考虑车队叠加效应与桥面平整度影响的梁式桥动力冲击系数研究

2019-10-21刘晨光张连振高庆飞

振动与冲击 2019年19期

刘晨光，张连振，高庆飞，孙勇

(哈尔滨工业大学交通科学与工程学院，哈尔滨 150090)

移动车辆荷载通过桥梁时，会使桥梁结构发生受迫振动，在桥梁工程中，此种受迫振动所引起的荷载放大效应被称为冲击效应，通过冲击系数来描述。我国规范定义冲击系数为：在汽车通过桥梁的效应时间曲线上，最大静效应位置处，量测得到的最大动效应与最大静效应的比值[1]，即：

(1)

式中:μ为一般所指的冲击系数。也会直接使用η来代表冲击作用，并称之为动力放大系数(Dynamic Amplification Factor,DAF)。DAF与μ所代表的物理含义相同，在数值上相差1。

由于影响因素多，且具有较大的随机性，目前在各国桥梁设计规范中，均是基于一定数量的实测数据，对冲击系数给出一个估值，估值的依据主要为桥梁本身的刚度指标[2]。其中较早制定的规范如美国的AASHTO(1973)、德国的DIN1072和中国的89规范等，采用桥梁跨径L作为冲击系数的指标。而后随着对车桥耦合理论的进一步研究，加拿大安大略省桥梁规范DHBDC(1982)最早开始采用桥梁的基频f作为冲击系数的指标，我国也在04规范中开始采用基于结构频率的冲击系数公式，并沿用至今[3-5]。

从设计规范中冲击系数的确定方法与发展过程可知，目前的设计冲击系数仍是一个半经验半理论的结果，主要根据跨径、基频等结构参数确定冲击系数的大小。但根据近几年国内外对车桥耦合振动的进一步研究[6-8]，桥面不平整度、连续车辆作用等非桥梁自身结构因素反而是影响车桥体系中桥梁动力响应的更主要因素，仅根据桥梁自身的结构参数，无法完全的估计实际冲击响应的大小。因此，本文将针对非桥梁结构因素对冲击系数的影响进行研究。

大量研究成果对桥面不平整度是影响车桥耦合振动问题的最大因素这一结论基本达成共识[9-11]。但由于桥面不平整度的随机性，各条不平整度样本对应的冲击系数并不一致，目前多数研究没有对桥面不平整度的随机性与冲击系数之间的关系展开研究，分析多基于特定的不平整度样本进行。本文将在现有不平整度按功率谱密度(Power Spectral Density,PSD)分级方法的基础上，基于对一定数量不平整度样本的模拟分析，建立桥面不平整度所引起的冲击系数概率模型，并提出针对具体桥梁、具体保证率下，不平整度等级与冲击系数间的关系。

冲击系数的定义是基于车辆过桥时的响应-时间曲线，但该曲线在何种荷载条件下获得的却没有明确的规范定义。目前常用的跑车试验法通常采用单辆车驶过桥梁来测定结构的响应，但实际运营中，桥梁结构承担的是车流的作用，存在多台车共同作用或连续通过桥梁的情况，前后车辆作用之间的相互耦合程度，将影响到桥梁最终受到的冲击效应。针对移动车队中车辆间距对冲击系数的影响，本文将采用遗传算法对车辆间距进行优化分析，得到车队作用下的最大冲击系数及相应的车队排列方式。该算法通过延时叠加的方法来计算遗传样本的适应度值，避免了多次重复进行车桥耦合振动计算，可大幅提高计算效率。

1 桥面不平整度的影响

1.1 现行不平整度分级法的局限性

在桥梁的设计分析中，桥面不平整度一般通过数值模拟的方法获得。桥面不平整度可认为是路面不平整度的局部一段，因其随机性只能根据统计特性来进行描述概括。一般认为，路面不平整度是一个各态历经的平稳随机过程，功率谱密度函数能够很好的描述路面不平整度能量在频域的分布，可以刻画出路面不平整度的频域结构，因此很多研究者提出了描述不平整度的PSD方法，如ISO SCZ/WG4标准路面谱、Hwang推荐路面谱等[12-13]。我国也在规范中，给出了路面不平整度的PSD表示和分级方法[14]

