同处，产生认知冲突，有效激发学生思考，追问并形成二者联系. 体现微观与宏观、量变与质变的哲学原理，让学生欣赏到数学的智慧之美，过程如下：由f′（x0）>0，即f（x0+Δx）-f（x0）x0+Δx-x0>0，说明f（x）在x0的附近存在一个递增的“小区间I0”;在区间I0内靠近右端点处取点x1，又f′（x1）>0，同样在x1的附近也存在一个递增的“小区间I1”;再在区间I1内靠近右端点处取点x2，f′（x2）>0，说明在x2的附近也存在一个递增的“小区间I2”;…，通过这样不停的“传递、叠加”，这些递增的“小区间In”连成一片，形成一个递增的大区间（a，b），从而满足任意x1，x2∈（a，b），当x1

“会用数学的思维思考现实世界”，其中数学的思维就是数学推理. 数学是学习、培养理性思维的一个主要途径，人们依靠逻辑思维能力对感性材料进行一系列抽象、概括、分析和综合，形成概念、判断或定理的推理与证明，过程中反映了寻找事物的本质规律及内部联系的数学精神.

4 追问使“建模”更稳固

问题3 （1）确定f（x）=x2-4x+3在哪个区间是增函数，哪个区间是减函数？

（2）如何确定函数f（x）=2x3-6x2+7在哪些区间是增函数？

（3）如何确定函数f（x）=x-lnx的单调增区间？

追问4你能否再确定函数f（x）=sinx-12x（x∈（0，2π））的单调减区间？你能掌握解决此类问题的一般方法吗？

意图 追问4让学生体会在研究函数单调性方面导数是一种超越，是一种延伸，是一种思想方法，它来源于函数单调性定义，更高于单调性定义. 借助函数单调性定义的判断只能局限部分函数，而导数提供了一种“通法”，从而促使学生对函数单调性的判断形成模式构建. “会用数学的语言表达现实世界”，其中数学的语言就是模型. 数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.

5 追问使“精准”成可能

問题4 研究函数y=x3的单调性，你有何发现？

通过对具体函数的观察研究，发现函数在某个区间上导数大于零是该函数在此区间上单调递增的充分不必要条件. 至此，大多数课堂学生的学习也就可以结束了，但也会导致学生在今后的应用中出现混乱：函数在某个区间上递增，到底是用f′（x）>0还是用f′（x）≥0？

追问5 若f′（x）≥0，能否得到函数在该区间上单调递增？如果函数在某区间上单调递增，那么在该区间上是否一定有f′（x）≥0？什么才是函数在某个区间单调递增（减）的充要条件呢？

意图 知识教学不是知识符号的平面表达，而是对知识内在意义的揭示和表达. 鉴于课堂时间的限制，启发学生课后查阅资料进行思考并小组讨论形成结果，把课堂探究学习引向课外. 并使学生对本节课所获得的结论有一个完整的科学认识，体会数学真理的严谨性、精确性. 深度学习是一种整体的学习状态，它既是一个信息加工过程，同时又是一个充满着情感、意志、精神、兴趣的过程;它不仅是一个个体学习过程，还是一个社会过程、文化过程.

可见，追问集中体现了教师的素养、教学机智、教学水平和能力，深刻体现学生在教师启发下的“再创造”过程. 问题追问应做到：（1）要有目的性，要有充分的课前预设，问题的引向要明确，要突出教学任务与目标的达成;（2）要扎实推进，要在原问题解决完成，学生扎实获得相关知识、方法、经验积累后再实施追问，让学生体会到知识的发生与发展;（3）要突出在原问题的关联处实施追问，使问题得以延续，认识得到深化，过程中让学生感受数学地发现问题、提出问题;（4）要即时、智慧追问，问在学生“懈怠”处、“混沌”处、“愤悱”处、“瓶颈”处，让教师的引导象“春风送雨润花开”;（5）要突出数学核心素养的培育，教学中提高学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析等六大核心素养是新时期对数学教育的总要求，教师要充分理解教学内容的本质，思考相应数学素养在教学中的孕育点、生长点，通过问题及深层追问，把对学生数学核心素养的培养落实到每一节课中，落实到每一个教学活动中.

参考文献

[1] 吴永军.关于深度学习的再认识[J].课程·教材·教法，2019（2）.

作者简介 徐进勇（1970—），男，江苏连云港人，正高级职称，省高中数学特级教师，省优秀教育工作者;研究方向：课堂教学研究;主要成绩：市教学技能比赛一等奖，市名教师、优秀教育园丁、学科带头人等. 发表论文30余篇，主持省、市规划课题5项，获省教学研究成果奖二等奖2项.