两类齐次不等式的推广
2019-09-25黄武田润丽
黄武 田润丽
【摘要】本文将两类特殊齐次不等式,推广到m个变量的n次齐次不等式,并用算术-几何均值不等式对其进行证明.
【关键词】齐次;不等式;推广
一、简单结论
结论1:若a,b,c∈R+,则有
a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.
结论2:若a,b,c∈R+,则有
a5+b5+c5≥a3bc+ab3c+abc3.
以上两个结论的证明过程详见文[1].
笔者研究发现,以上两类齐次不等式都可以推广到m个变量的n次齐次不等式,为了方便证明,先引入算术-几何均值不等式.
二、引 理
算术-几何均值不等式:对n个任意的非负数ai(i=1,2,…,n),有
a1+a2+…+ann≥na1a2…an(1)
成立,當且仅当a1=a2=…=an时上式取等号.
令bni=ai(i=1,2…n),由引理得
bn1+bn2+…+bnn≥nb1b2…bn.(2)
当且仅当b1=b2=…=bn时上式取等号.
三、推 广
将结论1推广到m个变量的n次齐次不等式.
推广1 设xj≥0(j=1,2,…,m),对任意正整数n,m(n≥m)有以下式子成立:
xn1+xn2+…+xnm≥xn-m1xm2+xn-m2xm3+…+xn-mmxm1.
证明 因为xj≥0(j=1,2,…,m),n≥m,根据(2)式可得
xn1+…+xn1(n-m)个+xn2+…+xn2m个≥nxn-m1xm2,
xn2+…+xn2(n-m)个+xn3+…+xn3m个≥nxn-m2xm3,
…
xnm+…+xnm(n-m)个+xn1+…+xn1m个≥nxn-mmxm1,
以上不等式两边分别相加得
xn1+xn2+…+xnm≥xn-m1xm2+xn-m2xm3+…+xn-mmxm1
即可证,当且仅当x1=x2=…=xn时取等号.
将结论2推广到m个变量的n次齐次不等式.
推广2 设xj≥0(j=1,2…m),对正整数n,m(n≥m)有以下式子成立:
xn1+xn2+…+xnm≥x1x2…xm(xn-m1+xn-m2+…+xn-mm).
证明 因为xj≥0(j=1,2…m),n≥m,根据(2)式可得
xn1+…+xn1(n-m+1)个+xn2+…+xnm≥nxn-m+11x2…xm,
xn1+xn2+…+xn2(n-m+1)个+xn3+…+xnm≥nx1xn-m+12x3…xm,
…
xn1+xn2+…+xnm-1+xnm+…+xnm(n-m+1)个≥nx1x2…xm-1xn-m+1m,
以上不等式两边分别相加得
xn1+xn2+…+xnm≥x1x2…xm(xn-m1+xn-m2+…+xn-mm)
即可证,当且仅当x1=x2=…=xn时取等号.
三、特 例
例1 若a,b∈R+,对任意正整数n,m,有
am+n+bm+n≥ambn+anbm.
证明略.
例2 (1991年美国《大学数学杂志》第四期征解题)若xi≥0(i=1,2…n),则有
xn+11+xn+12+…+xn+1n≥x1x2…xn(x1+x2+…+xn).
证明略.
本文对两类齐次不等式进行了推广,拓展了应用范围.推广的证明和结论,在部分齐次不等式的解题中,具有一定的实用价值.
【参考文献】
[1]李再湘.让思维充满思想,让思想充满智慧——平均值不等式解题功能的挖掘[J].中学生理科应试,2003(9):1-2.