刘中宪， 符瞻远， 苗 雨， 王治坤， 李昌俊

(1. 天津城建大学 天津市土木建筑结构防护与加固重点实验室， 天津 300384；2. 华中科技大学 土木与力学学院， 武汉 430074; 3. 天津市地震工程研究所， 天津 300384)

近年来，随着城市基础设施建设快速发展，公路交通、建筑施工、工业和爆破等活动带来的振动、噪声等问题越发引起公众关注。实际工程中常采用连续屏障或非连续屏障进行隔振设计。非连续屏障相对施工方便，造价低，隔振效果好。目前，国内外对 非连续屏障隔振效果的计算分析多采用二维模型[1-4]，而三维隔振方面的研究还相对较少。三维模拟方面：张富有等[5-7]采用有限元法模拟了三维群桩隔震效应，并进行了实测数据验证。Kattis等[8]采用频域边界元法计算了单排圆形和方形桩屏障的三维隔振问题；Tsai等[9]研究了单排混凝土实心桩等对竖向简谐振动荷载的隔振效果；高广运等[10]采用边界元法分析了成层地基中排桩隔振效果；陆建飞等[11]采用波数域边界元方法研究了低频下联结式排桩的隔振效果；徐满清[12]根据虚拟桩法求解了饱和土体中双排桩对交通荷载的隔振问题。谷音等[13]通过考虑场地条件的不同、软夹层位置的改变、不同频率Rayleigh波的输入以及桩长对Rayleigh 波传播与场地地震反应的影响。不同数值方法中，相比域离散型方法，边界元法 (Boundary Element Method, BEM) 具有降低问题求解维数、无高频频散、自动满足无限远辐射条件等优势，因此比较适合地基振动隔振问题三维计算分析。

需注意的是，对于高频波入射下三维群桩隔振模拟，单元离散数和计算自由度将急剧增加，而传统IBEM(Indirect Boundary Element Method)边界方程稠密矩阵特性严重影响了其对大规模高频问题的求解效率。文献[14]根据高阶泰勒展开，采用FMM-IBEM(Fast Multipole IBEM)求解了全空间三维孔洞周围弹性波的散射问题，发现该方法可大幅度降低计算量和存储量，但对基本解的泰勒展开仅适用于低频问题。因此本文尝试结合平面波展开，首次将FMM-IBEM方法拓展到三维群桩宽频隔振问题求解，进而分析单排桩净距、排桩桩长、场地波速、排桩排数以及多排桩之间的净距等因素对隔振效果的影响规律，为实际工程群桩隔振设计提供部分理论依据。

1 计算模型

如图1所示，弹性半空间土体中埋置单排或多排群桩，假设土体和群桩的介质均为弹性、均匀和各向同性，考虑有振源激发的Rayleigh波从左侧入射。土体介质中，设剪切模量、密度、泊松比分别为μ1、ρ1和ν1。桩体中相应介质材料参数为μ2、ρ2和ν2。

(a) 剖面图

(b) 平面图

2 间接边界元法(IBEM)

以半空间单排桩对Rayleigh波的散射为例，简要介绍传统间接边界元法的计算原理与步骤。计算模型如图 1所示。稳态波传播的运动方程可表示为

(1)

σij=2μεij+λeδij

(2)

式中：i、j=1,2,3 分别对应于x、y、z方向(下文同)；σij为弹性介质中应力分量；εij为应变分量；e为体积应变；δij为Kronecker常数。

由单层位势理论，三维空间域内的散射波场位移和牵引力可以表达为某连续面S上的积分

(3)

(4)

式中：φj(y)为边界单元上施加的虚拟均布荷载密度；非积分项cφj(ξ)为对ξ趋于x时积分奇异性的特殊处理；取c=±0.5，符号由法向量方向而定，下面定义球面波位势函数

(5)

为简化书写，上式中时间因子eiωt已略去(下文同)。其中q为纵波或剪切波波数；r=|x-y|，x和y分别为场点和源点。则全空间中简谐集中荷载产生的位移与牵引力格林函数可表达为

Gij(x,y)=

(6)

(7)

式中：ni为场点x处边界单元单位法向量与i轴正方向夹角余弦。

在半空间域

(8)

在群桩内部

(9)

(10)

(11)

根据式(3)，散射波场的位移为

(12)

(13)

问题边界条件为：桩顶面S2与半空间地表面S1应力为零，桩体-土交界面S0牵引力和位移连续。

(14)

(15)

