基于学科学习力的数学教学策略

2019-04-08朱哲黄思婷

中学数学杂志(高中版) 2019年2期

朱哲黄思婷

【摘要】人才发展模式的变革等背景，都彰显了培养学生学习力的迫切性.学习力的具体价值主要包括能够改进学生的学习行为和构建基于学生学习的教学方式等.学习力可构建三层次六要素结构模型，数学学科学习力由一般学习力和数学学科特有的学习力（由数学学习能力、数学能力和数学创新能力等成分构成）两部分组成.进一步整理提炼四条数学教学策略（问题驱动、思维引领、变式训练和文化浸润），从内涵、作用、教学、案例及简析四方面进行说明，最后分析四条教学策略在实施过程中对提升学生数学学习力的关系.

【关键词】学习力;数学学科;教学策略

在全球信息社会背景下，学习者的学习需求正在不断丰富，然而现代公民是否具备足够的素养来适应瞬息万变的社会发展呢？分析TIMSS2007数据发现，东亚地区学生的数学成绩与学习态度存在极大反差，学习数学的情感、自信心、价值观均低于世界平均水平[1].人才发展模式的变革、传统教与学的困境及新课程改革的要求，都彰显培养学生学习力的迫切性.这对我们教育者提出新的要求，对于今天的数学教育，如何继承和发扬、改革与创新？如何在学校学科教育中提供合适的教学，提升学生的学习力？教学有法，教无定法，贵在得法.整理提炼相关的数学教学策略，对提高学生数学学科学习力具有重要的作用与意义.

“学习力”一词最早来源于管理学领域，多以“组织学习力”“学习型组织”出现，它反映组织作为一个整体对各种内外信息的认知与反应能力.学术界普遍认为学习力是一种综合、复杂的能力，研究主要围绕概念、内涵、构成要素、应用（提升策略等）进行.裴娣娜教授分析、提取出学习力六大要素，分别是知识与经验、策略与反思、意志与进取、实践与活动、写作与交往、批判与创新，并提出学习力的三层次六要素结构模型[2].

笔者在《数学学科学习力的要素及模型构建》[3]一文中初步构建数学学科学习力的模型.数学学科学习力的核心是思维、数学思维，提升学习力即促进学生数学思维的发展.数学学科学习力是由一般学习力和数学学科特有的学习力两部分组成，其中数学学科特有的学习力又由数学学习能力（经验与旧知、问题与活动、思想与方法、观念与态度、调控与反思等）、数学能力（抽象与概括、运算与推理、作图与想象、统计与分析、建模与解释等）和数学创新能力（质疑与批判、推广与引申、联系与贯通等）三部分组成.又在《基于学科学习力的数学课程结构》[4]一文中初步构建数学课程结构及其实践应用.两篇文章分别被人大《复印报刊资料·高中数学教与学》2017年第10期和2018年第7期全文转载.在此基础上，笔者进一步提炼四条数学教学策略（问题驱动、思维引领、变式训练和文化浸润），并结合教学实例进行简析.这里的“教学策略”主要指在特定教学情境中为完成教学目标与适应学生认知需要而制定的教学程序计划和采取的教学实施措施.

1 问题驱动

1.1 问题驱动的内涵

著名数学家P.r.Halmos指出“问题是数学的心脏”，不管是对数学发展还是教学，问题都有着重要的地位.注重“问题驱动”的数学教学，以问题为教学活动的主线，引导学生发现、提出、分析、解决问题，激发学生内驱力，在传授基础知识的同时鼓励学生自主探索.

1.2 问题驱动的作用

当外部刺激（问题）与学生内部条件（已有的知识与技能）形成落差，学生会主动进行思维，通过“思而知之”，获得新的知识与技能、提升数学素养.

1.3 问题驱动的教学

由问题提出的可能主体不同，笔者主要从创设情境，引导学生提出问题与问题链教学两个层面进行“问题驱动”的数学教学策略分析.

1.3.1 创设问题情境，引导学生提出问题

问题情境，问题呈现的形态和组织方式，学生解决问题有一定困难但通过分析、探索能实现的学习情境.在教学活动中，应结合教学任务及其蕴含的数学核心素养设计合适的情境和问题，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，使用恰当的数学语言描述问题，用数学的思想、方法解决问题[5].

