丁申虎 贾云献

（陆军工程大学石家庄校区 石家庄 050003）

1 引言

随着科学技术的发展，一大批新型复杂装备正逐渐列装陆军作战部队，与传统的老旧装备相比，这些装备性能先进、结构复杂［1～2］，造成了部件之间存在着相关性。在制定装备维修计划时，如果忽略了这些相关性，就会造成较高的维修费用和停机时间。因此，在对装备实施维修决策时要充分考虑这些相关性的影响，从装备整体的角度出发来制定维修策略，可以将几个部件的维修工作同时进行来提高维修效率，这就是我们常说的组合维修。部件间的相关性主要包括经济相关性、故障相关性和结构相关性，故障相关性和结构相关性较复杂，当前的研究也较少，因此，本文仅针对经济相关性做相关的研究。

目前已有很多学者从长期使用的角度开展相关的维修工作的组合维修模型的研究。蔡景［3～4］针对多部件系统的定期维修工作提出以T为基本维修间隔期，将各部件的预防性维修间隔期调整为T的整数倍，这样可以使很多维修任务有机结合在一起。白永生［5］研究了功能检测以及功能检测与定期维修工作的组合优化问题。李欣悦［6］研究了部队不同修理级别上的预防性维修工作的组合优化问题。

工龄更换也是一种常见的预防性维修策略，指的是部件在使用的过程中，即使无故障发生，到了规定的更换工龄T也要进行更换，如果未到工龄发生了故障，则更换新品，并重新记录该产品的工作时间。同时，为了减少故障后维修费用，在工龄更换的间隔期内会定期对装备进行检测，因此，本文将对采用此类复合维修策略的部件进行组合维修研究，并运用马尔可夫决策过程的相关理论进行求解和优化。

2 符号说明和模型假设

cpi：部件i直接预防性维修费用；

cfi：部件i故障后直接修复性维修的费用；

s：部件i进行预防性更换和修复性维修的维修准备费用，为一定值且各部件进行预防性更换和修复性维修的维修准备费用都相等，此外，多个部件同时进行预防性更换或修复性维修时的维修准备费用也是个定值，和单个部件的维修准备费用一致；

Δti：组合维修后部件i维修时间与原计划的变化量，一般为检测间隔期的整数倍，可以是正值也可以为负值，正值表示维修间隔期增大，即维修时机推迟，负值表示间隔期减小，维修时机提前；

ti：组合维修前部件i进行工龄更换的初始维修计划时间；：组合维修后部件i进行预防性更换的时机；：部件i按照单部件维修决策模型得出的最优工龄更换时间；

Gk：第k个组合维修；

装备各部件均为单一故障模式，且各故障发生相互独立；

在定期预防性维修时进行修复如新的维修；

预防性维修和修复性维修时间很小，可以忽略不计；

每次检测的费用和所用时间忽略不计；

维修人员和备件充足。

3 单部件复合维修决策模型

3.1 单部件复合维修策略

采用“辅以定期检测的工龄更换”的复合维修策略是指部件的基本维修方式为工龄更换，但在工龄更换的间隔期内等间隔的对部件进行检测，若检测到部件的状态超过了预防性维修阈值则进行预防性更换，其维修效果和维修方式和工龄更换一致。期间，若部件发生故障则进行修复性维修，如图1所示。

图1 单部件复合维修策略

3.2 单部件费用模型

以往复合维修策略往往是根据相应的准则来确定长期使用时各部件的最优检测间隔期和工龄更换间隔期，但由于部队实际训练的情况和协调各方面的工作，此时得出的检测间隔期可能不适应实际需求，往往会设定一个适当的检测期，由此来确定工龄更换的间隔期。

在离散的检测点上根据部件的状态来进行维修决策，这些时刻称为决策点，由于检测的间隔期是相同的，因此，这里一个检测间隔期就相当于一个单位时间。

当一个部件已正常工作时间为 jT，则部件已进行的检测数为 j次，表示部件i在接下来的检测间隔期内发生故障的概率，即在内发生故障的概率为

根据更新报酬理论，可知部件的在单位检测间隔期内的维修费用为［7～8］

通过对上式求解可得出使该部件单位时间维修费用最低的最优工龄更换间隔期，这里得出的表示检测间隔期的数量，不是具体的时间数值，此时，单位检测间隔期内维修费用的期望值为，这里用来表示。

4 复合维修的组合维修决策模型

4.1 复合维修的组合维修策略

对于采用上述复合维修方式的复杂装备系统中的多个部件，各部件进行定期检测的间隔期相等，但工龄更换间隔期不一定相等。若部件一直采用预防性更换的更新方式，在某一段时间内可能有多个部件需要进行工龄更换，各部件的工龄更换时间相差几个检测间隔期，由于部件仅在检测的时刻进行维修，因此，在某个检测时刻同时对多个部件进行工龄更换可以有效地节省维修准备费用，同时，能减少装备系统的停机时间，延长装备的使用时间，如图2所示。

图2 复合维修的组合维修策略

4.2 初始维修计划

由于是在局部的使用阶段内对不同部件的工龄更换进行组合维修决策，因此，时间区域不应太大，且在此时间段内每个部件仅需要进行一次工龄更换，在该时间段不会出现一个部件需做两次工龄更换工作，因此

