王丹生， 周 品， 范凌峰， 朱宏平， 蔡福祥

(1. 华中科技大学 土木工程与力学学院， 湖北 武汉 430074；2. 宜昌宏业工程项目管理有限公司， 湖北 宜昌 443100)

近年来，工程健康监测系统不断发展，通过监测数据对工程结构的运营和安全状态进行评估是工程界的一大目标。桥梁作为道路交通的重要组成部分，其上的车辆荷载对桥梁结构的特性参数，如固有频率等有着很大影响，这种影响对于一些利用桥梁的监测数据分析结构模态参数的项目而言，不可忽略[1]。具有丰富风资源的加拿大、北欧等地区，风力涡轮机的应用越来越多，但涡轮机上的叶片由于寒冷、潮湿天气的影响也面临着积冰的影响，积冰的存在对涡轮机的电力输出、气动性能、固有频率以及振动模式都有很大影响，因此，及时发现并避免积冰的形成至关重要[2]。

车辆荷载、积冰等对于结构来说都是一种附加质量，也可以看作是一种特殊的结构损伤，目前对于附加质量识别的研究相对较少。Rajendran等[3,4]利用振型和小波包变换的方法识别了悬臂梁和复合板上的附加质量，这种利用附加质量来模拟裂纹损伤的方法有效地避免了试验研究中从同一批材料中选取多个相同尺寸的试件所存在的问题：(1)试件之间材料和尺寸之间的差异性；(2)对于裂纹位置的研究，一试件中同一裂纹位置的损伤类型无法改变。为了避免积冰的形成对风力涡轮机的性能产生危害，Gantasala等[2]采用固有频率和人工神经网络的方法识别了悬臂梁上附加质量，并将此方法应用于风力涡轮机叶片上积冰的检测。

Zhang等[5]提出了基于结构动力响应统计矩的损伤识别方法，Zhou 等[6]也在此基础上做了大量的工作。这种方法都不可避免地涉及非线性优化过程。本文提出了一种基于统计矩对附加质量灵敏度的识别方法，该方法在时域内计算方便，识别精度高，具有一定程度的抗噪性，可以同时识别出附加质量的位置和大小，识别效率高。除此之外，本文提出的结构附加质量识别的方法可以为实际工程中的桥梁以及风力涡轮机的健康监测提供有效指导。

1 方法的提出

1.1 欧拉梁的谱元法模拟

1.1.1 附加质量块梁的谱单元刚度矩阵

如图1所示的附加质量块梁的谱单元模型，其长度为L，其上距离梁左端L1处附加一质量G，把带有质量块的梁单元分成两部分，每一部分的控制微分方程可表示为：

(1)

式中：Vi为竖向位移；E,I,ρ,A分别为弹性模量、横截面惯性矩、密度和截面面积；a和c分别为内部粘弹性阻尼系数和外部粘滞阻尼系数；x为沿梁长方向的位置坐标；t为时间。

图1 施加质量块梁的谱单元模型

对式(1)两端进行拉普拉斯变换，简化后方程解的一般形式为：

(2)

由图1可知，谱单元左右两端的位移边界条件为：

(3)

施加质量块处的连续性条件为[7～9]：

(4)

式中:β=G/(ρAL) 为质量块与梁的质量之比。

将式(2)代入式(3)，(4)，则节点谱位移可表示为：

q=DC

(5)

谱单元的力边界条件为：

将式(2)代入式(6)，则节点力可表示为：

F=BC

(7)

结合式(5)，(7)，施加质量块的谱单元刚度矩阵可表示为：

K=BD-1

(8)

式中:D=01010000k0k00000SHShHh-S-H-Sh-HhkH-kSkHhkSh-kHkS-kHh-kSh-k2S-k2Hk2Shk2Hhk2Sk2H-k2Sh-k2Hhk3(βkS-H)k3(S+βkH)k3(Hh+βkSh)k3(Sh+βkHh)k3H-k3S-k3Hh-k3Sh0000S1H1Sh1Hh10000kH1-kS1kHh1kSh1éëêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúúú,B=-k3EI0k3EI000000k2EI0-k2EI00000000k3EIH1-k3EIS1-k3EIHh1-k3EISh10000-k2EIS1-k2EIH1k2EISh1k2EIHh1éëêêêêêùûúúúúú,

S=sinkL1,H=coskL1,Sh=sinhkL1,Hh=coshkL1,S1=sinkL,H1=coskL,Sh1=sinkL,Hh1=coshkL。

1.1.2 完整梁的谱单元刚度矩阵

完整梁的谱单元刚度矩阵推导过程与附加质量块梁的谱单元刚度矩阵类似，这里不再进行推导，相关内容可参考文献[10]。

1.2 结构电压统计矩的灵敏度分析

根据1.1.1和1.1.2中所推导的单元刚度矩阵，结构的总体刚度矩阵可以通过装配过程得到，从而可以获得结构的动力位移、应变等响应。由于压电陶瓷片具有正压电效应，PZT可以用作应变传感器。根据压电方程，PZT用作传感器时，其上的电压输出与应变存在如下线性关系[11]：

