卓亦超

(福建建工集团有限责任公司 福建福州 350003)

0 引言

欧几里得几何原理作为最基本元素构成了人类文明史上的绝大部分建筑，哥特式建筑也不例外。在欧氏几何与非欧氏几何的发展中，建筑造型随着时间的推移，文化的传承体现出了不同的地域特征和迥异的风格。而老建筑往往比现代建筑更容易读懂，因为他们具有视觉深度(A. Crompton, 2008)[1]。基于此，本文拟以维度分析法论证可特式建筑的多重分形关系。

1 概况

哥特式建筑起源于12世纪的法国，源自罗曼式建筑，在中世纪时期的西欧得到盛行和发展。现存的绝大部分哥特式建筑为教堂建筑，也是本文分析选材的主要来源。在大部分的研究和观察中发现哥特式建筑存在着分形的层级关系。

“分形”一词是在20世纪70年代由美籍数学家曼德尔布罗特(Mandelbrot)提出并用来解释一系列自然现象，而今分形这个概念被广泛应用与阐述一系列难以解释却拥有规律的图形分析[2]。本文的研究方式建立在国外学者在建筑学范畴的研究成果上，发现视觉深度的剖析方法能够良好地运用在层级分析上，并且能够运用在平面的功能分析之中，而非单纯地对建筑进行简单的图形规律进行归纳。分形同时也作为一座连接了科学与艺术的桥梁广泛运用于建筑设计的分析中。

分形几何是在欧几里得几何之后最令人振奋的前沿领域之一，它将数学和信息技术的理论基础呈现出多种多样的分析方法。分形可以定义为粗糙或者是碎片状的几何形态，并且可以被细分成不同的部分，每个部分都是整体的比例缩小的循环复制。人们对分形研究的多样性感到惊讶，分形还能用以研究这些领域：语言学、宇宙学、经济学、博弈论等方面[3]。以米兰大教堂的为例，根据剑桥大学的论文数据(图1～图3)可以看出：在欧几里得几何体系下的建筑主体结构呈现出以中央大厅为主向两翼衍生的尖券体系，拱券是构成的基本元素，存在一定的分形特征。图3显示的是逐步细分的柱式比例关系，其平面与立面同样延续着这套平面与立面相呼应的范式。所有分形都有一种内建的递归形式[2]。有时，递归在分形的构造中是可见的。例如Sierpinski三角形(图4)，Koch集(图5)等都是用简单的递归规则生成的。

图1 米兰大教堂主体结构的拱券分析[4]

图2 米兰大教堂拱券的主从关系[5]

图3 柱式法则[4]

图4 Sierpinski三角形图5 Koch集

自相似性是一种属性也是一种逻辑，通过自相似性，对象可以在任意比例下循环复制。分形对象经历了一种维度变化，即结构的维数都被相同的比例因子改变，那么它就具有自相似性的特征。生成的形状可以是更大、更小、平移或者旋转的关系呈现。

相似则意味着形状的边和内角保持不变，正如《自然界的分形几何》中所描述的：自相似性是自然界中普遍存在的[2]。美国物理学家罗伯特·奥本海默(Oppenheimer)使用“分形”一词与自相似性进行交换，并肯定了自相似性的几何概念成为自然界结构的范式。

分形几何应用于建筑中的讨论可能会导致领域不明确[6]。但值得一提的是，一个建筑元素仅仅是近似分形的，因为它不可能拥有无限小的细节，因此，并不能单独谈论分形建筑学，而更希望使用分形组件对建筑进行分析。

2 理论模型

本文在视觉深度的分析方法上进行更详细的参数化研究，并融入图片分形维度的分析方法，分别从建筑的水平和竖向两个维度对建筑的平面、立面、图案等元素进行分层次剖析。

水平方向上，以建筑的平面图为数据，垂直方向以建筑的实景照片为数据。针对建筑平面、立面的分析方法解决要点是将相关图纸或图形在Wolfram Mathematica应用中进行二值化(binarize)后按照像素点进行绘制分析，通过生成的图片结果进行判别、取值等。同时，借助计盒法(box counting)得出图片的分形维度。图6～图8中显示的是计盒法在以英国海岸线分形维度计算的模拟结果。通过不同大小的正方形沿着多段线进行等距阵列从而得到不同视觉深度下的图形，侧面佐证了分形的经典案例——英国的海岸线有多长[2]。

