钱建兵

数学是结构的科学。布鲁纳说：“不论教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”整体大于各部分之和，学习也是一个系统工程，数学学习本质上就是学生知识经验的获得与积累在其头脑中建立起相应认识结构的过程。因此，在数学教学中，教师要善用联系的思维，有结构地教。以数学思想方法、数学核心概念与基本概念为抓手，有联系地教。去帮助学生发现并建立良好的知识结构，促进学生学力的提升。

一、高位行走，深度理解观结构

所谓结构，就是看到一致性。数学是内在统一、和谐的，看不到数学的内在统一，是因为我们对知识、方法及思想的理解不够。因为“只缘身在此山中”，所以认识过程中容易产生偏差，认识上会有局限。因此，在教学中我们要适当地引领学生再往前走一步，站在高处往下看，反思回顾所学知识、方法之间的联系，体会其内在的一致性，把握数学的整体感。

1.往前一步，透过现象回到本质见结构

数学中很多表面看似不同的规律，其内在的方法与思想是一致的。如商不变规律、分数的基本性质、比的基本性质等，其本质都是一致的。教学中教师要适当地引导学生透过现象看本质，穿透经验的枷锁，培养学生的理性精神。

如在“2、3、5的倍数特征”的教学中，由于2和5的倍数的特征是看末位，而3的倍数的特征则是看各个数位数之和。在学习时，学生出现了理解与经验中的冲突与断层，知识结构很容易在这里就“断”掉了。因此，在教学中需要做好“善后”。以3的倍数的认识为转折点，做好研究方法的提升，即从简单地发现规律到真正地认识规律，思维从合情推理走向演绎推理，引领学生往高位站，以探索2和5的倍数特征的经验来探究3的倍数特征。当学生发现由此类比推理导致错误从而使探索之路进入了无绪之中时，教师可引出计数器，让学生发现拨3的倍数所要用的珠子总数是3的倍数，引导学生进行研究视角的转变：3的倍数的特征与一个数各数位上数字之和有关。在发现规律之后，教师还要引导学生进一步往高位行走，利用小棒等结构化的模型，研究其中的原因。并且用这一方法去反思2和5的倍数特征，发现整十、整百、整千……都正好是2、5的倍数，所以只要看个位就能决定一个数是不是2或5的倍数。这样，学生对2、3、5的倍数的认识从表象走向本质，思维从具体走向抽象，对判断方法也有了更深刻的理解与认识，不仅知其然，而且知其所以然，对数学具有内在的高度和谐统一也有了更多的体验。

2.高屋建瓴，渗透思想方法悟结构

哲学家对事物的理解是结构性的，其方法是清晰的思想和逻辑推理。在数学教学中，要注重知识技能背后的思想方法与逻辑推理的渗透，通过数学思想方法的领悟，让学生提纲挈领，于复杂中挖掘简单，在异中学会求同，提高知识的组块能力，发展学生的抽象与概括能力。

如小学数学中有关度量的教学，都可以以度量的本质作为教学暗线，统领教学。不管是长度的度量还是角的度量或是面积、体积的度量，都是计量物体含有计量单位的数量。这样的立意，就是引领学生站在高处，产生整体感。以面积的教学为例。教学时，教师利用长度测量的经验，引导学生借助“面积尺”的形成，从而认识面积的大小属性。再通过男、女生用大小不同的方格量同一张长方形纸，产生了统一度量标准即统一面积单位的需要，建立面积单位的观念。在用面积单位量课桌面面积的过程中，进一步强化度量的意识与方法。这里要特别强调“积”的意义，把度量与计算方法联系起来了，回到面积最本真的意义上学习面积。在此基础之上，随着对“把图形分割，面积之和与原来的面积不变”“为什么不用不规则图形做面积单位”等问题的探讨，学生对面积的理解越来越深入，对面积单位的理解也越来越清晰。整个教学过程，注重以度量的思想引领学生的探究学习。再如角的度量的教学，其实，量角器背后就隐藏着量角的原理与方法。教学中教师要抓住这一点，从比较两个角的大小开始，引发准确刻画角大小的内需。这样，就有了单位角的需要了。再由大单位的不适用，继而产生小的1度角的单位;由离散的单位到连续的单位的聚集。这样教学，在教师的精心设计下，学生充分经历量角器的产生过程。而这一教学过程就蕴含着用量角器量角的原理，正如计算方法背后都有算理一样。因此，在教学中，我们要注重学生度量学习经验的提炼与迁移，让学生充分体会到背后的数学思想与方法，从而形成一种内在的、稳定的数学结构，并用这种结构去促进新知的迁移与学习。

二、核心概念，穿针引线立结构

形成结构，需有一个核心贯穿始终，或是数学思想，或是核心概念。核心使各分支之间的构成呈现一致性。“在教一个知识点的时候应该把知识看作一个包，而且要知道当前的知识在知识包中的作用。你还要知道你所教的这个知识受到哪些概念或过程的支持。所以你的教学要依赖于强化并详细描述这些概念的学习。当教那些会支持其他过程的重要概念的时候，你应该特别花力气以确保你的学生能够很好地理解这些概念，并能熟练地执行这些过程。”核心概念对其他概念的学习要有重要的支持作用。