(16)

(17)

将式(4)代入式(14)和式(15)可得：

0，x∈S2

(18)

(19)

将式(16)和式(17)代入式(12)和式(13)可得

(20)

(21)

求解问题时需要离散群桩表面和自由地表面，并在每个单元上施加虚拟均布荷载，单元上覆盖的斜面圆盘中心位置为xm，虚拟荷载中心设为yn。设群桩外部半空间地表、群桩上表面的总单元数分别为N1和N2，群桩与半空间交界面上的单元数为N0，则式(18)～式(21)可分别离散为

(22)

(23)

(24)

(25)

当桩的数量较多时，采用常规的高斯消元法，方程组求解运算量和存储量都是巨大的。下面考虑结合广义极小余量法(Generalized Minimal Residual Method, GMRES) 及快速多极子展开技术，突破常规边界元法求解大规模问题计算瓶颈。

3 快速多极子间接边界元法原理

在常规 IBEM 中，即使采用 GMRES 迭代法求解，其计算量仍达到O(N2)，使得算法难以处理大规模问题。快速多极子边界元法(FMM-IBEM)以树结构结构取代常规 IBEM 非稀疏满阵矩阵，从而大大提高了计算效率。

根据平面波展开理论[16]，核函数多极展开为

(26)

(27)

(28)

(29)

多极展开和多极传递：从源点y开始，将源点的信息传递到叶子细胞上，称之为多极展开。核函数多极展开截断数p根据经验公式[17]得到

p=kD+c0log(kD+π)

(30)

式中，D为树结构中正方体外接圆直径，c0为精度控制参数。

如果展开点从点y0移动到附近新的一点yc，则可以通过由子细胞到父细胞的多极传递M2M转换得到源点矩M=(y,yc)为

(31)

上式即为多极展开系数传递式。进而可从叶子细胞开始，逐层上行计算得到上层各结点的多极展开系数。

多极向局部传递、局部传递等可参考文献[18]中相应步骤。

4 计算效率与内存需求

为了验证本文方法的计算效率和内存需求，图2给出了Rayleigh波入射下，考虑算例离散点数变化，FMM-IBEM与常规IBEM两种方法在计算量和存储量方面的差异对比情况。首先对土体中波场频率进行无量纲化处理：ηR=ωb/2πcr，b为桩体边长。

(a) CPU运行时间对比

(b) 内存需求对比

通过以上对比可以看出：随自由度增大，传统IBEM计算时间呈O(N3)增长，存储量呈O(N2)增长，而FM-IBEM的计算时间和内存随自由度增大几乎呈O(N)增长。当计算自由度规模达到25 500时，传统方法计算时间达到78 964 s，内存达到30.0 G，而采用FMM-IBEM，计算时间只需要18 320 s，内存只需要6.0G，由此凸显出FMM-IBEM在计算量和存储量方面的巨大优势，从而为实现群桩宽频隔振问题的快速高效求解奠定了坚实基础。

5 精度验证

针对半空间群桩对面波的隔离效应，本文应用快速多极子间接边界元法求解群桩前后无量纲位移幅值同文献[18]结果比较，方桩边长b*=0.2，横波波速比rc=0.2，桩泊松比vb=0.2，土泊松比vs=0.2，长度系数l*=1.0。如图3所示，可以看出，本文计算方法所得结果与直接边界元方法求解结果吻合较好，从一方面证明了方法与程序的正确性与精度。

6 数值算例

为便于分析，本文均以混凝土方桩为例，桩体材料各参数如下：方桩边长b，桩间净距为s，体系长度l和桩的深度H，排桩与排桩间距d，桩数NS，以瑞利波波长λR对各参数进行归一化：x*=x/λR，y*=y/λR，b*=b/λR，s*=s/λR，h*=h/λR，d*=d/λR。具体计算参数见表1。考虑土体刚度变化，参考高广运等和刘中宪等文章参数，半空间域剪切波速分别取220 m/s，285 m/s，400 m/s，1 000 m/s(经计算采用软土情况相关结论同样成立)。当考虑其他因素变化时，土体波速不变，取值为400 m/s，即表1中“域(3)”的半空间模型。

