吕恩胜

(河南应用技术职业学院机电工程学院，河南 郑州 450042)

从混沌科学与技术的发展历史来看，自1963年洛伦兹首次提出混沌[1]观念，到1980年林森第一次在电子电路中观察到混沌现象[2]，历时17年。三年后的1983年蔡少棠发明蔡氏混沌电路[3,4]，再到1992年Oppenheim、Kocarev提出混沌遮掩保密通信[5]，历时9年，但是至今再无重大突破。受这样的形势局限，混沌电路科技工作者的研究重点之一是寻找更多的混沌电路系统，结果是发现了很多新系统，虽然数量较多但是没有较大突破。因此，对于现有经典混沌电路成果的系统深入研究尤为重要，是有意义的工作。

近年来一些学者对经典蔡氏电路进行研究，采用正弦函数[6]和分段线性函数[7]来代替蔡氏电路中的蔡氏二极管从中获得双涡卷和多涡卷电路，还有学者用诸如指数函数等一类更光滑的连续函数来产生蔡氏混沌电路，都取得了一些进展。本文设计一种用三次多项式产生双涡卷蔡氏混沌电路，是对蔡氏电路的有益丰富，也有助于研究蔡氏电路混沌动力学特性。

1.典型蔡氏电路状态方程

归一化蔡氏电路方程[3,4]

其中f(x)是非线性部分，为

f(x)是典型蔡氏电路方程的非线性部分，物理实质是非线性负电阻。通常，式(1)系数取如下值[3,4]：α=9，β=14+2/7，GA=-8/7，GB=-5/7。图 1 所示为f(x)的五折段蔡氏二极管曲线，其中：-Eb、-Ea、Ea、Eb为转折点。

2.三次多项式蔡氏电路设计及其混沌机理分析

2.1 三次多项式蔡氏电路设计

非线性部分f(x)即式(2)或(3)，用三次多项式代替，非线性项即为变量x的三次方，非线性项为

将式(4)带入式(1)，合并同类项，除 x3为三次方非线性项，其余均为线性项，新的三次多项式蔡氏电路方程为

设式(4)中常数 a，b取如下值：a=-1.25，b=0.1，图2为三次多项式h(x)曲线图。此外，取典型蔡氏电路方程参数α=9、β=14.3，系统可以产生混沌特性，式(5)方程可写为

图2 三次多项式h(x)曲线图

2.2 三次多项式形式蔡氏电路平衡点及其特征指数

当 a=-1.25，b=0.1时，式(5)有三个平衡点，分别为 P0、P+、P-，由式(5)代数方程的解得，并将平衡点的坐标有效值取到6位有效数字，即x=sqr(2.5)=1.58114，得

三个平衡点是与参数α、β无关的常量。

当 a=-1.25，b=0.1，式(5)的 Jacobi矩阵的特征值为

当 α=9，β=14.3，J 在 P0、P+、P-三个子空间中的Jacobi矩阵分别是：

计算时取 α=9，β=14.3，x=0 及 x=1.58114，得到上面3个平衡点中第1个平衡点J0的Jacobi矩阵特征值为：λ1=3.2922，λ2、3=-1.0211±2.9548i，第 2、3个平衡点 J+、J-的 Jacobi矩阵特征值为：λ1=-5.7442,λ2、3=0.1221±3.3448i，根据混沌特性[8]可知在平衡点J0形成指标1鞍焦点，该处演变成键带，在平衡点J+、J-处形成指标 2鞍焦点，该处演变成涡卷。

固定 β=14.3，改变α值，研究三次多项式蔡氏电路的混沌演变过程，用matlab仿真式(5)，仿真时（x，y，z）初始值为（1，0，-1），时间设为 500步。观察相图时抛去前面的400步，改变α值，观察到稳定焦点、周期 1、周期 2、周期 4等，并进入单涡卷混沌、双涡卷混沌至单叶极限环。对应的α值为表1所示，可以观察三次多项式蔡氏电路的混沌演化经历：稳定-周期-混沌-极限环，过程如图3所示。

图3 蔡氏电路通往混沌的道路

2.3 三次多项式形式蔡氏电路仿真

用simulink软件仿真三次多项式蔡氏电路方程非线性部分的h(x)表达式，而不是非线性部分的f(x)表达式。图4是用simulink建模的三次多项式蔡氏电路，图中product为三次多项x3项，图5是三次多项式蔡氏电路采用式(6)的参数，（x，y，z）初始值为（1，0，-1），仿真得到的 xy、x-z、y-z相图。

图4 三次方形式蔡氏电路系统仿真图

图5 三次方形式蔡氏电路系统仿真相图

3.三次多项式蔡氏电路设计与试验结果

采用文献[8、9]提出的模块电路设计混沌电路原理，式(6)中除x3为非线性项，在图6中利用两个乘法器级联实现，即虚线框的三次方项，其余个项为线性项，利用反相积分器、反相加法器和反相器模块电路，对照式(6)各状态各变量的关系，将各模块电路联结起来即构成图6所示的三次多项式蔡氏混沌电路。

图6 三次方形式蔡氏电路原理相图

电路分析：集成运放A1输出端是x，则集成运放A2输出端是y，集成运放A3输出端是z，电阻R9左端是x3，集成运放A4输出端是-9y，集成运放A5输出端是-x，而集成运放A6输出端是-x-z，对照式(6)系数，调整 A1、A2、A3输入端各电阻阻值与式(6)系数对应，得知已经实现了三次多项式蔡氏电路的功能，示波器观察的相图如图7所示。

图7 三次方形式蔡氏电路硬件电路相图

4.结论

本文针对蔡氏电路系统方程非线性项的特点，设计一种三次方多项式代替非线性项。通过对三次方多项式蔡氏电路系统方程的特征分析，利用数学软件simulink对系统模型进行数值计算仿真，观察到系统经过 “稳定-周期-混沌-极限环”的演变道路。通过观察和分析上述混沌特性，并结合硬件电路实验验证结果，证实本文提出三次多项式的蔡氏电路设计是有效的，是对蔡氏电路的有益丰富。