(2)

式中：n和n0分别为空间频率和参考空间频率；指数w,一般取w=2；Gd(n0)为参考路面功率谱密度，规范规定了A级到H级的Gd(n0)，以此定义了不同等级路面的功率谱密度函数Gd(n)。

当不平整度用于桥梁冲击系数的分析时，仅不平整度的功率谱密度信息是不够的，需要通过变换得到具体的不平整度空间域样本，此过程需要两步变换：

一是由功率谱密度函数得到不平整度的频域函数。根据信号能量在频域的参数关系进行推导，由式(2)可得到不平整度的频域幅值

(3)

式中:|Xn|为信号频谱的幅值；Δx为不平整度的采样间隔；N为总的采样点数。

PSD法描述不平整度的缺陷在于，虽然它完整的保留了不平整度的幅值与频率信息，但缺失了信号的相位信息，所以无法由PSD函数确定唯一的复数域不平整度频域函数。一般在实际应用中，采用具有均匀分布的随机相位角θn来代替缺失的相位信息，由此可以还原出不平整度频域函数

Xn=|Xn|ejθn

(4)

二是由不平整度频域函数得到不平整度的空间域样本。此过程在对Xn进行一定的频域补零和对称延拓后，可通过离散傅里叶逆变换进行，路面不平整度空间域样本可表示为

(5)

由以上的分析可见，因为随机相位的引入，导致每次变换生成的不平整度样本的空间分布都具有差异性，但统计特性保持稳定。所以若分析只涉及路面不平整度的统计信息或频率信息时，如车辆工程中对车辆悬挂系统的研究，不平整度的PSD分级就具有良好的代表性。

但桥梁的冲击系数还与不平整度高低起伏的位置分布直接相关，以简支梁为例，跨中位置附近的桥面起伏的影响要远大于支点附近的桥面不平整，所以即使是基于相同功率谱密度函数生成的不平整度样本，其引起的冲击系数仍可能具有较大差异。此时不应该再按照各态历经的平稳随机过程来考虑桥面不平整度，基于特定样本的分析是不充分的，必须采用一定数量样本量并进行统计分析。本文计算模型如图1所示。

根据某城市桥梁，建立简支梁模型，跨径L=30 m，等截面单箱三室结构，结构计算参数取EI=1.9×1011N·m2，单位长度质量m=31 000 kg。

车辆采用二分之一模型，参数参照文献[15]中数据，前轴：轮胎质量mt1=1 000 kg，轮胎刚度kt1=4 800 kN/m，轮胎阻尼ct1=12 kN·s/m；悬架刚度ks1=2 400 kN/m，悬架阻尼cs1=10 kN·s/m。中、后轴参数相同：轮胎质量mt2=mt3=2 000 kg，轮胎刚度kt2=kt3=9 600 kN/m，轮胎阻尼ct2=ct3=24 kN·s/m；悬架刚度ks2=ks3=4 800 kN/m，悬架阻尼cs2=cs3=0。车轮间距：l1=3.7 m；l2=0.3 m；l3=1.4 m。车体：质量ms=25 000 kg；转动惯量Js=1×105kg·m2；

图1 二分之一车辆作用下简支梁模型

Fig.1 Schematic of the one half vehicle and simply supported girder interaction system

根据车桥耦合振动理论建立车-桥体系的振动微分方程，并采用Newmark-β法对方程进行求解，本文以此为基础编制了不平整度影响下的车桥耦合振动计算程序。同时ANSYS作为被广泛采用的通用有限元程序，其瞬态动力分析模块可通过分别建立车辆与桥梁的有限元模型，来模拟车辆作为移动荷载通过桥梁过程中二者之间相互的动力影响[16]。图2为本文程序与ANSYS计算结果的对比。图3为计算采用的不平整度样本曲线。

