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亲历数学建模,感悟数学思想

2019-09-17沈军梅

新课程·小学 2019年7期
关键词:笔筒抽屉铅笔

沈军梅

“鸽巢问题”是义务教育课程标准实验教科书人教版六年级下册数学广角的内容。鸽巢问题又称抽屉原理。本节课内容既独立又抽象,独立是因为它有别于其他课,与前后知识点没有联系,比较孤立;抽象是因为“鸽巢问题”实际上是一种解决某种特定结构的数学或生活问题的模型,是一种思想方法。教材紧紧围绕学生的认知特点,通过几个直观的例子,借助实际操作,向学生介绍“鸽巢问题”。学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题“模型化”,会用“鸽巢问题”解决问题。例1教材借助把4支铅笔放进3个笔筒中的操作情景,介绍了一类简单的“鸽巢问题”,即把m个物体任意分别放进n个空抽屉里(m>n,n是非零自然数),那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。例2介绍的是另一种类型的“鸽巢问题”,即把多余kn个物体任意放进n个空抽屉(k是整数),那么一定有一个抽屉中放进了至少(k+1)个物体。实际上,如果设定k=1,这类“鸽巢问题”就变成了例1的形式。因此,这两类“鸽巢问题”本质是一致的,例1只是例2的一个特例。

六年级学生已经有一定的逻辑思维能力,理解“鸽巢问题”的理论并不复杂,但在建立模型过程中,让学生灵活、准确地使用“总有”“至少”这些特定语言来表述,以及在具体应用中找到实际问题与“鸽巢问题”模型之间的联系是学生学习的两个难点。在教学时,教师可以充分利用学生的生活经验,放手让学生自主思考,先采用自己的方法“证明”,然后再进行交流,在交流中引导学生对“枚举法”“假设法”进行比较,思考每种方法各有什么优越性和局限性,让学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题,发展学生的抽象思维能力。

基于对教材、学情的理解,我的教学实践设计如下:

一、游戏导入,激发兴趣

课伊始,创设魔术表演的情境,老师手中有一副扑克牌,取出大小王,还剩52张牌,请1名学生随意抽5张,老师猜出至少有2张是同一花色。再让这名学生任意抽14张,老师猜出至少有一对花色相同。当学生感受到老师的神奇时,教师引导说,老师为什么能作出如此准确的判断呢?因为这个有趣的魔术中蕴含着一个数学原理,这节课我们就用铅笔和笔筒来研究这个原理。

二、动手操作,感知模型

1.呈现问题

课件出示:把4支铅笔放进3个笔筒里,你可以怎样摆放?有几种不同的摆放方法?

2.实物操作

组织学生小组合作,边摆边记录,教师巡视。

3.反馈交流

(1)枚举法。各小组学生口述摆放方法,老师在黑

板上用数的分解的方式把所有的可能都罗列出来,

即(4,0,0)(3,1,0)(2,1,1)(2,2,0),并指出,像这样把所有的方法一一列举出来,得到结论的方法叫作枚举法(板书)。

观察四种方法有什么共同点?学生发现了两个共同点:一是每种方法的3个笔筒里都有4支铅笔。二是每种方法中总有一个笔筒至少有2支铅笔。根据第二个共同点,理解关键词“总有”和“至少”。学生认为“总有”是一定有、肯定有的意思;“至少”是最少的意思。老师在此环节进行三个追问帮助学生深度理解“总有一个笔筒至少有2支铅笔”这句话。追问1:“至少2支”究竟指的是多少支?学生思考后回答:“至少2支”是指2支及2支以上,即一定有一个笔筒最少有2支铅笔,或者2支以上。追问2:2支、3支、4支、5支……都可以吗?一名学生说最多是4支,不可能超过4支。追问3:哪个笔筒里至少会有2支铅笔呢?学生观察后得出:放得最多的笔筒里至少有2支铅笔。有学生质疑,(2,2,0)这种摆放方法不符合这个结论,有2个笔筒里都有2支铅笔。全班再次理解后得出:“总有一个”的意思就是存在一个就可以了,两个笔筒里都是最多的也可以。

(2)假设法。如果每个笔筒里不允许放2支及2支以上的铅笔,你能办到吗?学生说不可以,假如每个笔筒里都先放1支,最多放3支,剩下1支不管放进哪个笔筒,总有一个笔筒里至少有2支铅笔。老师指出,这种方法,我们称为“假设法”,先假设每个笔筒里都放1支铅笔,余下的1支无论放进哪个笔筒,都会出现“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”的结论。

4.优化策略

这种假设法你能用算式表示吗?学生列出4÷3=1…1,1+1=2,老师追问商1和余1的意义是否相同。这种推理方法与枚举法中的那种摆放方法实际上是一样的?一名学生说是(2,1,1),为什么只研究这种方法就能断定一定有“至少2支铅笔放到同一个笔筒里”?师生共同讨论后得出:

从最不利的情况考虑,把铅笔平均分,把铅笔依次放进笔筒里,这样每个笔筒里放1支,不让任何一个笔筒空着,就达到了让所有笔筒中的铅笔最少的目的,而另一支铅笔不管怎么放,都一定能保证总有2支铅笔放进同一个笔筒里。

而其他方法,有的也放进2支,甚至是3支、4支,这样只能说明有2支以上的铅笔放进同一个笔筒里,不能满足“至少”这个条件,所以只要这种情况考虑了,其他条件就一定能满足,也就是说其他情况就不用考虑了。

三、深入探究,建立模型

1.加深感悟

如果5支铅笔放进4个笔筒里,会有什么结果呢?学生用假设法很快得出结论:总有1个笔筒里至少有2支铅笔。如果6支铅笔放进5个笔筒里,10支铅笔放进9个笔筒里,100支铅笔放进99个笔筒里等,你有什么發现?学生独立思考后发现,只要铅笔的数量比笔筒的数量多1,余数都是1,那么总有一个笔筒至少要放进2支铅笔。

2.提升思维

如果铅笔的数量不是比笔筒的数量多1呢?5支铅笔放入3个笔筒,总有一个笔筒里至少有几支铅笔?小组同学交流后进行集体反馈,重点讨论:先在每个笔筒放1支,剩下2支再平均分后放入不同的笔筒,这样才能保证放得最多的那个笔筒里的铅笔数最少。

3.建立模型

请独立思考7支铅笔放入3个笔筒里会有什么结果?把m支铅笔放入n个笔筒里,不管怎么放,总有一个笔筒里至少放几支铅笔?学生思考后集体交流,得到结论:当铅笔比笔筒多时,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有(商+1)支笔。

4.揭示课题

同学们发现的这个规律,其实就是一个非常著名的数学问题,叫抽屉原理,刚才用铅笔和笔筒研究这个原理的时候,把铅笔看作被分的物体,笔筒看作抽屉。数学研究是无国界的。还有一些国家是用鸽子和鸽巢来研究物体和抽屉的关系。虽然研究的素材不同,但反映的原理却是相同的,所以抽屉原理也被称为鸽舍原理,把这类问题称为“鸽巢问题”(揭示课题)。因为最先发现这一规律的人是德国数学家狄利克雷,人们为了纪念他能从这么平凡的事情中发现的规律,就把这个规律用它的名字命名,叫“狄利克雷”原理。

四、运用模型,解决问题

首先让学生解释课前扑克牌游戏里老师能快速做出正确判断的秘密,接着让学生举出一些能用鸽巢原理揭示的生活中的例子,最后完成课本69页的做一做。在教学时,可以让学生说一说什么相当于“鸽巢”,什么相当于“鸽子”,用模型化的语言来解释,帮助学生找到实际问题与“鸽巢问题”模型之间的联系。

教学后,反思如下:

1.游戏导入,激发学生的学习兴趣

课伊始,我就从学生喜欢的魔术游戏入手,创设关于“鸽巢问题”的“行为表征”的情境,提出了待解决的问题,“知道老师为什么能做出准确的判断吗?因为这个有趣的魔术中蕴含着一个数学原理,这节课我们就研究这个原理”。围绕着中心问题而展开教学,抓住学生好奇的心理,激发学生的求知欲,唤起学生的主体意识,为学生自主探索、发现问题、解决问题营造氛围。

2.重组教材,实施过程简洁有效

教材中的例1借助可操作、直观的素材,介绍了“鸽巢原理”的最基本形式,只需口头表达,例2提高到用算式推理过程表达,介绍了“鸽巢原理”的一般形式。为了让学生从直观操作顺利过渡到抽象的推理,本节课我一改教材69页例2“7本书放入3个抽屉”的情境,将例1“笔筒放入铅笔”的情境贯穿课的始终,使得教学结构紧凑,实施过程层层推进,扎实有效,体现了课堂教学的整体性和简约性。

3.自主构建,注重数学思想方法渗透

首先引导学生从简单的情况开始研究,渗透“建模”思想。学生通过枚举、假设等方法把抽象的数学知识同具体的分析策略结合起来,经历知识的发生、发展的过程以及简单的推理,体验方法的多样化和优化,让学生逐步学会用一般性的数学方法来思考问题。在大量举例后学生理解了“当铅笔比笔筒多时,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有(商+1)支笔”的規律,构建了“鸽巢问题”的模型,使知识得到了升华。在解决问题时注重让学生找到实际问题与“鸽巢问题”模型之间的联系,将方法迁移类推,加以解释,培养了学生的数学思维能力,促进了学生逻辑推理能力的发展。

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