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教材习题开发利用的策略

2019-01-10陈卫青

教学月刊·小学数学 2019年12期
关键词:习题数学教学策略

陈卫青

【摘   要】教材习题不仅包含着基础知识与基本技能,还蕴含着解题策略、数学思想和方法等内容。要发挥好教材习题的练习作用,就需要教师对教材习题进行深入的分析,充分挖掘隐藏在这些习题中的资源。具体操作可以从以下四方面着手,对教材习题进行开发利用:借题发挥;举一反三;领会题意;改编习题。

【关键词】习题;数学教学;策略

教材习题内容丰富,图文并茂,不仅包含着基础知识与基本技能,还蕴含着解题策略、数学思想和方法等。笔者通过“教材练习素材的利用与开发”这一课题,对课后习题进行了深入的分析,边教学边实践,很好地发挥了习题的练习作用。现对实践中所运用的几点策略总结如下,供大家教学时参考。

一、借题发挥,突出方法与规律的提炼

教材在编写课后习题时,除了紧扣本节课的知识与技能,还会安排一些具有代表性的素材,使学生练习后能更好地总结方法、提炼规律。

比如在教学人教版五年级下册“最大公因数”后,教材配有以下习题。

找出下面每组数的最大公因数。

6和9    15和12    42和54    30和45    99和36

5和9    34和17    16和48    15和16    13和78

教材对这10组数做了精心的设计。这10组数中有两个数是互质数关系的若干组,两个数是倍数关系的若干组,两个数既不是互质数关系又不是倍数关系的若干组。如果教师在教学时,只让学生求出每组数的最大公因数,而不引导学生针对各组数的特点进行方法和规律的提炼,那只能是单一的训练。所以教师有必要在学生找出每组数的最大公因数后,提出以下问题:怎样能更快地找到两个数的最大公因数?

学生针对这一问题先独立思考,分小组讨论后,教师再组织集体交流。

生:我看到这10组数中有两个数是倍数关系的,小的那个数就是这两个数的最大公因数。

师:你能举例说明吗?

生:如“13和78”,这里的78是13的6倍,13就是78的因数,所以13和78的最大公因数就是13。

师:以上10组数中两个数是倍数关系的还有吗?(教师根据学生的回答,重新把有倍数关系的组写在一起)

生:如果两个数的公因数只有1,那最大的公因数就是1。如“5和9”,最大公因数是1。

师:很好!两个数的公因数只有1,我们把这两个数叫作互质数。

生:我发现两个数是相邻的自然数时,这两个数的最大公因数也是1。如“15和16”这两个数的最大公因数是1。

师:是吗?大家是否再举例说一说?(学生说了很多,如16与17,17与18,288和289……这样的两个数的最大公因数都是1)

师:除了两个数是互质数关系、倍数关系的,还有什么关系?

根据学生的回答,教师作如下板书(如图1)。

图1

师:当两个数既不是互质数关系,又不是倍数关系时,用什么方法能更快地找到最大公因数?

生:在两个数中,先把小的数的因数都找出来,再看看哪个因数是大的数的因数,找出最大的因数就是这两个数的最大公因数。如“6和9”,6的因数有1,2,3,6,发现3是9的因数,所以“6和9”的最大公因数是3。

师:你们再想想,有必要把较小数的因数都找出来吗?

生:可以把较小的数除以2来比较。如“6和9”,把6除以2等于3,这3又是9的因数,所以“6和9”的最大公因数就是3。如“15和12”,把12除以2等于6,6不是15的因数,再把6除以2等于3,这3是15的因数,所以“15和12”的最大公因数就是3。

师:好!大家用这种方法再找一找另外3组数的最大公因数,看是否可行?(过程略)

师:这种方法叫作把较小数缩倍法,但一定都要除以2吗?如碰到“27和36”,只要把较小的数27除以3等于9,9是36的因數,也就找到“27和36”的最大公因数是9。

接着教师借以上分析又向学生提出以下的练习:

①如果“a和36”的最大公因数是12,且a<36,那a是(         )。

②如果“a和36”的最大公因数是1,且a<36,那a是(         )。

生:第①题a=12,24;第②题a=1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35。

教材习题解答后,教师继续向学生提出问题,引导学生进一步概括解题的方法和规律,并利用发现的规律提出新的练习。这样的延伸性提问和补充,能把原题的功能发挥得淋漓尽致。

二、举一反三,突出解题思路的拓展

由于受版面的限制,教材中同一内容、同一性质的练习材料相对较少。而学生在学习过程中不可能只通过一两个练习就能进行归纳、提炼,所以需要教师根据教材提供的练习材料,自主创编出适量的、具有相互关联的习题,可采用“一题多问,一题多解,一题多变”等方式,触类旁通,拓宽学生解题的思路。

(一)一题多问,加深理解解题方法

“一题多问”,不是每一题都要去“多问”,有些题不需要多问,有些题自然要多问。比如老版(2009年3月第2版)的人教版教材六年级上册“扇形统计图”中有这样一道练习题(如图2)。

图2

此题的练习目的是“能根据具体数据选择合适的统计图”。教学时,教师往往希望学生回答出预设答案:第(1)组数据更适合画折线统计图;第(2)组数据更适合画扇形统计图;第(3)组数据更适合画条形统计图。接着教师最多会追问:为什么?

这样的教学,此题的功能没有得到应有的发挥。教师可在学生回答说理后,继续补充以下问题。

问题1:请你们想一想,根据第(2)组数据绘制成的扇形统计图会是什么样子的?

在学生比画表述后,教师再出示一组图,向学生提出:你想象的统计图的样子应该是哪个图?

问题2:下面是绿荫小学去年种下各种树木成活率统计表(如图3),你觉得根据表中的数据可以画出扇形统计图吗?

图3

大部分学生回答:可以。沉默片刻后就有越来越多的学生发现,这张表格中的百分数表示的是各种树木的成活率,相互没有关联,所以不能画成扇形统计图。

问题3:题目中第(2)组数据中的百分数是怎样计算出来的?

学生通过观察回答:第(2)组数据中的百分数是根据第(3)组数据算出来的。

这时教师让学生根据第(3)组数据算一算是不是刚好是第(2)组数据中的百分数。然后出示图4,再向学生提出要求:请你根据表中的数据画出扇形统计图。

图4

教材提供的三组数据,只要求学生选用画哪种统计图更合适。停留在这样的分析上,只能达到让学生认识各种统计图在什么情况下更合适的目的。如果以此题为背景,采用一题多问的方式,可使学生对扇形统计图有进一步的认知。

新版(2014年3月第1版)的人教版教材对此题作了极大的改进,在加深学生对解题方法的理解上有了很好的引领。

(二)一题多解,交流拓展解题思路

教材中有许多习题本身蕴含一题多解的特点,所以在学生解答后,教师要继续引导学生用多种方法去解答,并及时组织学生交流,使学生能更好地拓宽解题思路,提高解决问题的能力。

比如人教版五年级上册“多边形的面积”中有这样一题(如图5)。

图5

教师先让学生独立解题,并要求用不同的方法进行解答,接着展示学生的解题方法,最后进行分类整理并归纳解题思路。

第一类:先分割,再计算。

方法1:按上、下分(见图6-①),把阴影分割成上、下两部分,阴影部分的面积是:5×4÷2+(2+5)×4÷2=10+14=24(cm2)。

方法2:按左、右分(见图6-②),把阴影分割成左边是一个直角梯形,右边是一个钝角三角形。阴影部分的面积是:(4+5)×2÷2+5×6÷2=9+15=24(cm2)。

方法3:连对角线(见图6-③),分成两个钝角三角形,阴影部分的面积是:4×8÷2+2×8÷2=16+8=24(cm2)。

图6

第二类:先补充,再计算。

方法4:把它补成一个梯形(见图7-①),算式是:(4+8)×8÷2-8×6÷2=48-24=24(cm2)。

方法5:把它补成一个梯形(见图7-②),算式是:(2+8)×8÷2-8×4÷2=40-16=24(cm2)。

方法6:把它补成一个正方形(见图7-③),算式是:8×8-8×4÷2-8×6÷2=64-16-24=24(cm2)。

图7

第三类:直接数方格。

“一题多解”可培养学生的求异思维,促使学生从不同角度分析问题、解决问题,努力拓宽思维的广度。但在“一题多解”中,应注重学生在求异中的归纳、优化,使求异更有价值。

(三)一题多变,完善解题模式

一题多变是训练学生完善解题模式,提高思维灵活性的有效方法。如人教版六年级上册“分数除法”中有这样一道题。

挖一条水渠,王伯伯每天挖整条水渠的[120],李叔叔每天挖整条水渠的[130]。两人合作,几天能挖完?