为达到目标即未知的东西，教师创设情境是前提，创设问题情境可弥补学生间学习经验与旧知的差异，一般借助数学活动、现实生活与数学知识等.在数学活動中鼓励学生主动探索新知以解决与认知结构产生矛盾落差的问题，提高分析、解决问题的能力;借助现实生活，打破学科纯形式化的逻辑结构与概念命题系统，学生感受知识的建构与真实情景的关联性;借助数学知识，体现知识的螺旋式上升，同时帮助学生认识知识本质.基于情境，学生产生思维动机，教师引导学生提出问题是关键.开发学生的最近发展区，共同探索解决问题，培养学生数学核心素养是目的.

1.3.2 问题链教学

数学问题链教学，在课堂上呈现有序的主干问题串，既提供引导学生在内容上获得深入的数学思考问题，又借助问题间的跨度为学生提供多样思维和探索的可能性[6].在构建问题链过程中，遵循“看整体结构、看内容本身、看学生学情”，先寻找该数学主题与其他主题间的关联（包括知识内容、思想方法、研究视角等），再结合本节课需要解决的核心问题及顺序，构思内部的教学联结点，最后关注学生学情，构建主干问题链.好的问题链教学，在重视“知识联结”的同时应更多地倡导“方法联结”，既关注知识间的逻辑顺序，又重视学生的认知结构及数学方法的体会和领悟.

1.4 问题驱动的案例及简析

案例1 问题驱动下的定理教学

本案例选自《数学教学研究》2016年第7期中《“平面向量基本定理”教学的理论分析与教学设计》[7]一文，该文被人大《复印报刊资料·高中数学教与学》2016年第12期全文转载.其中教学重点环节问题链的部分内容如下：

案例简析复习旧知（共线向量定理），使新知拥有生长点，提出问题与原有认知产生冲突，引发学生主动思考;结合物理知识（矢量分解与合成），使新知具有实际背景意义，同时渗透类比联想的思想方法，鼓励学生大胆尝试.设置问题链，一步步引导学生得到核心知识——平面向量基本定理.

2 思维引领

2.1 思维引领的内涵

注重“思维引领”的数学教学，倡导自主探究结合教师引导，学生能动地进行高效思维活动.教师以思维方法和思想方法的分析带动、促进具体数学知识内容的教学，真正做到把数学课讲活、讲懂和讲深，学生既能掌握具体的数学知识，也能领会内在的思想方法.当学生处于“欲知未知、欲言不能”时，适当点拨，起到“启”“发”的作用，体现“以人为本、学生主体”的教学理念.

2.2 思维引领的作用

数学知识具有暂时性记忆，教师仅通过讲、灌知识，先行组织者对学生已有认知的激活没有到位，未與学生已有知识等建立实质性联系，学生无法体会知识的本质，内部学习动机没得到调动，学习便缺乏积极主动性[8].数学家米山国藏曾写道：学生在学校学的数学知识，一段时间不用很快会忘掉.然而不管他们从事什么工作，铭刻在头脑中的数学精神、数学思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等却随时发生作用，使其终身受益[9].数学教学应帮助学生学会学习，学会学习重在学会思维，学会数学地思维.

2.3 思维引领的教学

教师教学应克服教材在一定程度上掩盖数学对象的抽象过程与数学思维的活动过程等不利因素，注重数学思维活动的过程与结果，避免学生数学学习的表面化[10].教师精讲基础，确保学生能准确掌握基础知识与基本思想方法;把时间还给学生，让学生有时间进行自主思考、主动探索、合作交流，教师适时地进行点拨;教师恰当地归纳总结，帮助学生进一步掌握数学知识和思想方法，明晰算理，学会举一反三，融会贯通.

2.4 思维引领的案例及简析

案例2 思维引领下的探究教学

本案例选自《教育研究与评论（中学教育教学）》2010年第11期中《数学探究：数学思想是灵魂——“对f（x）=ax+bx（ab≠0）型函数性质的探究”一课评析》[11]一文，该文被人大《复印报刊资料·高中数学教与学》2011年第3期全文转载.其中探究内容如下：

今天我们一起来研究形如f（x）=ax+bx（ab≠0）函数的性质.

