张学成 王金锋 张生凤

（中国船舶重工集团公司第七二三研究所 扬州 225001）

1 引言

相控阵技术［1～3］已经成为当今主流，数字波束形成（DBF）技术［4～7］作为关键技术之一，直接影响系统性能的优劣。目前数字波束形成技术主要分为两个分支：1）固定权重波束形成［8］；2）自适应波束形成［9～10］。其中固定权重波束形成可进一步细分为：1）窄带波束形成；2）宽带波束形成。窄带波束形成主要基于窄带模型，通常适用于信道化体制，随着信号带宽的增加，窄带波束形成所需的硬件资源对板卡性能提出了更高的要求，而宽带波束形成为该问题提供了新的解决思路。

小数延迟滤波［11～12］（FDF）是宽带数字波束形成的基础。在信号检测时的信道化处理，小数延迟滤波会在一定程度造成信号失真，本文在分析基于小数延迟滤波（FDF）的宽带数字波束形成技术的基础上［13］，提出了基于改进加窗的小数延迟滤波器，并进行仿真验证。

2 小数延迟滤波器理论分析

本文主要讨论FIR结构的小数延迟滤波器。对于入射信号x()t，假设延迟量为τ，则延迟输出为

根据傅里叶变换，可得系统函数H（.）的频域表达式：

其中ω为对应角频率。信号经过采样变换为离散信号，式（1）等价于：

其中D为离散信号的延迟量，根据离散时间傅里叶变换（DTFT）可得延迟信号的频域响应：

此时理想系统函数Hid（.）的频域表达式：

对应时域表达式为

实际工程应用FIR均为有限长，因此所设计的滤波器为理想滤波器的最小均方误差逼近：

得出实际工程应用的滤波器表达式：

滤波器长度为2N+1。式（7）的准则函数仅仅对时域进行约束，如果有效带宽仅仅为奈奎斯特域的一部分，理论上可以通过对频域进行局部约束，从而进行含约束的准则函数求解，进一步提高滤波器性能，考虑到时域约束已经满足性能需求，本文直接采用式（8）所设计的滤波器。

3 滤波器性能分析

滤波器的性能主要从两方面展开分析：1）滤波器幅频响应特性；2）频段选择。

3.1 幅频特性

由式（7）可知，滤波器在逼近中存在误差：

滤波器对应幅频响应曲线如图1所示。

图1 FDF幅频响应曲线

幅频响应曲线不是平滑的幅度为1的直线，造成该误差主要有两方面原因：1）滤波器的逼近误差；2）吉布斯（Gibbs）现象［14］。式（9）给出的滤波器逼近误差解释了图1中幅度微小抖动的原因；观察图1容易发现频率在0.5（高频）附近出现大的抖动，造成该现象的原因为吉布斯现象。

首先介绍Gibbs现象：即信号在跳变点处，傅里叶级数是原始信号的最小均方误差逼近，而非最佳一致逼近。图2给出了吉布斯现象的仿真分析。图3为幅频响应曲线。

图2 吉布斯（Gibbs）现象

图3 幅频响应曲线

根据Gibbs原理可知，跳变点出现在±ωc处，对于全通的小数延迟滤波器而言，幅频曲线在高频处（ωc→π）有跳变点（即图1中的0.5处）。至此通过理论解释了幅频曲线误差特性，该误差特性可进一步概括为：系统幅频曲线在整个频段存在微小抖动，且在高频处由于Gibbs原理引入较大的误差。

3.2 频段选择

暂且忽略微小抖动对系统性能的影响，仅分析高频处由于Gibbs原理引入的较大误差。根据上文分析可知：若信号有效频段落在Gibbs失效区域，则滤波器对该频段信号失效。特别地，当入射信号为二相码时，入射信号的滤波输出将引入较大误差，图4给出了对应的仿真结果。

图4 不同频率小数延迟滤波输出

图4 可以从两个角度对误差进行分析：1）由于Gibbs原因，滤波器在设计上存在高频失真的缺陷；2）跳变信号可看作冲激响应，信号在整个频段都有信号分布，而高频部分由于Gibbs原因引入误差，因此滤波器输出将引入较大误差，图4给出了该误差的直观描述。

对于信号检测，通常进行信道化处理，虽然小数延迟滤波由于上述分析的各原因造成信号失真，但信号在高频以外的部分误差仅仅为滤波器逼近误差引入的微小抖动，因此合理选择信号工作频段，在后续操作中剔除无效频段（如信道化后丢弃非有效信道），整个系统架构的性能将不受滤波器性能、信号跳变失真带来的影响。为避免Gibbs原理带来的影响，有效工作频段的截止频率取0.45fs，其中fs为采样率。

4 滤波器性能改进

滤波器性能改进主要从两方面展开分析：1）幅度平坦度；2）延迟器选择。

4.1 幅度平坦度

对信号加窗［14］，可进一步提升幅频特性曲线的平坦度：

图5对比了加窗前后的幅频曲线，从图中可以看出加窗可有效改善幅频性能。

图5 加窗前后幅频性能对比

虽然加窗改善了平坦度，但不同时延需要不同的窗函数，如果系统采用实时运算处理的体制，窗函数将进一步增加算法复杂度。考虑到固定窗函数不影响小数延迟滤波的延迟性能，对加窗操作进行改进：

该操作采用统一窗函数，但相同信号不同延迟对应的权重将发生改变，如图6所示。

滤波之后幅度发生改变，该特性将造成DBF性能的下降，因此可考虑对幅度进行补偿：用固定窗函数取代延迟窗函数，本质上权重系数的改变即为窗函数的幅度。图7给出了该结论的仿真图，仿真结果同样证明了该理论的有效性。

图6 改进加窗思路的小数延迟输出

图7 权重与延迟的关系图

4.2 延迟器选择

图8 小数延迟滤波器误差性能分析

对于不同的延迟单元：

其中n0为通过平移调整的整数采样点延迟，D0为通过小数延迟滤波器调整的延迟，这样一来出现多种组合，例如D=5.3采样点，则组合为：［5+0.3］，［1+4.3］，［2+3.3］……即通过平移整数点抵消一部分延迟，通过滤波器抵消另一部分延迟，现在分析多种组合中的最优解：

根据式（13）分析可知，直接小数延迟滤波的分母最大，相对误差理论上最小，而采用整数点平移、小数部分采用小数延迟滤波的操作误差最大，即理论上非整数的小数延迟滤波给出了幅频性能的误差上界，图7的仿真结果同样说明了该分析的合理性。

综合上述分析，可以得出结论：固定加窗、直接小数延迟滤波都将改善小数延迟的性能。

5 结语

本文尝试给出小数延迟滤波器误差的理论分析，并针对误差特性给出工程化应用的要点，最后提出改进的加窗思路，并对滤波器不同的延迟组合进行理论分析，从理论上论证延迟滤波的最优解。仿真结果验证了本文思路的有效性。