王敏烽

人教版四年级上册《平行与垂直》一课是建立在学生完整认识“线”和“角”这两个概念的基础上展开教学的。是“线关系”发生的基点，是学生第一次以“相互”的眼光同时看待两条线;是平面与图形认知发展的节点，为后续进一步定性认识长方形、正方形等平面图形奠定概念要素基础，标志着图形领域从一维几何转向二维几何;是学生理性认识图形的逻辑起点，学生逐渐要学会用关系的眼光来看待图形特征，用度量的眼光看待图形大小，用辩证的眼光看待图形关系。

针对本内容，笔者也做了相关的调查和前测，经梳理统计，问题和数据如下。

【调查和前测】

调查一：教师调查

[梳理内容 （人教版）《平行与垂直》设计课例 梳理问题 概念得出前是否有操作、分类？ 统计数量 10篇

结果统计 抽象、操作、分类 4篇 抽象、分类（弱化画） 4篇 没有 2篇 ]

根据课例梳理，结合区域内8位执教过此内容教师的访谈，总结如下。

（1）70%以上的课堂都在走“生活+半抽象—类比+对比”的路径，这也是较为常规的路径。然而，抽象的过程形式味過重。生活中并无直线原型，所谓的抽象实质影响学生的想象。

（2）在有限的时间内“任意画两条直线”，学生的思考和表达相当有限，学生呈现的作品很单一，课堂上用于研究分类的生成不全面，部分设计课例呈现的是教师补充或替代的内容。

（3）分类环节中，无效的、不能体现数学本质的分类，使得整个教学过程的实效性过低。

调查二：学生前测

前测对象：本校401班学生40人。

问题1：听说过数学中的平行和垂直吗？

问题2：请你画一画平行和垂直。（听说过的人回答）

从以上数据可以清楚地看到，学生对于“平行和垂直”的认知储备和操作水平都是比较低的，主要原因是学生知识经验的缺失。虽然也有学生具备一定的认知，但大多是停留在一条线上，普遍认为平行是水平的线，垂直是竖直的线。看来，学生是对一条线的位置认识产生了主观上的误解。

综上所述，这样一节极具“数学味”的图形与几何领域的新授课，既离不开学生的自主操作，又要兼顾课堂教学的实效性。特别是在借班上课的背景下，选择借助前置趣味探究性作业，在激活前概念的同时，可以对学生整体水平有一个较为真实的把握。这样，既能帮助教师合理预设课堂活动任务，又能在尊重学生本体认知水平的基础上实现经验的重组、再造和升华。

【实践探索】

◆课前探究

1.提前给任教班级下发探究作业单。

同学，你好！为了让我更好地了解你，老师为你私人定制了下面这份探究作业。请你仔细读题，展开想象，认真作答。

（1）把这张作业纸看作一个平面。假如在这个平面里跑进来1条直线，想象一下，它可能是什么样子？请把它画下来。

（2）假如在这个平面里又跑进来1条直线，2条直线之间又会发生什么故事呢？请你把它们画下来。（想到几种就画几种）

2.课前30分钟左右回收作业单，并统计数据，选择典型的素材完成课前准备。

◆课中探索

1.借探究作业，初步认识“相交”与“平行”。

（1）想象。

①平面上1条直线。

问：同学们，这个屏幕可以看作是数学上的面，平平的面。如果要在这个平面里画一条直线，想象一下，它可能是什么样子？

反馈明确：可以向不同的方向画，因为直线是可以向两端无限延伸的，所以只需要画一部分就可以表示直线。

②平面上2条直线。

问：假如在这个平面内又跑来一条直线，两条直线之间会发生怎样的故事呢？

反馈学生作品：

学生作品1                                学生作品2

学生作品3

问：你能看懂这些作品吗？和同桌说说你的理解。

合作学习：学生相互交流自己对作品的想法。

（设计意图：两个探究话题的呈现，一是学生对于直线和直线位置前概念的呈现，为下一环节的教学引出素材;二是不同层次学生认知的交流、共享，再一次完善前概念。）

（2）自主分类：直观认识“相交”“平行”“重合”。

引导分类。

①反馈“重合”。

教师引导学生想象，并课件演示两条直线重合的过程。

师：我们只看见了一部分，实际上是什么样子的？

小结：这样的两条直线重合，等同于同一条线。在研究两条直线的位置关系时，一般不研究这种位置关系。

②反馈“相交”。

问：两条直线相交有什么特点？（两条直线会碰在一起）

小结：看来相交就是得碰一下，撞出个交点来。我们来看看数学家们规定的“相交”。

③反馈“平行”。

问：两条直线平行有什么特点？（不会碰在一起）

师（课件演示）：这两条直线延长后会相交吗？我们来看看数学家们规定的“平行”。

④反馈特殊的“相交”。

（师课件出示右图）

辨析：你觉得这属于上面“相交与平行”的哪种情况？

生比画：延长后，这两条直线就会相交在一起，所以是相交。

小结：在研究两直线位置关系时，不要忽略了直线是可以向两端无限延伸的。

（设计意图：在问题引领下，学生自发展开了对两直线位置关系的研究。基于学生对作品的直观解读，在对不同探究作品的评析、类比中抓住了两直线位置关系的外显特征，并辅以数学家的介绍，对关系概念进行了规范描述。）