图2 跨中动位移结果对比

图3 计算采用的B级不平整度样本

可见二者计算结果一致，可证明本文程序的正确性。自编程序在需要计算大量不平整度样本的情况下，计算的方便性和速度均优于ANSYS，更适用于本文的研究。

通过FFT(Fast Fourier Transform)逆变换法对A级～C级不平整度各模拟200组样本，并计算车速30 km/h时，每条不平整度样本下的冲击系数μ值。不同等级之间结果类似，限于篇幅仅绘出B级不平整度的计算结果，如图4所示。

图4 200组B级不平整度样本对应冲击系数

从图4可知，虽然桥梁结构相同、车辆参数相同、不平整度样本PSD等级相同，但冲击系数结果并不一致，且离散型较大。对结果进行统计分析，各级不平整度对应的冲击系数样本的统计参数如表1所示。

表1 冲击系数统计结果

若不考虑桥面不平整度的影响，仅计算车辆移动所产生的动力效应，则冲击系数计算值μs=0.013。可见桥面不平整使冲击系数增大，但增大的程度除与不平整度等级相关外，还与每条不平整度起伏的空间分布有关，在同一不平整度等级内，冲击系数仍具有离散型，且离散程度随不平整度等级的增加而增大。

对本文桥梁模型，简支梁基频f=4.308 Hz，根据规范中冲击系数计算公式，冲击系数设计值μd=0.242。综合表1计算结果可知：①现行规范的冲击系数可涵盖一定程度不平整度的影响，但对不平整度较差的情况考虑不足，规范设计值可能偏于不安全;②针对冲击系数的计算分析，基于特定不平整度样本得到的结果，其代表性是值得商榷的，属于同一不平整度等级的不同样本，其冲击系数的计算结果仍然既可能高于规范值，也可能低于规范值，这就是现行PSD分级法用于冲击系数分析的局限性。

1.2 基于概率分布的附加冲击系数

虽然不平整度PSD分级方法并不能完全反应桥梁的实际冲击效应，但此分级方法已被广泛应用于多个领域，在一定时期内也仍将继续沿用，因此本文考虑在此分级方法的基础上，建立一种新的不平整度等级与冲击系数之间的联系，改善其局限性。

对于非大跨径的混凝土梁式桥等结构刚度较大桥梁，其动响应幅值一般较小，处于结构的线弹性范围之内，此时叠加原理适用，结构满足线性系统的假定。结合式(5)和Fourier变换的基本思想，任意桥面不平整度样本都可以表示成一系列不同频率的谐波型不平整度的叠加，如果不平整度的每一频率分量单独引起的动响应为yi(t)，则整条不平整度样本引起的总响应-时间函数可近似看作各分量的叠加，即

ytotal(t)=ys(t)+∑yi(t)

(6)

式中:ys(t)为理想平整状态下结构的动响应，与桥面不平整度无关。

设总的响应-时间曲线在时间tm时取得最大动响应，则根据冲击系数的定义

(7)

式中:ystatic为相同荷载情况下的最大静效应，与时间和不平整度均无关。

从定性的角度，每一个动响应分量yi(tm)都是不平整度一个频率分量的函数，也即随机变量相位角θi的函数。而对每一个yi(tm)，相位角θi均独立且具有相同的均匀分布，所以动响应分量yi(tm)之间也满足独立同分布的关系。除去与一些常数的运算，最终DAF为大量独立同分布随机变量的和，根据独立同分布的中心极限定理可推测：同一不平整度PSD等级内，具有独立同分布相位角的不平整度样本集合，各样本所引起的冲击系数满足正态分布。