此题是已知工作效率的工程问题,可以直接运用的数量关系是“总工作量÷工作效率和=合作工作时间”,即“1÷([120]+[130])=合作工作时间”。基于此题的解题模式,可先回归到两人独做需要的工作时间上,并以此题变换出不同背景下的题目,如以下题组。

①挖一条水渠,王伯伯单独挖,需要20天完成;李叔叔单独挖,需要30天完成。两人合作,几天能挖完?

②从甲城到乙城,客车需要20小时,货车需要30小时;现在客车和货车分别从甲、乙两城同时相向开出,几小时后两车相遇?

③姐妹两人绕着周长为600米的池塘走路,姐姐单独走一圈要20分钟,妹妹单独走一圈要30分钟。现在她俩从同一地点同时相背出发,经过几分钟后两人相遇?

④一批木料,如果做课桌,可以做20张;如果做椅子,可以做30把。如果一张课桌配一把椅子为一套,这些木料可以做多少套这样的课桌椅?

⑤一个游泳池有两根进水管,单开甲管,20小时可以把空池注满;单开乙管,30小时可以把空池注满。现在同时打开甲、乙两管,几小时可以注满这个游泳池?

以上5题可使学生认识到只是问题背景在变,解题模式都是一样的。为防止学生产生思维定式,可再增加以下题目:

橘子成熟了,李叔叔说:我家果园里的橘子我一人采摘需要20天完成。王叔叔说:我家果园里的橘子我一人采摘需要30天完成。如果两人合作,几天可以摘完橘子?

三、领会题意,做好渗透

教材中的有些习题,蕴含着后继要学的数学知识,这就需要教师给予挖掘强化。如果及时引导学生进行延伸性思考,就能很好地激发学生对数学的学习兴趣,更好地渗透后继知识的学习。如人教版四年级上册“角的度量”这一单元,教材设计了多个图形的测量,都可渗透后继知识的学习。

如图8-①,此题让学生测量后去发现“对顶角相等”。

①                           ②                              ③

圖8

又如图8-②题,此题让学生发现“两条平行线之间所画的角的度数是另外两个角的度数的和”。

再如图8-③题,此题让学生发现“同弧所对的圆周角的度数相等”。

虽然这些知识要到中学才学习,但学生通过测量,不仅可巩固量角技能,更能感受到数学的奥秘。因此在教学这些习题时,除了完成原题的任务外,还应该进一步引发学生去举例验证,如图8-①,学生在发现对顶角相等后,教师可让学生在纸上任意画出两条相交的直线,去测量验证。

四、改编习题,提升价值

教材中的有些习题往往只针对某一知识点或某一技能,为了发挥习题的最大作用,在实际教学时,可根据学习内容和学生的实际情况,对习题进行改编。比如人教版四年级上册“认识平行四边形”做一做中有这样一题(见图9)。

图9

此题的意图是让学生发现所摆的平行四边形的形状有不同,从中认识平行四边形的不稳定性。笔者认为此题只给学生4根小棒,学生在拼摆时,只要把对边摆相等了,平行四边形也就摆成了。这样的题目思维含量低。为此,笔者在教学时将此题改编成了以下的问题(如图10)。

图10

从7根吸管中选择4根串成平行四边形,学生在解决这个问题时,要根据平行四边形的特征来思考。当选好4根吸管串成平行四边形时,这实际上做了一个能抽拉的学具,学生自然就认识到平行四边形具有不稳定性。

当学生选择2号管2根与3号管2根,串成平行四边形时,学生在抽拉中还认识到长方形是特殊的平行四边形。

当学生选择2号管4根,串成平行四边形时,学生在抽拉中除了认识到有四条边相等的特殊平行四边形外,还动态地认识到正方形是特殊的平行四边形。同时教师还可以告诉学生这四条边相等的平行四边形,还有一个名字叫菱形。

这样的改编,使学生动态地获得了平行四边形具有不稳定性,长方形、正方形都是特殊的平行四边形等知识,提升了习题的价值。

教材习题的开发利用,还有很多策略可以研究。

(浙江省临海市哲商现代实验小学   317000)

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