以计算教学为例，计数单位是理解算理的核心概念。整数乘法是整数加法的简便计算，两种运算追溯到最本质的一点，都是在计量计数单位的个数，即计数单位的累加。加法是一个个地数，乘法是几个、几个地数。认识到这一点，我们在设计小数乘整数、分数乘整数的教学时，应注意让学生看到算理上与整数运算的一脉相承性。而在理解数的组成的时候也有一个单位累加的认识过程，这些就是支持理解算理构建知识体系的“知识包”。由此，如从整体上考虑，就可将计算的教学与数的认识过程相联系起来，以构建更为完整的知识体系。例如，教学分数与整数相乘时，可以從计数单位的经验出发，让学生列式表示出[310]的过程，从而总结得出：分数乘整数的结果，只要看里面有多少个分数单位。接着自主利用图形等模型理解构建算理：[310]×3可以怎样算？有的学生是从意义上思考的：[310]×3表示3个[110]乘3，即[110]×3×3=[110]×（3×3）。有的学生是从加法角度思考的：[310]×3=[310]+[310]+[310]=[3+3+310]=[3×310]。交流中围绕核心问题：分母为什么不变？分子与整数相乘表示什么意思？通过比较，沟通两种算法的联系：两种方法都是在计算一共有多少个分数单位。这样教学，通过分数单位乘整数到分数乘整数、计算教学与分数意义的教学相勾连，算理从意义与经验中生长出来，法则是从算理的透彻理解中构建起来。最后的沟通使学生明白：不管是加还是乘，目的都是相同的，即计算分数单位的个数，从而建立了知识之间的联系。

计算教学中其算理的建立都要回归于计数单位这一核心概念。而计算教学前后跨度比较大，教学中很容易出现知识结构的断层，因此，在教学中，教师需要让学生感受计数单位在数的认识及数的运算中的核心统领作用，不仅有利于算理的理解，更能促进算理的自动迁移。

三、追根溯源，回到原点生结构

如果说数学思想方法和核心概念是结构的神经和骨架，基本概念就是结构的关节。结构的连接点在关节。基本概念是源头活水，由基本概念根据不同需要可生发出不同的数学表征。有研究表明，数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合自己的感知思维等认知特点组成的一个具有内部规律的整体结构。“如果潜在的相关的各个概念的心理表征中只有一部分建立起了联系，或所说的联系十分脆弱，这时的理解就是很有限的……随着网络的增长或联系，由于强化的经验或网络的精致化得到了加强，这时理解就增强了。”理解的通透在于联系网络建立得如何。

如除法、分数、比，这3个概念在本质上是一样的，只是适用的场景不同。而要让学生看到它们之间的一致性，除了在概念认识过程中要进行对比，还要在解决问题的过程中，引发学生自主串联，产生稳固的知识结构。以按比例分配的问题教学为例，由于缺少沟通与联系，学生更容易把按比例分配及比的实际问题看成是不同的新问题。因为在表征时，学生不能与已有的知识结构联系起来。因此，教学要从概念的原点——概念的表征出发，建立联系。首先以直观图形引发学生自主用多种形式表征“比”，有利于学生联系到分数、份数及相对应的量，产生结构化的联系。教学中教师出示一个不完整的题目：在方格纸（30格）上涂色，红色的涂了18格，黄色的涂了多少格？当学生发现缺少条件不好解答时，产生了两种格子之间关系的需求，此时教师再出示条件：

不同经验的学生分别从比、份数、分数对图形进行了解读，并从除法、分数不同的角度进行了解答。这样，学生通过自主地转换解决了比的实际问题。在此教学过程中，学生利用图形将比、分数、除法自觉地进行了数学化的表征，实际上，看上去是3种形式，却通过一种图形语言，回到了概念的原点，打通了它们之间的节点，实现了无障碍阅读，建立了知识之间的联系。最后出示例题的相关条件，继续通过图形呈现相关信息。通过提问整理出相关的信息，形成线段图。

[30格][红色？格][黄色？格]当看到线段图之后 ，学生经验中的分数乘法问题的图式被激活，就立即能够将比的关系轉化成以总数为单位“1”的分率关系，从而顺利地解决了问题。在此基础之上，教师引导学生进行比较总结。学生发现，比的实际问题，其实就是表述形式改变了，根据题目意思画出线段图，其实就与分数实际问题一样，可以用分数问题的解决方法解决问题。有了意义之间的联系网络，各种方法之间的联系不比自明，原有分数解题经验被激活，优化也就成为一种自觉的行为。理解的深度并不在于技巧，也不追求难度，而在于方法之间贯通。图形语言是一种直观模型，越简单，越深刻。再如分数百分数的实际问题，也可通过图形的简洁与概括，从分数乘法的意义出发沟通分数乘除法、百分数实际问题之间的联系。

总之，数学教学要尽量防止知识碎片化、杂乱成堆、一地鸡毛等现象，提高知识、方法之间的整合度，“要理解事物就要用联系的观点来看待它”，而“要对知识形成深刻的、真正的理解，这意味着学习者所获得的知识是结构化的、整合的”。结构性地教，就是把数学的本来面目还给学生，化繁为简，让学生回到概念，体会其思想，方能看到结构，看到数学内部的和谐统一，从而提高数学素养。