图6 计盒法第一阶段下的英国海岸线

图7 计盒法第三阶段下的英国海岸线

图8 计盒法第四阶段下的英国海岸线

研究的第一步，是从所有被研究的案例中尽可能多提取图形文件。主要资料来源于WolframAlpha中的大数据以及多种主流搜索引擎下的资料。然而，计盒法在视觉深度的分析上有其局限性，即多用于边界分析，而无法对整张完整的图片进行分层次的、像素化的分析。故对此分析方法进行重新设计，主要手段有“边界检测”功能：通过调节“阀值”和像素点的“范围”对导入的图片进行重新绘制，以得到纯粹的黑白线图(二进制图片)。如此，一是提高了二次导入数据的准确性，避免彩色图片和灰度图片对成果产生不必要的干扰；二是简化了CAD人工绘图的工序(图13、图15、图17)，通过“边界检测”功能极大地削减了人工绘图时间，从而提高了数据分析效率。

“图像维度”，同样在本文的实验中得到运用，该步骤是维度分析的核心，并最终成为绘图的重要数据源。最终，将生成的数据进行绘图(代码：Fit[Log[data], {1, x}, x])，得到如图10～图12、图14、图16、图18所示的对数点阵坐标图。以此为例，对不同视觉深度下的图片进行多轮次分析和数据表达。

本文所示的方法，在平面分析上基本客观准确，但在立面的分析上存在一定的局限性和主观性，即针对立面的分形分析方法在“边界检测”阶段便产生了一定的认为主观判断因素，从而导致了每次的分析成果是随机的，是存在区间性的。由于篇幅限制，无法将区间内的所有数据详细展示。

3 分析对象及方法

在建筑规模和文化传承上科隆大教堂、米兰大教堂、巴黎圣母院，是欧洲哥特式建筑的经典，分别代表了德国、意大利、法国的经典哥特式建筑，本文挑选以上几座哥特式建筑作为分析对象。为确保数据运算的准确性，作者采用该理论模型对文中的Koch集图形进行分形维度分析，结果如图10所示。形成的点阵图并非直线，而是根据图像的细分程度和分形维度分别呈现出非线性的变化和走势度。

图9 科隆大教堂不同视觉深度下的立面测绘图

图10 本文中Koch集的分形维度

图11 科隆大教堂较少细节的立面分形维度

图12 科隆大教堂较多细节的立面分形维度

从分析中得出，科隆大教堂的较多(较深的视觉深度)和较少(较浅的视觉深度)两种情况下的分形维度计算结果分别为：14.8488+2.03718x和12.5964+1.65322x，平面的分形维度为：10.0828+1.53433x。根据点阵图的走势分析得出：具有更多细节视觉深度的立面与平面的视觉深度的分形维度基本接近，说明同一建筑的平面与立面是相对统一而且和谐的，也侧面说明了同一建筑的多重分形结构。

图13 科隆大教堂平面

图14 科隆大教堂平面分形维度

图15 米兰大教堂的立面测绘图

图16 米兰大教堂的立面分形维度

4 理论总结

人工绘图导入分析的优势在于精准的绘制特定大小的“盒子”，并可以进行矢量化的操作，如：计数、面积统计、周长计算、数据索引等。然而人工绘图的方法需要建立在大量的测绘数据基础之上，从数据的获取上存在较大难度，难以短期内收集完整的资料，且绘制计算机矢量图的过程中也伴随着数据的损失和人工判别的过程。事实上，人工绘图的成果是经历了一轮非理想状态的编制，而二值化的图形“图像维度”分析法不仅在绘制时间上超越了人工绘图。但“图像维度”分析法在计算机生成的成果为位图图像，通过将来的研究或许可以得到进一步改进，如：在数据统计方面的优势上形成互补。

图像维度的分析方法在哥特式建筑中的运用，所展示的多重分形关系是本文所探讨的重点。通过对比图11、图12、图14的分形维度点阵图的走势分析不难得出：科隆大教堂在不同细分程度上的分形维度呈现出不同的点阵图走势，视觉深度越高则展示出更高的迭代次数；米兰大教堂的图像分形维度则显得更为均匀，且呈阶梯式上升的趋势；巴黎圣母院的分形维度更接近图10中的Koch集经典分形图形的点阵走势。

图17 巴黎圣母院的立面测绘图

图18 巴黎圣母院的立面分形维度

5 讨论

图像维度分析是建立在典型分形几何模式下的非经典分形图形的理论模型，它不同于经典分形几何中的整数迭代分形，在分析手段、研究对象、数据成果中仍有较大的发展和进步空间。特别是在参数化设计的评定方面具有较大潜质，可作为参数化设计的理论依据亦可作为分形几何与欧氏几何的桥梁。

6 结语

通过上述针对哥特式建筑立面为主的分析，辅以分析可见，该视觉深度的理论模型在图像维度计算中能够快速地取得所需数据，并从实验数据中绘制出与实际情况相称的点阵图，而且能够直观地对分析成果进行剖析和解读。将建筑之美通过数学分析方法进行佐证和总结。以此为蓝本，该分析方法或许也可以运用在版面设计、图形设计的理论分析上。