张春浩，贺 丹，乔 瑞

(沈阳航空航天大学 辽宁省飞行器复合材料结构分析与仿真重点实验室，沈阳 110136)

蜂窝夹层结构具有重量轻、强度高、隔音、隔热、寿命长等优点，被广泛应用于航空航天等领域中[1]。蜂窝芯层等效参数的研究是蜂窝夹层结构设计的基础，研究蜂窝芯层的力学特性具有重要意义。

非均匀性的蜂窝材料在力学分析上较均匀材料更为繁琐，为简化分析工程上一般将其等效为均质材料。Allen[2]最早提出了一种蜂窝芯层面内等效模型，其假设忽略了芯层的面内刚度和弯曲刚度，只考虑横向抗剪能力。但是蜂窝芯层相对蒙皮具有较大厚度，不应完全忽略面内刚度和弯曲刚度。Gibson[3]和Burton[4]将壁板视Bernoulli-Euler梁，将面内刚度考虑在内提出了新的芯层等效弹性公式。但是Gibson忽略了壁板的伸缩变形和剪切变形，且其弹性刚度矩阵奇异，在有限元分析时极为不便。富明慧[5]考虑了壁板伸缩变形的影响对Gibson公式进行了修正。赵金森[6]纠正了富明慧[5]公式推导的错误之处。

蜂窝尺寸随着设计需求而变化，目前对毫米级蜂窝的研究与应用较为广泛，对微纳米级的蜂窝研究很少，微纳米级蜂窝的应用具有一定的潜力。上述研究工作都是针对宏观尺度下的蜂窝，而当材料的尺寸为微/纳米级时，诸多实验[7-8]观测到材料出现了传统连续介质理论无法描述的尺度效应。因此学者们提出了一些广义连续介质理论来解决这个问题，如非局部弹性理论[9]、应变梯度理论[10]和偶应力理论[11]。

由于尺度参数需由复杂的试验来测定，在以上提到的广义连续介质理论中，偶应力理论因含有较少的参数在工程实践上有一定优势。Yang[12]提出的修正偶应力理论其最大的优点是只包含一个尺度参数。Park[13]首先基于修正偶应力建立了Euler-Bernoulli梁模型，随后Ma[14]等建立了Timoshenko梁模型。最近雷剑[15]给出了修正偶应力理论材料尺度参数测定的标准方法，使其在工程应用上更加便利。

本文针对少有研究的微尺度蜂窝芯层，基于Y模型及修正偶应力理论，推导出芯层的面内弹性参数。

1 Y模型的建立

针对蜂窝芯层弹性参数建模繁多，其中一些模型的假设条件与推导过程存在矛盾，本文采用如图 1所示的Y模型，将矩形虚线内的Y型胞壁等效为均质实心矩形板。其优点是面积和正六边形蜂窝面积相等，每个矩形有3个完整胞壁(每个蜂窝的完整胞壁也为3个)。本文中坐标系建立如图1所示，芯层水平向右为x方向，竖直向上为y方向，右手法则确定x方向坐标。

图1 蜂窝芯层参数推导模型

2 修正偶应力理论

基于Yang[12]提出的修正偶应力理论，线弹性体在一定区域V内发生小变形时的应变能可表示为

(1)

其中应力、应变张量σij、εij与偶应力、曲率张量mij、χij定义为

(2)

(3)

其中(i,j,k)=(x,y,z)；λ与μ为Lame常数；ui为平动位移；θi=eijkuk,j/2为转动位移；l为材料尺度参数。

3 等效弹性参数推导

等效的方法是使胞元模型处于单向受力状态，对模型受力分析，根据应变能相等推出对应于该状态的弹性参数，该参数即将蜂窝芯子等效为均质实心体的弹性参数。

3.1 Ecx的推导

Ecx为面内弹性模量，ES为芯层材料的弹性模量，t为胞壁厚度，L为胞壁长度，b为芯层高度。当蜂窝胞元受x方向收单向应力σ1时，等效模型的受力如图2所示。

图2 蜂窝胞元x方向受力示意图

由图2可知

P=σ1b(h+Lsinθ)