初步探究（策略分析）：

（1）当我们研究一类函数的性质时，采用的是什么思路？经历了哪些步骤？

（2）要研究一类函数的性质，往往先研究一些具体的函数，再归纳、概括此类函数的性质.那在课堂有限的时间内，我们如何实现这一目标呢？

进一步探究（小组探究与汇报）：

小组探究（结合学案探究这类函数的性质，绘制函数图象）→汇报交流（说明探究过程并证明相关性质）→探究结果汇总展示.

归纳探究：

（3）有了小组展示，我们能否归纳出函数f（x）=ax+bx（ab≠0）的性质呢？

（通过类比转化、归纳总结，得到四类函数的性质）

（4）我们是否研究过含有两个参数的函数呢？研究其意义时采用什么样的方法呢？

案例简析教师激活学生数学活动经验，探究问题从方法论角度得到“概略性解决”，隐含数学思想方法，指向学生内部的数学思维活动;设置探究任务，小组类比转化、合作探究，集大众智慧获得函数性质;引领学生由具体到抽象，进行一般的概括归纳，最后延伸扩展探究a，b的意义.在整个教学中，渗透特殊到一般、数形结合、类比和转化的思想.

3 变式训练

3.1 变式训练的内涵

注重“变式训练”的数学教学，通过改变数学内容的维度，学生通过有限的数学变式成功体验和辨别各种变异.一定的变式教学策略可促成学生形成看待原有问题的全新视角，可帮助学生系统、有效地理解和掌握学科知识.

3.2 变式训练的作用

变式分为概念性变式和过程性变式.概念性变式训练借助概念变式之间、概念变式与非概念变式间的差异与联系引导学生识别概念的内涵和外延，帮助学生多方面理解概念，并不是 “被动灌输”.过程性变式训练通过有层次地推进教学活动，使学生形成概念或解决问题，从而积累多层次的数学活动经验，并不是“机械训练”[12].

3.3 变式训练的教学

变式训练的数学教学，应从数学情境、数学知识、学生认知三个维度去构造学习空间，选择形式、内容、数量上合理、变化丰富而不重复的问题，充分利用和开发教材中例题和习题的价值功能，促进学生有意义的学习，培养学生数学创新能力，避免被动灌输和机械训练.

概念性变式训练，可构建一个聚焦知识对象关键（如条件、适用范围等）的变异空间，学生从中把握和理解概念的本质;过程性变式训练，可建立适合的教学脚手架，帮助学生建立新旧知识内在的联系，促进学生在“最近发展区”的发展[13].

3.4 变式训练的案例及简析

案例3 变式训练下的定理教学

本案例选自《中小学数学（高中版）》2008年第1期中《“方程的根与函数的零点”的教学设计》[14]一文，该文被人大《复印报刊资料·高中数学教与学》2008年第4期全文转载.其中“零点存在性定理”的变式内容如下：

零点存在性定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根.

变1 “加强结论”：若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，满足f（a）·f（b）<0，是否意味着函数y=f（x）在[a，b]上恰有一个零点？

变2 “加强条件”：若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，满足f（a）·f（b）<0，且，则函数y=f（x）在[a，b]上恰有一个零点？

变3 “改变条件”：若函数y=f（x）在区间[a，b]的图象是连续不断的一条曲线，且满足f（a）·f（b）>0，则函数y=f（x）在[a，b]上有零点吗？

变4 “反过来”：若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，在[a，b]上恰有一个零点，是否一定有f（a）·f（b）<0？

案例简析案例中变式属于概念性变式，改变定理的某个条件得到变式，引导学生感知定理、借助图象、举出反例.教师改变定理条件的空间，培养学生学习的主动性和思辨性，帮助学生多角度地理解定理，更全面地掌握概念的本质.