(a) 本文结果

(b) 文献结果

表1 计算参数

如图1所示，设Rayleigh波水平入射，下文采用Wood等[20]提出的振幅衰减系数ARF来衡量屏障的隔振效果，ARF定义为设置屏障后屏蔽区内的竖向振幅与无屏障时的竖向振幅之比。非连续屏障起到的是一个整体的隔振作用，为了阐明这种由多根桩所形成的整体作用，本文首先分析了影响单排桩隔振效果的参数，如桩间距s*，桩长h*，场地波速比γc。然后本文讨论了排桩排数与多排桩之间的排桩净距对Rayleigh波隔振效果的影响。

6.1 单排桩屏障对Rayleigh波的隔振效应

6.1.1 桩间距s*对隔振效果的影响

取单排实心混凝土方桩作为非连续屏障，桩土波速比取5.0，桩数NS=8，b*=0.1，h*=1.0，振动产生的频率分别选用40 Hz和80 Hz。计算得到了不同桩间距下，不同频率的Rayleigh波入射时实心方桩桩后ARF等值线图。为了更为直观地观察隔振效果随桩距变化的规律，通过观察桩距变化时，ARF值超过某一百分比的区域占总图示范围的面积变化，这一比例越大，隔振效果越好。

(a) s*=0.05

(b) s*=0.10

(c) s*=0.30

(a) s*=0.05

(b) s*=0.10

(c) s*=0.30

由图4和图5可知，单排桩通过不同桩间距的组合确实能形成屏障，并且与文献[21]中连续屏障一样，屏障前有放大，屏障后ARF减小。从图4(a)～图4(c)可知，当f=40 Hz，桩后ARF≤0.63的区域面积约占图示范围比例约为25%、30%、10%，由图5(a)～图5(c)可知，当f=80 Hz，桩后ARF≤0.68的区域面积约占图示范围比例约为20%、35%、35%，随着桩间距的增大，隔振效果反而不是特别明显，且桩前放大效应减弱，过小的桩间距导致非连续屏障范围减小，而过大的桩间距会直接影响屏障的隔振效果，因此在实际工程中不宜采用过大的桩间距，建议s*取值为0.1～0.2。

从图4(b)和图5(b)可知，当s*=0.10，频率f=40 Hz时，桩后ARF=0.63的区域面积约占图示范围比例约为30%，当s*=0.10，频率f=80 Hz时，桩后ARF=0.68的区域面积约占图示范围比例约为35%。相同桩间距下，随着频率的增加，隔振效果也在增加。非连续屏障对于高频比低频隔振效果更好。

6.1.2 桩长h*对隔振效果的影响

如图6～图7所示，取单排实心混凝土方桩为非连续屏障，桩土波速比取5.0，NS=8，b*=0.1，s*=0.1，rc=5，桩长h*分别为0.5、1.0(图4(b)、5(b)已给出)、1.5、2.0，计算得到了不同桩长下的ARF值。

(a) h*=0.5

(b) h*=1.5

(c) h*=2.0

图6 不同桩长下的ARF等值线图(f=40 Hz)

Fig.6 Contours of amplitude attenuation coefficientARFfor row of piles with different pile of length

(a) h*=0.5

(b) h*=1.5

(c) h*=2.0

从图6～图7可知，随着桩长的逐渐增加，屏障的隔离效果也在增加。当f=40 Hz时，ARF≤0.68的面积约占图示范围比例约为0%、37%、65%、65%；当f=80 Hz，ARF≤0.68的面积约占图示范围比例约为0%、50%、70%、70%，无论是低频还是高频，当h*=0.5时，非连续屏障虽然也有一定的隔振效果，但是效果略差；当h*>1(即桩长大于一倍的Rayleigh波长)隔振效果虽有所上升，但桩长的增加对隔振的影响不大，这主要是由Rayleigh的特性决定的。

当h*=1.0，频率f=40 Hz时，桩后ARF≤0.68的区域面积约占图示范围比例约为37%，当h*=1.0，频率f=80 Hz时，桩后ARF≤0.68的区域面积约占图示范围比例约为50%。相同桩长下，随着频率的增加，隔振效果也在增加。

6.1.3 场地波速对隔振效果的影响

取单排实心混凝土方桩作为非连续屏障，桩数NS=8，b*=0.1，h*=1.0，s*=0.1。按表1中四种波速变化，桩土波速比值约为rc=2、5(图4(b)、5(b)已给出)、7、9。计算得到了不同场地波速条件下，不同频率Rayleigh波入射时实心方桩非连续屏障后土体位移ARF值(见图8～图9)。