4.3 马尔可夫决策过程

采用复合维修策略后，根据每次检测后部件的性能状态以及已正常工作的时间决定部件是否需要进行维修、采用怎样的维修方式等，做出决策后，会产生相应的维修费用并影响部件下一阶段的状态，间隔一个检测间隔期后，再次进行检测，并根据部件的性能状态来确定维修方式，如此反复进行，因此，可以运用马尔可夫决策过程的相关理论来描述这一过程［9～10］。

由马尔可夫决策过程易知，部件i在状态 j时因采用的维修方式不同而产生的期望维修费用为

S表示系统中所有可能的状态构成的非空的状态集，也称状态空间，则。

a表示维修决策活动，这里主要是采用三种决策行为，一是不修，保持原状；二是预防性更换，预防性更换指的是部件还未到规定的时间，但在检测时发现部件的性能状态超过了预防性更换阈值；三是故障后修复性维修。表示部件i处于状态 j时，采用决策a时所得到的报酬的期望值。表示采取决策a时，部件由状态 j转为状态k的概率。其中，当k=j+1，。

按照工龄更换的维修策略，依据控制限策略，易知期望费用的表达式为

4.4 组合优化

4.4.1 维修费用分析

当多个部件的预防性更换工作同时进行时，必然会导致部分部件的维修时机比计划要提前或推后，这就会导致部件的维修费用发生变化。对于一个部件来说，如果初始预定的维修时间为，维修间隔期增大时，部件发生故障的概率增大，增加了修复性维修的费用，这也导致后序的维修计划相应得也推迟了，但节省了维修的时间推迟所产生的费用，同理，若维修时间提前，部件发生故障的概率降低，减少了修复性维修的费用，但同时会增加维修时间提前所产生的费用。若Δti＞0，则h(Δti)表示部件由于推迟维修所产生的费用变化，若Δti＜0，则h(Δti)表示部件由于提前维修所产生的费用变化。

假设部件的最优预防性维修间隔期为ai，当ai=7，Δti=1，因此，按照新计划部件i预防性维修的时机为ai+1，推迟了一个单位的检测间隔期时间，部件有的概率能在此间隔期内正常工作，有的概率在这一时间区间发生故障。在第一种情况下，部件会处于状态8，总期望报酬为，第二种情况部件处于故障状态，期望报酬为，在部件两种状态的转换间隔期为一个单位时间，因此可以节约的费用，因此

其中，bi=cfi-cpi。

因此

其中，。

若将多个部件同时进行组合维修后，组合内各部件的维修时间都为，即在同一个组合内的预防性维修活动，这些维修活动会在相同的时间内进行。

同一组合Gk中由于各个部件维修时机变化所产生的总维修费用变化为［11～12］

则，多个部件同时进行预防性更换维修活动可以节省的维修准备费用为表示组合中预防性更换工作数量。

由式（7）、（8）可得，组合Gk总共可以节约的费用为

4.4.2 可靠性分析

在装备的使用过程中，往往对部件的安全性有较高的要求，这就要求部件在使用期内发生故障的概率要尽量小。组合维修后部件的延迟时间不能无限的延长，必须满足相应的可靠性要求，可靠性是指系统在正常运行期间不会发生故障的概率，可靠性与故障率的一般关系为

因此，为了使部件保持较高的可靠度水平，预防性更换间隔期必须满足：

Ri0表示部件需要满足的最低可靠度值。

4.4.3 组合维修决策模型的确定

本文中，组合维修决策的目标是在各部件满足安全性的前提下使组合维修后节省的维修费用最大化，即

5 案例分析

已知某型装备系统由5个重要部件组成，各个部件的故障规律均服从两参数威布尔分布，各部件的特定预防性维修费用、修复性维修的直接维修费用（元）、已工作时间以及寿命分布的形状参数和尺度参数如表1所示。

表1 各部件的相关参数

已知维修准备费用s=30，部件的检测间隔期T=15，以每15天作为一个单位时间，则根据式（1），可得出各部件的最优工龄更换间隔分别为13、11、10、16和15个单位检测间隔期的时间，即部件的更换间隔期分别为195天、165天、150天、240天和225天。

图3 初始维修计划

若在t0时对该型装备的预防性维修工作进行组合优化，为了便于分析，这里假设t0=0，根据此时各部件的使用情况，依据式（2）、（3），取 tend=10，则在［0，10］这段时间内，各部件的初始维修计划如图3所示。

由图3可以看出，在［0，10］期间内，在此期间装备的期望总维修费用为

把以上数据带入式（14）可得，在［0，10］期间，系统维修费用消耗的期望值为531元。

同理，以各部件发生故障的概率低于0.2为约束，利用遗传算法工具箱［13］进行求解，优化过程见图4。

图4 复合维修的优化过程

6 结语

本文针对复杂装备复合维修工作之间存在的经济相关性问题，首先利用马尔可夫决策过程的相关理论分析单部件的维修情况，再根据相应的准则对部件的预防性维修工作进行组合优化，对部队的维修工作有一定的指导、借鉴作用。但是，本文的研究都是基于修复如旧或修复如新的假设，实际维修还存在不完全维修的情况。同时，模型的建立基本上都忽略了维修所用的时间，当建立模型将这些因素加以考虑后可进一步优化组合维修决策模型。