宫海静

摘 要：“数形结合”这一贯穿于高中数学教学始终的解题思想方法，其本质是“数”与“形”之间的相互转换。对于高一学生而言，在教学中有效运用“数形结合”方法不仅能帮助学生用几何直观来诠释代数问题、突破思维障碍，还有利于数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理等核心素养的培养，引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值，更能够使学生树立信心、增强兴趣，从而实现初高中数学学习的良好过渡。以高中数学人教A版必修四第一章第四节《正弦函数、余弦函数的性质》为例，简单介绍了新课程标准下数形结合思想在初高中过渡期的应用。

关键词：核心素养;高中数学;数形结合;应用

一、问题提出

对于高一数学教师而言，实现初高中数学教学衔接是一项富有挑战性又非常重要的工作。初中教材一般都是由与生产、生活相关的实际背景引入问题，让学生通过具体观察、形象思维，来分析、总结、归纳出简单的数学定理、公式以及如何进行实际应用，初中数学学习需要学生具备形象思维，因此知识难度较小，易于学生所接受，而高中数学知识概念表述详细抽象，定理表达具体严谨，思维要求逻辑性强，明显提高了学生抽象思维的水平。由于学习方法和思维习惯以及认知特点不同，很多高一新生在入学初期出现不适现象，甚至产生厌学情绪，进而影响整个高中数学的学习。如何在教学中采用恰当的教学手段，使得学生尽快适应高中数学的学习，既完成高中数学课程的育人目标又提升数学学习的兴趣是很多一线教师思考和探索的课题。

徐斌艳说：“数形结合就是使抽象思维和形象思维相互作用，实现数量关系和图形性质的相互转化，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题”[1]。张同军认为数形结合就是“将数量关系的精确刻画和空间形式的形象直观密切结合”[2]。中学数学研究的对象可分为“数”和“形”两大部分，数形结合思想方法的应用大致可分为两种情形：一是助于数的精确性来阐明形的某些属性，二是助形的几何直观性来阐明数之间某种关系。因此，“数形结合”就是人们在研究某些问题时，同时对其几何和代数意义进行分析，使“数”与“形”两者之间能够优势互补、相辅相成，达到逻辑思维和形象思维完美统一的一种数学思想方法[3]。

笔者认为，在教学中合理地运用“数形结合”思想方法，有利于引导学生进行初高中阶段数学知识的过渡和衔接，帮助学生顺利完成初高中数学学习的有效过渡。现以人教A版必修四第一章《三角函数》的第4节1.4.2《正弦函数、余弦函数的性质》为例，浅析新课程标准下数形结合思想在初高中过渡期的简单应用。本节课是人教A版必修四第一章《三角函数》的第4节1.4.2《正弦函数、余弦函数的性质》。《普通高中数学课程标准（2017版）》要求用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质，能够理解函数的单调性、最大（小）值，了解函数的奇偶性、周期性重点提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理素养。

二、课例展示

（一）学情分析

（二）教学目标

1.“四基”目标

2.“核心素养”目标及生长点确定

（三）课堂框架

本节课在教学设计中充分地考虑“将课堂还给学生”“实现教师的引领者角色而非主导者”，依托学生的思维主线来建构课堂，形成灵活多变的课堂生成模式，关注核心素养目标在教学中的实现性，以教学内容和教学过程的具体方式为载体，在情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思几个方面来体现数学学科核心素养，其课堂框架流程图，如下图。

课堂框架流程图

（四）课例分析

本节课基于数学核心素养在教学中的孕育点和生长点，在教学设计中充分考虑了高一学生的认知特点和思维水平，充分使用数形结合的方法，从以下几个方面突破了教学重点和难点，既达成了教学目标，又使得学生生成了浓厚的学习兴趣及良好的学习情绪。

1.搭建认知习惯和思维习惯的脚手架

本节课首先从学生已有的知识与经验入手，回顾了研究指数函数、对数函数、幂函数的性质的经验——利用函数的图像研究函数的性质。其次从生活实践出发，引入学生熟悉的摩天轮每一个位置的运行轨迹问题、钟摆的摆动问题、电磁波和地震波等问题，并提出“三角函数具有怎样的性质使得它在研究这些问题中发挥作用？”的问题。大量的图片、熟悉的场景既符合初中生的认知习惯和思维习惯，又有利于激发他们的学习欲望，为学生理解概念与提出问题创设情境。

本节课还回顾了正弦函数图像的生成过程，通过动画演示，让学生体会周而复始的变化过程既为后面突破难点——周期性的研究埋下伏笔，又为学生探索规律启发思路。

本节课在研究函数的每一个性质时均通过PPT演示的方式来呈现，既为学生解决问题提供直观，又帮助学生把握本质，建立知识之间的关联。

2.创设问题情境，提升思维品质

本节课一方面通过数形结合的方法搭建了认知习惯和思维习惯的脚手架，另一方面根据图形特点适时创设问题情景，通过问题串的形式层层深入，抽象概括出正弦函数、余弦函数的性质，提升了学生的思维品质。例如对函数周期性的探究，在学生发现正弦函数值呈现“周而复始”的变化规律时，教师不忘追问呈现这种变化规律的根本原因是什么？进而使得学生的思维水平由感性认识上升到理性探索，使得学生对“形”的认识转变到对“数”的挖掘;当学生认识到其根本原因是终边相同的角的三角函数值相等（诱导公式sin（x+2kπ）=sinx）时教师进一步追问，如果令f（x）=sinx那么这个关系式可以用f（x）如何改写？通过不断地追问、不断抽象概括得出周期函数的概念。这种问题情景的创设不仅达成了教学目标，更实现了由“形”到“数”的转变，提升了学生的思维品质，为初高中思维过渡打下基础。

3.整体把握教学内容，还课堂于学生

数学探究活动是综合提升数学核心素养的载体，本节课通过教师的引导，采用合作探究、小组汇报、集体讨论的方式对正弦函数的性质进行探讨，教学中依据学生探究结果灵活设计课堂环节，激发了学生的学习兴趣和合作交流意识，同时引导学生类比正弦函数性质的研究过程获得余弦函数的性质，积累发现和提出问题、分析和解决问题的经验，养成独立思考与合作交流的习惯。

三、结语

实现初高中数学教学的有效衔接是高一教学过程中大家关注和亟待解决的问题，当然其解决方式和方法也是多种多样的。如果在课堂教学设计过程中，教师能够适时采用数学结合思想方法，对于逻辑性和抽象性思维并不成熟的高一学生而言，无疑是一种很好的方法，当然更重要的是通过數形结合思想方法的渗透，学生的形象思维与理性思维的碰撞一定能生出“爱数学”的火花，树立“学数学”的信心和决心，这无疑为“人人获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”提供更大的可能。

参考文献：

[1]徐斌艳.数学课程与教学论[M].杭州：浙江教育出版社，2003.

[2]张同君.中学数学解题研究[M].长春：东北师范大学出版社，2002.

[3]武俊英.数形结合思想在初中数学教学中的实践研究[D].西安：陕西师范大学，2014.

注：本文系吉林省教育科学研究“十二五”规划课题（GH150823）资助项目。

责任编辑 郝二军