(4)

在A点处的转角为零，则θP+θM=0，

即

(5)

取AB段分析，将AB段视为欧拉悬臂梁。将P延轴向与垂直轴向分解为F与N，如图 3所示。F=Psinθ，N=Pcosθ。

图3 AB段受x方向力示意图

AB段位移场可表示为

(6)

由式(2)、式(6)知

(7)

将式(7)代入式(2)中得

(8)

其中E为杨氏模量，ν为泊松比，其与λ、μ关系如下

(9)

可令ν=0简化计算而不影响结果[13]，式(8)化简为

(10)

其余应力均为0。将式(6)代入式(3)中得

(11)

不考虑轴向力的作用，基于最小势能原理推导出AB段受F、M作用的控制方程及边界条件。该原理可表述为

δΠ=δ(U-W)=0

控制方程

代入边界条件

q(x)=0,M(x)=0

最终解得

单位厚度等效体变形能

AB弯曲应变能等于F，M的外力功。

AB轴向应变能仅由N引起

AB总应变能U1=UAB1+UAB2

BC总应变能U2=U1

推出：

3.2 Ecy的推导

Ecy为面内弹性模量，Es为夹芯材料的弹性模量。当胞元受y方向单向应力σ2影响时，等效模型的受力如图4所示。

图4 蜂窝胞元y向受力示意图

取AB段分析，将AB段视为欧拉悬臂梁。将P延轴向与垂直轴向分解为F与N，如图3所示。F=Pcosθ,N=Psinθ。单位厚度等效体变形能

AB段弯曲应变能等于F，M的外力功。

AB轴向应变能仅由N引起

AB总应变能U1=UAB1+UAB2

BC总应变能U2=U1

3.3 Gcxy的推导

蜂窝胞元受切应力τ影响时，等效模型的受力如图5所示。在模型建立时，引入以下假设：

(1)A、B、C节点没有相对位移;

(2)各节点转角相同;

(3)剪切变形是由BE绕B点的转动和BE的弯曲形成的。

由图5可知

等效单元体的剪切应变能

图5 面内剪切模量模型图

AB轴向应变能仅由N引起

AB总应变能U1=UAB1+UAB2

BC总应变能U2=U1

BD总应变能

推出

综上，正六边形蜂窝的等效面内弹性模量

(12)

4 算例分析与讨论

以正六边形微尺度钛蜂窝为例，钛弹性模量E=106.4 GPa，μ=0.33，材料尺度参数[15]为1.573 μm。蜂窝壁长L=5 mm，蜂窝厚度t=1 mm。计算得到微观弹性模量并与赵金森的宏观模型[6]结果进行对比,其结果见表1。

表1 毫米级胞元宏微观模型对比 GPa

蜂窝壁长L=5 μm，蜂窝厚度t=1 μm。计算得到结果并与宏观模型[6]结果进行对比，其结果见表2。

表2 微米级胞元宏微观模量对比 GPa

由上表可知：

正六边形蜂窝宏观、微观等效模型的Ecx=Ecy，这说明正六边形蜂窝芯层的弹性模量在面内具有各向同性。

由表1可知，毫米级胞元的宏观面内弹性模量与微观面内弹性模量差值很小。由表2可知，微米级胞元的宏观面内弹性模量与微观面内弹性模量差距较大，剪切模量更为明显。

这说明当胞元尺寸较大时，本文模型可退化为宏观模型[6]；而当胞元尺寸较小时，本文模型结果与宏观模型结果存在较大差距，材料的尺度效应不容忽视，本文模型可以有效地反映尺度效应。

综上，微观计算结果均大于宏观结果，当蜂窝的几何尺寸处于宏观时(尺度参数远小于几何尺寸)，两种理论结果基本相同，本文模型反映出材料的宏观刚度。当梁的几何尺寸处于微观状态时，材料出现了尺度效应，材料较宏观状态下有更高的刚度。这种材料刚度受几何尺寸影响的结果与微观实验[7]观察到的现象相符，因此能够证明本文模型较传统模型能有效地反映尺度效应。