4 文化浸润

4.1 文化浸潤的内涵

注重“文化浸润”的数学教学，一是挖掘蕴含在显性数学知识、教材资源中的文化（思想方法等），提炼并进行体现，与教学内容有机结合，学生经历知识“再创造”过程;二是对教材进行改编与设计，与相关的数学史料进行串联，介绍一定的数学史，学生了解知识的发生、发展过程，感受数学家的创新理念等，渗透数学文化;三是挖掘生活中有关数学文化的素材，欣赏数学文化中的“数学美”，展现数学文化的应用价值与美学价值.4.2 文化浸润的作用

数学文化融入数学教学，激发学生的数学学习兴趣，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养;引导学生了解数学的发展历程，开阔学生视野，培养数学核心素养.

4.3 文化浸润的教学

文化浸润的教学，可在数学知识、技能与思维深处中渗透数学文化，在教学中诠释知识的文化意义，促进学生理解数学;揭示数学对其他文化发展的影响，引导学生感受数学的价值;揭示其他文化对数学发展的影响，提高学生的创造性;揭示数学的精神智慧，培养良好的数学素养[15].4.4 文化浸润的案例及简析

案例4 文化浸润下的概念教学

本案例选自《中学数学教学参考（高中版）》2007年第6期中《复数概念的HPM教学案例》[16]一文，该文被人大《复印报刊资料·高中数学教与学》2007年第9期全文转载.虚数的产生源自三次方程求根，考虑到卡丹公式的复杂性及教学时间限制，选用莱布尼茨对复数的研究作为材料，揭示虚数引入的必要性.虚数引入的部分内容如下：

数的概念从实践中产生和发展起来，一种新数的引入往往需要数学家们付出艰辛的努力.数学家们发现边长为1的正方形对角线的长度不能用有理数表示！为解决这个问题，引进无理数.迄今为止，我们一直在实数中遨游.但实数外还有没有数呢？请大家探究以下问题：

问题1 已知x2+y2=2，xy=2，求（1）x+y=？;（2）x及y的值.

问题2 还原x和y，将x+y= 6代入xy=2得x和y是一个一元二次方程的根.但在实数范围内，方程无解，看来x和y存在，但都不是实数.要解决这个问题，须引入新数.问题的关键：当判别式小于零时，方程的根该如何表示？请同学们阅读课本的内容，并思考：

（1）什么叫虚数单位？它的四则运算是如何规定的？

（2）什么是虚数和复数？复数集和实数集的关系如何？

（3）复数相等的充要条件是什么？已知x2=-3，利用复数相等的充要条件求x.

（4）若a<0，则a的平方根是什么？

（5）利用求根公式，求出问题1中的x和y.

（6）当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0的根是什么？

问题3 阅读课后印发的材料《邦贝利与复数》以及《大数学家们眼中的虚数》，谈谈自己对虚数的理解.

案例简析结合相关的数学史与例题引导学生意识到引入复数的必要性，通过自习课本内容获得复数知识并解决相应问题.阅读课外材料，了解知识的产生与发展，促进对数学系统的结构化理解，感受数学家的探索精神，渗透数学文化.

5 教学策略提升数学学习力

数学教学是数学思维活动的学与教，唯有教师讲活、讲懂、讲深，并引导高效思维，学生才能学会数学地思考，享受数学思考的乐趣[17].基于数学学习力的教学策略，培养学生的数学学习能力为基础，发展学生的数学能力为目标，进一步提升学生的数学创新能力.四个教学策略在实施过程中对提升学生的数学学习力各有侧重.

对于数学学习能力，学生的经验与旧知是基础和起点，观念与态度涉及数学观与数学学习观、学习数学的兴趣与动机等，四条教学策略的实施均应以学生的经验与旧知、观念与态度为前提.问题是学生学习的起始与载体，活动帮助学生发现和解决问题，任何教学策略都应引导学生独立思考、合作交流，拥有内在的思维活动.教师不仅要传授知识，也要渗透数学思想方法，强调核心思想，学生能在练习等形式中体验、感悟思想与方法.教学策略的开展帮助学生补充、修正原有的经验与旧知、观念与态度，促进学生进行反思、归因等元认知过程，而提升调控与反思能力保证学习的有效进行.教学策略与数学学习能力相互作用如图1所示.此外，就单个策略来讲，问题驱动与“问题与活动”紧密关联，思维引领与“思想与方法”“调控与反思”紧密关联，变式训练与“问题与活动”“思想与方法”紧密关联，文化浸润与“观念与态度”紧密关联.当然，四条策略与五大能力均关联，这里的“紧密”是相对而言.具体关联如图2所示（细线表示关联，粗线表示紧密关联，下同）.

