基于实功法的结构刚度效率分析

2019-10-15罗若帆王仕成陈奇纳欧阳志勇

广东土木与建筑 2019年9期

罗若帆，王仕成，陈奇纳，欧阳志勇

（1、嘉应学院土木工程学院广东梅州514015；2、广东省建筑设计研究院广州510010；3、悉地国际设计顾问（深圳）有限公司深圳518048）

高层建筑结构方案的优化对结构设计至关重要，对于高层及超高层结构，刚度控制尤为重要，结构设计人员能否快速准确调整结构刚度，决定了结构设计全过程的效率。有学者运用能量法中的单位载荷法对控制点位移进行调整［1-2］，但实际工程更侧重结构整体刚度的控制，实践表明该方法对结构刚度调整效率不高。文章通过简单算例，验证了SAP2000 软件虚功图的工作原理，并根据应变能和卡氏定理的关系［3］，对比验证了软件的输出结果，推导展示了结构应变能与刚度的关系，以此为基础对结构刚度进行调整，并采用该方法对一超高层结构进行截面调整，结果表明该方法对快速准确调整结构刚度具有较高的效率。

1 实功法在桁架模型中的应用

1.1 桁架模型的建立

为验证实功法在软件中应用的可行性，在SAP2000 中建立简单二维桁架模型，设置所有杆件截面均采用φ100×6的钢管，材料均为Q345，不考虑结构自重，荷载工况仅考虑指定水平荷载，结构布置及荷载分布如图1 所示。

图1 结构布置Fig.1 Layout of the Structure

1.2 实功法的应用

基于“虚功原理”的虚功法仅考虑单位荷载作用位置为位移监测点，所有的调整均直接作用于该点。实际工程上更侧重结构整体刚度的控制，如满足层间位移角限值、结构顶点风振加速度限值等。因此采用另一种基于能量法的分析方法，即以外力功与结构所有构件应变能之和相等的实功法，该方法计算位移的能力不如虚功法灵活全面，但根据其计算原理，可高效运用于调整结构刚度。

已知外力所做的功，可表达为：

式中：Fi为作用点外力；△i为作用点位移。

应变能是结构变形过程中贮存在结构内部的势能，可分为构件应变能和结构应变能，结构应变能等于所有构件应变能之和，根据卡氏定理［4］，杆件应变能计算公式如下：

桁架只考虑轴力，式⑵可简化为：

桁架中各杆截面面积和轴力沿杆长为常数，式⑶可简化为：

式中：vεi为杆件应变能；Ni为实际荷载下杆件内力。

根据能量守恒定律，杆件应变能等于外力功：

结构外力做功等于结构所有杆件应变能之和：

结构刚度与变形关系可定义为：

根据式⑴、式⑹和式⑺可得到结构刚度与应变能之间的关系：

由式⑻可知，结构刚度与杆件应变能之和成反比，由式⑶可知，应变能无负功，因此增大杆件截面，应变能总和将减小，结构刚度增加，而增大应变能较大的杆件截面，对该杆件的应变能减小较多，而内力重分布幅度较小，对其他杆件影响较小，因此对提高结构刚度有更好的效果。由于该方法在软件中的应用未见文献报道，故采用SAP2000 软件中输出虚功图的功能，通过该桁架算例，对该功能计算结果与手算进行完整的全过程对比。基于实功法，将实际状态和虚拟状态均设置为采用实际荷载分布，如图2 所示。

图2 荷载布置Fig.2 Load Distribution

由于SAP2000 输出虚功图数值为单位体积下的，即为：

杆件应变能除以体积V 为应变能密度，由式⑷除以V 可得：

为验证数据的准确性，对该桁架模型所有杆件进行手算应变能密度，并与软件数据进行对比，轴力图及软件输出虚功图如图3 所示，杆件按照输出虚功值的大小编号，由于10 号杆轴力为0，故不计算。计算对比结果如表1 所示。

图3 杆件轴力及输出虚功值Fig.3 Axial Force of Members and Virtual Work Value

表1 公式计算值与软件输出值Tab.1 Formula Value and Software Value

从表1 数值对比结果可知，软件输出虚功图数值为应变能密度的2 倍，即无论实际工况与虚拟工况如何设置，其值均由式⑾计算：

该数值虽然与应变能密度存在2 倍的关系，但仍可反映应变能密度，根据式⑻，可知其与刚度之间的关系，显然通过增大应变能密度最大的杆件，对结构刚度的提高效率最高，为了更直观地观察杆件间的应变能大小关系，通过软件输出虚功相对值，如图4 所示。该数值为杆件虚功值除以虚功值最大的杆件的值，再乘以放大系数100 后的结果，按式⑿计算：

图4 应变能密度相对值Fig.4 Relative Value of Strain Energy Density

表2 调整各杆件截面的计算结果Tab.2 The Calculation Results after Adjusting the Cross Section of Each Member

根据调整结果可以看出，调整应变能密度大的杆件，减小杆件应变能密度和效率更高，由于外力做功等于杆件应变能之和，在外力恒定的情况下，总体位移将减小，杆件应变能之和减小的幅度大，则总体位移减小较多，而增大杆件应变能密度小的杆件，效率则较低。由于外力做功与应变能直接相关，由式⑽可知应变能密度与应变能的关系，由于2 号杆的长度比1 号杆长，因此虽然1 号杆应变能密度较大，但其应变能较2 号杆略小，实际工程中大部分构件均为竖直方向，长度相同，且尺寸不会相差太大，因此采用更直观的应变能密度相对值来调整杆件效率更高。

2 实功法在工程中的应用

在实际工程中，结构受力复杂，任何构件均承受轴力、弯矩、剪力、扭矩等作用，人工计算难度较大，因此可采用已在桁架模型中验证的方法，对工程模型进行调整。

2.1 工程概况

建筑为LOFT 公寓，结构体系为剪力墙结构，层数为35 层，层高为4.5 m，结构总高度157.5 m，抗震设防烈度为7 度（0.10 g），地震分组为第一组，场地类别为Ⅱ类，基本风压为0.55 kN/m2，地面粗糙度类别为C 类，体型系数为1.40。层间位移角限值为1/766（该工程执行《高层建筑混凝土结构技术规程（广东省标准）：DBJ 15-92-2013》［5］）。图5 为原结构布置图（结构布置完全对称，因此取原结构平面图的一半示意），最大层间位移角为1/643（27 层，Y 向风荷载工况），Y 向第1 周期为3.88 s。

图5 首层应变能密度相对值Fig.5 Relative Value of Strain Energy Density in the First Layer （kN，mm）

2.2 刚度调整

根据全楼应变能密度分布可以看出，全楼底部约1/4 高度范围内应变能密度较大，越往上应变能密度越小，因此可主要调整下部标准层截面，根据平面图应变能密度相对值（见图5），外围墙翼缘应变能密度值较大，内部剪力墙及梁数值较小，因此直接调整外围翼缘截面。由于需要控制刚度的方向为Y 方向，翼缘厚度为截面计算高度h，因此增大翼缘厚度对提高惯性矩I 更有效。截面调整情况如图6 所示（填充部分为增加的截面）。经过微小的调整，周期为3.49 s，最大层间位移角降低为1/767，满足规范限值的要求。