由于各级不平整度的能量在各频率之间分布比例一致，仅是幅值不同，故以A级～C级不平整度为例，针对前文计算得到的各等级下DAF的结果，画出它们的经验分布函数以及与它们具有相同数字特征的理论正态分布函数，如图5所示。

从图5可知,各等级DAF的经验分布函数与同参数正态分布函数均吻合良好，可验证前文的正态分布推断。为进一步检验冲击系数的概率分布模型，取检验统计量

(8)

对每一级不平整度对应的冲击系数进行正态性的χ2拟合优度检验，检验结果列于表2。取显著性水平为0.05，每一级冲击系数均符合正态性假设。

图5 不同等级不平整度对应DAF的经验分布函数

表2 DAF的正态性检验结果

去除其他因素的干扰，定义总的冲击系数减去理想光滑状态的冲击系数为桥面不平整度单独引起的附加冲击系数μR，即μR=μtotal-μs。可以认为：对于满足线弹性假定的桥梁结构，在相同不平整度等级、具有独立同分布相位角的不平整度样本作用下，由桥面不平整度引起的附加冲击系数μR集合满足正态分布。

在桥梁设计分析中，当准备计算桥面不平整度对冲击系数的影响时，可采用附加冲击系数法予以考虑：

①根据设计等级(设计考虑的最差桥面等级)，模拟生成一定数量的不平整度样本，并在具体桥梁数值模型上，计算每个不平整度样本对应的附加冲击系数μR，得到设计不平整度等级下的一个附加冲击系数集合;②对这一冲击系数集合进行统计分析，得到其数字特征，并据此回归得到不平整度附加冲击系数的分布函数;③根据桥梁预计的养护条件，选择正态分布函数的某一分位值作为桥面不平整度附加冲击系数的设计值，例如对等级较高、养护及时的桥梁，可取中位值；对于边远地区疏于养护的桥梁，取0.95分位值，以保证结构安全。

2 车队组合形式的影响

计算冲击系数的关键在于响应-时间曲线的获得，该曲线与汽车荷载形式直接相关。作用在桥梁上的车辆数量、车辆间距和车辆速度变化时，桥梁的动响应都将不同，且该变化没有单调的变化趋势，因此本节将对冲击系数随车队参数的变化规律进行研究。

根据上文的分析，桥面不平整度会对冲击系数产生随机的影响，可能掩盖冲击系数随车队参数的变化规律，所以本部分的计算不计入桥面不平整度，集中研究理想平整状态下的冲击系数，不平整度的影响集中通过上文的附加冲击系数法进行考虑。

计算模型参数与上文相同，由于车辆间相互影响程度受桥梁阻尼的影响，所以此部分计算中计入桥梁阻尼。结构阻尼按Rayleigh阻尼考虑，参照欧洲规范(EN1991-2)中预应力混凝土梁桥的建议值，取阻尼比ξ=0.01；桥梁模型前两阶频率f1=4.308 Hz、f2=17.234 Hz，则Rayleigh阻尼系数

(9)

2.1 等间距车队对冲击系数的影响

首先分析两辆车过桥的工况，两车速度相同且保持不变。图6所示为车速30 km/h时，DAF值随两车间距的变化情况，车距范围0.5～30 m。图7所示为选取间距为10.1 m和16.9 m两个特定工况，跨中位置的动位移曲线和静位移曲线。

图6 双车工况DAF随车辆间距变化曲线

(a) 车辆间距10.1 m

(b) 车辆间距16.9 m

由图6可知，DAF随着两车距离的增大呈现出波动变化的趋势，产生波动的原因是由于不同车距下前后两车动响应的相位差，同相位时两车动响应相互增强，反相位时动响应相互削弱。以单车作用下的DAF为界线，图中的波动曲线可大致分为两部分，在间距较小时，两车作用下的DAF大部分小于单车工况，冲击效应较；当车距增大到一定程度后，两车作用下的DAF将不小于单车工况，冲击效应增加，但因为阻尼的存在，DAF的增大效果又随车距的增加减小。