对于数学能力，学生学习数学的终极目标是会用数学眼光观察世界、会用数学思维思考世界、会用数学语言表达世界.高中数学课程突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模和数学探究活动四条主线，运用不同教学策略针对不同类型、不同主题内容的教学，在一定程度上能提升五大数学能力中的一个或多个.问题驱动以问题与活动为主线，渗透思想与方法，学生在发现、提出、分析和解决问题过程中能提升抽象与概括、运算与推理、作图与想象、统计与分析、建模与解释能力;思维引领重在思维方法和思想方法的引导，重“启”重“发”，在思想方法的点拨中主要提升抽象与概括、运算与推理、作图与想象能力，建模与解释、统计与分析能力次之;变式训练通过有限变式，讲解核心概念与核心思想方法，学生抓住本质从变中找不变，主要提升运算与推理能力，其余四大数学能力次之;文化浸润，学生经历知识的再创造过程，感受数学文化的价值，主要提升运算与推理、建模与解释能力，其余能力次之.当然，应用四条策略教学均能提升五大数学能力，这里的“主次”是相对而言的.具体关系如图3所示.

对于数学创新能力，学生通过高中数学课程的学习，树立敢于质疑的科学精神、提高实践能力、提升创新意识.基于数学学习能力与数学能力，运用不同教学策略进一步发展数学创新能力.问题驱动通过设置问题情境、问题链，主要培养学生联系与贯通、推广与引申能力，因在特定情境中设问或教师呈现主干问题串，故质疑与批判能力培养次之;思维引领在学生“愤悱”处点拨、注重数学思想方法，发展学生质疑与批判、联系与贯通、推廣与引申能力;变式训练在有限变式中培养学生联系与贯通、推广与引申能力，学生在变式训练中多角度地理解概念、积累活动经验，跟着教师的设问与引导，则质疑与批判能力培养次之;文化浸润对知识再创造，渗透数学文化等，主要提升学生质疑与批判能力，联系与贯通、推广与引申能力次之.当然，运用四条策略均能培养三大数学创新能力，这里的“主次”是相对而言的.具体关系如图4所示.

数学是一种思维方式、思维体操，数学教学应以知识为载体、以思维为主线、以探究为手段、发展学生的思维能力和创新精神[18].基于学科学习力的数学教学超越知识教学和解题技能训练，采用适合的教学策略、多元的教学方式等，促进学生知识、思维和品性的和谐发展，培养学生的核心素养.

参考文献

[1]王娟.数学学习的情感、自信、价值与成就之关系——由TIMSS 2007的结果分析亚洲五国（地区）[J].外国中小学教育，2009（10）：46-49.

[2]裴娣娜.学习力：诠释学生学习与发展的新视野[J].课程·教材·教法，2016，36（07）：3-9.

[3]朱哲.数学学科学习力的要素及模型构建[J].中学数学杂志，2017（07）：1-5.

[4]朱哲.基于学科学习力的数学课程结构[J].中学数学杂志，2018（03）：1-4.

[5]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2007年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：82.

[6]唐恒钧，HAZEL TAN，徐元根，张维忠.基于问题链的中学数学有效教学研究——一项课例研究的启示[J].数学教育学报，2018，27（03）：30-34+44.

[7]汤敬鹏.“平面向量基本定理”教学的理论分析与教学设计[J].数学教学研究，2016，35（07）：27-32.

[8]韩龙淑，王新兵.数学启发式教学的基本特征[J].数学教育学报，2009，18（06）：6-9.

[9]米山国藏（著）.毛正中，吴素华（译）.数学的精神、思想和方法[M].成都：四川教育出版社.1986.04.

[10]章建跃.略论启发式数学教学的基本要求[J].数学通报，1992（06）：2-2.