2.借变换想象，深入理解“相交”与“平行”。

过渡：现在我们知道了两条直线在一个平面上的位置关系，有相交，有永远不相交（平行）。

（1）平行：通过格子图感受等距。

①出示格子图。

你觉得哪一组是不会相交的？

②想象，假如这个面继续扩大，这两条直线，一直延长，它们之间还是会隔着2个格子。

③动画演示平行。

（层次一：延长之后仍不相交;层次二：旋转一组平行线，仍然平行。）

④揭示概念、规范读写。

⑤跟进练习：判断平行线。

（2）相交：从特殊角度看相交。

①用数学的眼光看，相交于一点，还形成了什么？（相交会形成钝角、锐角）

②特殊“相交”。

想象画：请你想象一下，两条直线相交，除了会相交形成两个钝角和两个锐角，还有没有其他可能？把你想到的画在创作纸上。

反馈交流学生作品。

③概念引出：相交成直角，互相垂直。

师：两条直线相交成直角的时候，在数学上又有一个新的名称。那如果一条记作直线c，一条记作直线d，我们就可以说直线c是直线d的垂线，直线d是直线c的垂线。它们互相垂直，写作c⊥d。

④跟进练习：判断是不是垂直（各种变换：不出头、成直角、无垂足）。

（3）联系：沟通变换看关系。

①回顾板书，小结两种相交（普通相交和互相垂直）。提问：这些位置关系之间有什么联系呢？

②联系（几何画板动态演示）。

（设计意图：借助格子图，从两线间距离的角度，揭示平行和相交的数学本质;借助线的旋转、平移变换，进一步从角的角度研究相交，得出两直线垂直概念;借助图形运动和几何画板变换，丰富对平行、垂直的表象，加深对概念的理解。）

3.借巩固应用，内化发展“相交”与“平行”。

（1）生活中的平行与相交。

（2）图形中的平行与相交。

在我们已经认识的平面图形中有互相平行和互相垂直的现象吗？

（3）延伸想象（课后探究作业）。

平面内已跑入2条互相平行的直线，要围成一个长方形，还需要怎样的2条直线？请想象。

（设计意图：第1题联系生活，把抽象的数学知识与生活场景相关联，可以有效加深学生对知识的记忆和理解，亦是数学知识生活化的体现;第2题将新知与已有的知识经验相关联，在加强理解的同时，又能完整知识体系;第3题是线关系的综合应用，通过拓展为后续教学的开展做衔接、打基础。）

4.课堂总结。

今天我们学习了什么？是怎么展开研究的？

【课后回望】

这节课从学生的前测问题和素材导入，通过学生对自己作品的观察、评价、分类，层层深入。从静态初识到动态抽象，再到回归生活，课堂探究氛围浓厚。其教学思路主要有以下特点。

一、前置探究，探查前概念，为教学寻起点

“学为中心”是设计探究作业的指导思想，明确“环节”要充分挖掘，呈现学生原有的认知基础。特别是在借班上课的情况下，能够提前把握班级整体水平及学生水平间的差异，为课堂的推进选择一个适切的起点。我们从前测中看到，学生对于概念的认知水平还是比较低的，为此前测设计是从画一条直线进入，通过小故事进行引导，让学生自主开展对两条直线位置的自我研究，这是对学生原有认知水平能力的挖掘。课堂第一环节中所呈现的不同水平层次作品，是对各水平层次学生前置探究的呈现。不同水平层次的思考阶梯式呈现，不同中探寻相同，经验得以重组提升。从另一个角度看，也是对课堂时间的填补，有效解决了课堂上学生探究时间不够、思考不充分的困惑。

二、课中互评，加工前经验，为提升寻支点

“经验再造”是设计探究作业的内核本质，强调“学习”要主动提取，改造学生原有认知经验。通过层次性的素材呈现和交流评价，不同水平层次的经验在相互的碰撞中提煉出共性的经验提升支点。教学中主要分两个层次来落实。首先基于生生互动，通过对作品进行评价，学生的认知经验在调取、修正、重建中实现提升，辅以课堂教学、评价，实现静态下两直线位置关系概念的初步形成，关注学生自我习得素养的养成;其次，借助运动的变换，在变化中找“不变”，进一步加深对概念本质的体验，关注学生辩证科学素养的养成。

三、课后探究，应用新思考，为建构寻创点

“知识建构”是设计探究作业的最终归属，强调“评价”要有效夯实，发展学生现有认知经验。除了对知识的点对点巩固以外，还要思考如何与学生更多的“能力线”“思维面”挂钩。这不仅仅是作业形式的改变，更是学生学习方式的改变，为学生在学习探究能力发展、思维广度提升上提供可创新的“点”。在练习环节，生活中的“平行与垂直”，用抽象的眼光看待线关系的存在，将数学与生活进行关联，体会生活中处处有数学;数学中的“平行与垂直”，用建模的眼光看待线关系的存在，将知识前后串联，感悟数学中处处皆关联。

（浙江省宁波市奉化区莼湖镇中心小学   315500）