(9)

式中：U为PZT的输出电压；d31为压电应变常数；

当对一线性结构施加平稳高斯分布的随机激励时，其动力响应也服从平稳高斯随机过程[12]。动力响应的n阶统计矩可表示为：

(10)

在基于统计矩的损伤识别中，为了平衡统计矩对随机激励的稳定性和对结构损伤的敏感性，通常选用结构响应的四阶统计矩作为损伤指标[13]。结构响应不服从高斯随机过程，其四阶统计矩可表示为：

(11)

式中：N为采样点数。

所提出方法的目标优化函数为计算响应和测量响应的四阶统计矩之间的误差：

(12)

式中：下标c和m分别表示计算和测量。

结构损伤识别中，基于动力响应灵敏度分析的时域模型修正方法的优势在于只需要提供少量传感器的信息。本文中，电压响应的四阶统计矩对附加质量的灵敏度矩阵可表示为：

(13)

此处，任意一个附加质量状态G都对应一个灵敏度矩阵S，考虑到G和响应矩阵M4并不是一一对应或数量相同，S一般不是理想的方阵，所以S矩阵理论求导比较复杂，这里并没有给出S矩阵的显式表达形式，在数值计算时，可以采用中心差分法代替。基于灵敏度分析的结构损伤识别方法通常需要多步迭代才可以得到结构的损伤参数，这里采用牛顿迭代法。但是在每一步的迭代过程中，由于模型的不确定性、周围环境的影响、测量噪声以及有限的传感器等原因，通过结构响应来得到结构损伤参数这一逆问题方程通常是病态的，为了得到正确和稳定的解，可采用正则化的方法，本文采用L1正则化。

2 数值算例

以图2所示的简支梁为例，将其划分为15个单元。简支梁的几何参数为：梁长L=3 m，截面宽b=0.03 m，截面高h=0.02 m，截面类型为矩形；简支梁的物理参数为：杨氏模量E=210 GPa，密度ρ=7800 kg/m3，泊松比μ=0.3，内部粘弹性阻尼系数a=0.002，外部粘滞阻尼系数c=0.234。在单元3和4之间的节点上施加幅值为200 N，采样频率为400 Hz的高斯白噪声激励，输入力的时程曲线如图3所示，时间历程为5.12 s。

图2 简支梁的谱元法模型/mm

图3 采样频率为400 Hz的高斯白噪声激励时程曲线

为了验证所提方法的有效性，表1表示了简支梁附加质量的各种工况，单损伤工况D1表示在单元11上附加质量块，附加质量的大小与单元质量的比值β为0.1；双损伤工况D2表示在单元4和11上分别附加质量块，β值均为0.1；三损伤工况D3表示在单元4，7，11上分别附加质量块，β值均为0.1。

表1 简支梁附加质量的各种工况

无测量噪声的影响下，各附加质量工况的识别结果列于表2，从表2可以看出，在没有测量噪声的影响下，所有预设附加质量单元的位置和附加质量大小均被准确地识别出来，未附加质量单位几乎没有出现误判。

表2 不添加噪声各工况附加质量识别结果

为了检验该方法的抗噪性，分别对工况D1～D3施加2%的噪声，施加噪声后的附加质量识别结果列于表3，由识别结果可以看出，所有预设的附加质量单元的位置和附加质量大小均被识别出来，在测量噪声的影响下，有些未附加质量单位出现了误判，但并不影响预设附加质量单元的识别。

表3 2%噪声下各工况附加质量识别结果

表4，5分别对无测量噪声和添加2%噪声下各附加质量工况的识别相对误差进行了量化，无测量噪声影响和添加2%噪声下，附加质量单元识别的附加质量大小最大相对误差分别为5%和12%，说明了基于谱元法和时域电压灵敏度分析的附加质量识别方法对噪声具有一定的敏感性。

表4 不添加噪声各工况附加质量识别相对误差

表5 2%噪声下各工况附加质量识别相对误差

图4～6分别用柱状图表达了无测量噪声和添加2%噪声下各附加质量工况的识别结果与实际值的对比，更加直观地说明了测量噪声对该附加质量识别方法的影响。

图4 工况D1识别结果

图5 工况D2识别结果

图6 工况D3识别结果

3 结 语

本文提出了基于谱元法和电压统计矩灵敏度分析的附加质量的识别方法，并推导了附加质量块的梁的谱单元刚度矩阵，通过数值算例验证了该方法识别的有效性。采用结构电压输出的四阶统计矩作为指标，并分析其对附加质量块的灵敏度，使得统计矩在时域上的应用极为方便，识别效率也比较高，并且能够准确地识别出附加质量块的位置及大小。除此之外，此方法的提出对于桥梁上车辆荷载的识别、风力涡轮机上积冰的检测等都有一定的工程应用价值。