图6中DAF曲线分成两部分可通过图7来解释：

当车距较小时，如图7(a)所示，两车作用下的最大静位移相较于单车工况增加，此时虽然两车动位移相位相同时也会叠加增大，但动位移增大的幅度在多数情况下不及静位移，二者的比值DAF并不一定提高，所以在图6的曲线前半段，车队作用下的DAF值小于单车工况。

当车距较大时，如图7(b)所示，前车通过跨中区域时后车尚未上桥，在第一个峰值处，可取得与单车工况相等的DAF；两车共同作用在桥上时，二者均远离跨中位置，桥梁总体位移较小，最大动位移不会在此时取得；当后车通过跨中位置时，前车已出桥，前车不会影响后车的静位移，但其引起的结构余振将与后车的动位移叠加。当二者相位相同时，动位移增大，DAF值将超过单车工况，表现为图6中曲线后半段的峰值；当相位相反时，动位移减小，整条曲线的最大动位移又将在第一个峰值处取得，所以图6中曲线后半段的DAF最小值与单车工况相同。

车辆数更多的工况原理与此类似，不过各辆车之间的相互影响更为复杂，图8和图9分别为三辆车和四辆车工况下DAF随车辆间距变化曲线，车队中各车辆间距相同，车速30 km/h。

图8 三车工况DAF随车辆间距变化曲线

综合图6、图8和图9可知：车辆数量增加后，DAF随车辆间距的变化仍然呈现波动形态，但由于有更多的动响应叠加在一起，所以随着车辆数的增加，曲线变的更加粗糙。车距较小时，随车辆数的增加，更多车距工况下的DAF将超过单车工况；车距较大时，曲线上DAF的最大值也随车辆数增加。

图9 四车工况DAF随车辆间距变化曲线

总体看来，DAF大小随车辆数的增加而提高，这主要是由于车队中前车驶过桥梁后，若桥梁阻尼不能迅速削弱结构振动，前车引起的桥梁余振将与后车的动响应叠加，桥梁的动响应将被逐步累积，驶过的车辆越多，累计值越大，故DAF逐渐增大。

2.2 不等间距车队对冲击系数的影响

在实际运营中，公路桥梁车队的排列形式是随机的，车队中各个间距并不相同，若全部进行穷举式计算，当车辆数较多时，计算量巨大，且结果难以图形化。本节仅针对三辆车的车队，分析DAF随车队前间距l1和后间距l2的变化情况，结果如图10所示。

图10 三车工况DAF随车辆间距变化曲线

上文图8的结果即为图10的对角切线。综合看来，桥梁的DAF随着车辆间距的变化仍呈现波动形态，变化趋势与上文的二维情况类似。比较特殊的是l1较小而l2较大的区域(第四象限位置)，当l2增加到一定程度时，结构的最大动响应由前面两车决定，所以此时DAF不再随l2的增加而产生波动。

3 基于遗传算法的最不利车队布置形式

当车队车辆数较多、车辆间距可取值范围较大时，穷举式的分析在计算上是不经济的。而且桥梁DAF随车辆间距的变化并没有单调的趋势性，难以归纳出一个最不利的车队布置形式。而且从图10的结果可知，DAF随车辆间距的变化呈现多峰值的特点，有很多的局部峰值，且没有明确的梯度趋势，若要计算最不利加载工况下的全局最大DAF，需考虑采用非线性优化算法进行求解。

遗传算法在非线性优化问题求解的应用上取得了良好的成果。该算法通过随机生成的初始解来开始搜索求解，通过选择、交叉、变异等操作逐代产生新的可行解，并在新的样本中根据适应度函数选择优异解进入下一步的搜索，最终获得问题的最优解[17-18]。