(a) rc=2

(b) rc=7

(c) rc=9

(a) rc=2

(b) rc=7

(c) rc=9

从图8～图9可知，随着桩-土波速比的增大(即场地土越软)，实心方桩屏障对Rayleigh波的隔振效果越好。当f=40 Hz时，四种波速比值情况ARF≤0.68的面积约占图示范围比例约为0、25%、40%、45%；而当f=80 Hz时，ARF≤0.68的面积约占图示范围比例分别约为0、40%、55%、60%。因此无论是对于低频还是高频来说，当Rayleigh波入射时，随着桩-土波速比的增大，隔振效果也在提升，但当波速比超过7.0之后，增大桩基刚度对隔振效果提高不大。

6.2 多排桩屏障对Rayleigh波的隔振效应

取混凝土实心桩b*=0.1，h*=1.0，s*=0.1，d*=0.1，单排桩NS=8，双排桩NS=17，三排桩NS=25，按照梅花形均匀布置，如图11、图12所示。其中双排桩对应图10中三排桩仅保留前两排时的情况。

6.2.1 排桩排数对隔振效果的影响

和连续屏障相比，非连续屏障的隔振效果主要取决于排桩的排数，从图11、图12可知：当频率为40 Hz时，ARF≤0.65的面积约占图示范围比例约为15%、20%、60%；当频率为80 Hz时，ARF≤0.68的面积约占图示范围比例约为40%、50%、60%，且对于高频入射时，多排桩隔振效果明显增加，隔振效果从30%逐渐增加到60%。因此对于Rayleigh波来说，随着桩排数的增加，非连续屏障的隔振效果也在提升且效果明显。

(a) 剖面图

(b) 平面图

(a) 单排桩

(b) 两排桩

(c) 三排桩

(a) 单排桩

(b) 两排桩

(c) 三排桩

6.2.2 多排桩排距d*对隔振效果的影响

取混凝土实心桩b*=0.1，s*=0.1，h*=1.0，NS=25，d*=0.10，0.15，0.25，0.30。按照梅花形均匀布置，通过计算得到了不同排桩间距、不同频率下多排桩ARF值，如图13、图14所示。

(a) d*=0.10

(b) d*=0.15

(c) d*=0.30

(a) d*=0.10

(b) d*=0.15

(c) d*=0.30

从图13～图14可知,在正常工程参数范围内，排桩间距变化对非连续屏障的隔振影响较小，图13和图14(a)～图14(c)中当频率为40 Hz时，随着排桩间距d*的变化，ARF≤0.65占总图示范围比例约为60%、60%、60%；当频率为80 Hz时，随着排桩间距d*的变化，ARF≤0.65占总图示范围比例约为50%、48%、40%，屏障面积减小，但对多排桩隔振来说多排桩间距d*对于隔振效果影响较小，与文献[22]中结论(4)一致。

对于不同频率下，当f=40 Hz时，ARF为0.65占总图示范围比例大约为60%、60%、60%；当f=80 Hz时，ARF为0.65占总图示范围比例约为65%、65%、65%，对于高频时，当ARF为0.4时面积由占总图示范围的50%减小到45%，但ARF为0.65的面积已超过65%，因此多排桩隔振中最佳隔振位置应取1～ 2个波长之间。

7 结 论

采用快速多极间接边界元法求解了三维群桩屏障宽频隔振问题。在计算效率验证基础上，讨论了 Rayleigh波入射下重要参数对群桩隔振效果的影响。宽频模拟结果表明：

(1) FMM-IBEM方法突破了传统边界元法在求解群桩宽频隔振问题时的计算瓶颈，大幅度降低了CPU运算时间和存储量，尤其对大规模多排群桩隔振计算性能提升更为显著。

(2) 对于单排桩，桩间距是主要影响因素，过大的桩间距会使Rayleigh波的能量透射过去；当桩长超过一倍的Rayleigh波波长时，桩长对于隔离效果基本没有影响，因此当用单排桩隔振时，采用适当桩间距能达到和连续屏障相同的效果。另外，对本算例，当桩-土波速比超过7.0时，提升桩的刚度对隔振效果提升不大。

(3) 对于多排桩，排桩间距对隔离效果影响较小，但为了不显著影响隔振效果，不应取过大的排桩间距。

(4) 当低频波入射时采用多排桩设计比单排桩隔振效果好。另外，Rayleigh波入射下场地土越软隔离效果就越好。

最后需要指出的是，本文研究的弹性三维半空间下群桩对Rayleigh波的隔振效果，还可以推广到饱和半空间和层状地基中，为实际工程中的建设施工提供理论依据。