江苏省南通中学 徐德均

同学们，你们发现数列和函数有什么联系吗？

其实，数列是离散型函数，它可以看成以正整数集N*（或正整数集N*的有限子集｛1，2，3，…，k｝）为定义域的函数an=f（n），当自变量n按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．

下面我们通过对两道考题的分析来说明：在将数列问题转为函数问题后，运用导数判断数列的增减性，揭示数列的函数本质属性．

一、探求数列的最小（大）项

例1已知数列｛an｝的通项公式为an=n3-27n+1（n∈N*），试问数列｛an｝是否存在最小项？若存在．请求最小项；若不存在，请说明理由．

分析判断数列｛an｝是否存在最小项，通常采取的方法是根据数列｛an｝的通项公式，作差：d=an+1-an=［（n+1）3-27（n+1）+1］-（n3-27n+1）=3n（n+1）-26（n∈N*），当n=1，2时d＜0，当n≥3时，d＞0，从而判断数列｛an｝的增减性，得到数列各项的大小关系a1＞a2＞a3＜a4＜a5＜…，从而判断数列｛an｝存在最小项为a3=-53．

考虑到数列｛an｝的第n项an是关于项数n的三次函数，其所对应的三次函数为f（x）=x3-27x+1（x≥1），所以可利用导数的方法先判断函数f（x）的单调性，再求函数f（x）的最小值，从而可求得数列｛an｝的最小项．

事实上，当1＜x＜3时，f′（x）=3x2-27＜0，函数f（x）=x3-27x+1在（1，3）上是减函数；当x＞3时，f′（x）=3x2-27＞0，函数f（x）=x3-27x+1在（3，+∞）上是增函数．函数f（x）=x3-27x+1（x≥1）的最小值为f（3）=-53，从而可知数列｛an｝存在最小项为a3=-53．

点评通过作差，比较数列中的项的大小，求数列中的最小项，是从整体看数列的变化的趋势；而利用导数，先判断数列的增减性，再求数列中项的最小值，则具有用函数看数列本质的观点，但需要注意的是，由数列的通项公式对应连续函数的最大（小）值未必是数列的最大（小）项．换言之，数列通项公式对应的连续函数单调，则数列具有增减性；但是数列具有增减性，数列的通项公式对应的连续函数未必单调．如递增数列｛an｝的通项公式为an=n3-2．5n+1（n∈N*），其通项公式所对应的连续函数f（x）=x3-2．5x+1在（-∞，1．25）上是减函数，在（1．25，+∞）上是增函数，其最小值为f（1．25），因此其在［1，+∞）上不是增函数，f（1．25）不是数列｛an｝的最小项，数列｛an｝的最小项为f（1）=-0．5．

二、探求数列恒成立问题中的参数的最值

例2（2019年江苏卷20题第（2）②问）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”．已知数列｛bn｝（n∈N*）满足其中Sn为数列｛bn｝的前n项和．设m为正整数，若存在“M-数列”｛cn｝（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有ck≤bk≤ck+1成立，求m的最大值．

分析根据条件易得bn=n，（n∈N*）．可设“M-数列”｛cn｝的公比为q．

则条件ck≤bk≤ck+1转化为qk-1≤k≤qk，其中k∈N*且k≤m，m∈N*．

所以，当k=1时，q≥1；当k=2，3，…，m时，都有恒成立．

所以当x=e时，函数f（x）取得最大值f（e）．所以，f（1）＜f（2），f（3）＞f（4）＞…，

所以m≥5．分别取k=3，6时，得3≤q3，且q5≤6，从而243=35≤q15≤63=216，

所以q不存在．因此，所求实数m的最大值为5．

点评题中在将不等式ck≤bk≤ck+1转为当k=2，3，…，m时，都有恒成立后，求数列｝最大项得公比q的取值范围，是通过构造数列的对应函数，利用导数，得到数列的增减性与最大值f（3），确定，进而求得实数m的最大值为5．

通过以上两道例题，同学们有没有发现导数的作用？是的，导数是研究函数单调性、极大（小）值等常用的方法．在用导数研究数列问题时，同学们也要注意数列的增减性与函数的单调性是两个不同的概念，要灵活运用．