遗传算法最优解的搜索是从可行解的一个随机集合开始的，隐含并行搜索特性，可减少最终结果陷入局部最优解的可能性。而且最优解的搜索方向独立于目标函数，不依赖于目标函数的梯度信息，不要求目标函数连续、可导[19-20]。综合这些算法特点，遗传算法适用于本文问题。

遗传算法的基本计算框架已有了被广泛采纳的研究成果，针对具体问题，主要任务在于遗传算法中适应度函数的建立和进化参数的试算选择。本文针对冲击系数进行优化求解，车队中每个车辆的间距是决策变量，对n辆车的车队，决策变量为li(i=1,…,n-1)，优化目标为寻找li的特定组合使DAF取得最大值。

对一组决策变量样本li，需要通过样本的适应度值(DAF)来判断样本的优劣。适应度值可通过本文的自编程序或ANSYS等车桥耦合振动分析程序计算，但如此每一个适应度值的计算都需要一定的时间，而且遗传算法是一种随机搜索算法，需要较大的样本量和迭代次数，若采用此类方法计算适应度值，则算法的计算效率将受到较大影响。

对非柔性桥梁，桥梁的动响应在线弹性范围内，多辆车作用下的响应，可考虑采用单辆车作用下结构响应的延时叠加来近似求解。例如对上文的三车工况，任取l1=7 m、l2=9.8 m，图11所示为延时叠加法得到的跨中动位移与ANSYS按车队计算结果的对比。

图11 两种算法结果对比

从图11可知,延时叠加得到的动位移与ANSYS按车队的计算结果基本相同，二者偏差在工程精度上几乎可以忽略。因此，本文在遗传算法的适应度计算中，采用延时叠加法计算结构的DAF，避免了多次重复调用车桥耦合振动分析程序，大大的提高了分析速度。

首先计算单车过桥时跨中动位移的时程结果，将此结果导入适应度计算程序中。而后适应度计算函数根据遗传算法主程序传递的车辆间距样本，对单车时程结果进行延时、叠加，求得DAF后作为该组车辆间距样本的适应度值返回给主程序。主程序依据此适应度值对样本进行评价后，相应的进化出下一代样本。

为验证算法的有效性，选择车辆数为3的车队，通过遗传算法计算最大冲击系数和对应的车队布置形式，并上文穷举法的结果进行对比。遗传算法主要参数：为不遗漏最优解，车辆间距样本取值0.5～30 m，取值间距为0.1 m；每代中精英样本保留5%；交叉概率60%；初始样本量取总可行解数量的1%。图12为遗传算法运行过程中适应度值的变化曲线。

图12 遗传算法进化过程

由图12可知，算法收敛速度较快，在进化约15代即寻找到了最优解。按遗传算法结果，在l1=15.0 m，l2=14.0 m时，取得最大DAF=1.035；对图10中的二维数组搜索最大值，同样也可得到在l1=15.0 m，l2=14.0 m时，最大DAF=1.035。二者的计算结果相同，可说明此遗传算法的有效性。

通过此算法，给定车队车辆数与行驶速度后，对满足叠加性的桥梁结构，可以准确的计算出最大冲击系数和相应的车队最不利布置方式；对于非线性较强结构，该方法也可以减小可行解的搜索范围，得到初步的计算结果，减少后续精确分析的工作量。

针对本文的桥梁和车辆模型，应用此优化算法，计算不同车辆数的车队，在不同车速下桥梁的的最大DAF。图13给出的是各车队组成下最大DAF随车队行驶速度的变化趋势。

从图13可知,各车队的最大DAF随速度的变化基本相同， DAF在高速段的提高程度要显著大于低速段，这一是因为由于车速越高，车辆出桥后引起的桥梁余振越大，后车振动的叠加效果越显著；二是相同车距下车速高导致前后车的时间距离减小，前车引起的桥梁余振没有足够的时间衰减，也提高了后车振动的叠加效应。