汪 峰， 田 丰， 武风波

(西安科技大学 通信与信息工程学院，西安 710054)

0 引 言

目前，提高LD抽运全固态激光器的输出功率是人们着重研究的一个方向，其中，激光晶体的热效应对其影响巨大[1-3]。双掺杂的Cr，Nd:GSGG晶体由于Cr3+具有宽吸收带，能够有效的吸收光谱中的可见光，并将能量有效的传给Nd3+，因此Cr离子的掺入大大增加从泵浦源到激光晶体的辐射转换效率，适合闪光灯作为泵浦源的高效固体激光器的激活介质。1985年,Edward Reed等人研究了闪光灯泵浦下Cr，Nd:GSGG晶体的激光效率是Nd：YAG晶体的3倍，而热透镜效应是Nd：YAG晶体的6倍，本文用ANSYS有限元分析软件分析晶体的热导率随温度变化的非线性变化，得到了闪光灯泵浦的Cr，Nd:GSGG晶体的内部温度场[4-6]、热应力场分布、以及改善热透镜效应后的温度场、应力场分布进行有限元模拟，得到详细而直观的结果。

1 理论模型的建立

在柱坐标系下，热传导的方程为[7-10]：

(1)

对于稳态，轴对称问题上式可以简化为一维温度分布：

(2)

式中：k=kr=kθ=kz表示热导率；q为产生的热量；以T(r0)表示棒面温度，表示r=r0的边界条件；r0为棒的半径。则棒内温度场的分布为：

(3)

式(3)表明温度场发生对称抛物线曲线的变化。即周边温度降低，中间温度升高。对晶体表面进行强制冷却，考虑冷却水的温度Tf，晶体吸收热量后与冷却水之间发生热交换，当晶体内部吸收的总热量Qa等于冷却液从棒表面带走的热量时，就达到稳定[11-13]：

Qa=2πr0Lh[T(r0)-Tf]

(4)

式中:h为晶体表面与冷却液的传热系数;L为晶体长度。从式(4)可以看出,提高h和降低Tf都能有效降低晶体内的温度。

因为晶体温度分布的不均衡，棒的内外层材料有了温差，产生机械应力。依据热弹性理论，在无其他外力作用时，自由端的各向同性激光棒，热应力的径向、轴向、切向分量分为：

(5)

将T(r)表达式代入上式，求解得到：

(6)

式中：S=αE[16k(1-υ)]-1，E为弹性模量；υ为泊松比；α为热膨胀系数。晶体内部热应力分布如图1所示。

图1 Cr,Nd:GSGG内部晶体应力分布图

晶体的等效热透镜焦距为：

(7)

2 有限元模拟

晶体热导率是随着温度变化的量，因此在模拟时要考虑到材料的非线性变化，本文的模拟就是基于图2和表1线性拟合得到的拟合方程κ=2.031 12+(1 161.049 81/T)作为变化的热导率来模拟晶体的温度场和应力场分布。

图2 实验所得Cr,NdGSGG晶体随温度变化的热导率

3 仿真结果及分析

采用有限元ANSYS分析软件，对参数如表2所示的Cr，Nd:GSGG晶体进行热应力和温度场仿真。热应力分析采用间接法，其中，PLANE55，PLANE42单元轴为对称结构，网格大小0.01 mm×0.1 mm，晶体尺寸φ6 mm×80 mm，冷却水温度20 ℃，晶体内部吸收的总热量Qa=600 J，晶体两端空气对流换热系数为50 W/(m2·℃-1)，得到其温度场模拟如图3所示。

表2 Cr,Nd:GSGG晶体的性质参数[14-16]

从图3可以看出，棒的两边温度T(ro)=86.4 ℃，棒的中间温度T(0)=203.7 ℃，温度以抛物线曲线的形态改变，与理论相符。

当热导率为常量，在条件不变的情况下，仿真出来的温度场分布如图3(b)所示，可以看出，与图3(a)相比，棒的两边温度没有变化，棒的中间温度有16.7 ℃差距，造成图3所示的两种中心温度不同的原因就是热导率随着温度的升高减小从而使得导热性能下降。

为了降低晶体的热效应，在其他条件不变得情况下，通过降低冷却液的温度(Tf变为15 ℃)和加快冷却液的流动速度以提高棒表面与水的传热系数(h变为8 000 W/m2K-1)，得到棒内温度场分布情况如图4所示。

(a) Tf=20 ℃，h=8 000 W·(m2·℃)-1(b) Tf=15 ℃，h=6 000 W·(m2·℃)-1

从图4所知，通过降低水的温度，增加水和晶体传热系数，不仅晶体中心温度有明显的减少，而且两边的温度大幅降低。但是棒内温度场不均匀的状况仍然没有得到改变，棒中心到棒边缘的温度差ΔT=117.3 ℃并没有改变。那么这种温度不均就会使得棒的端面形状发生变化，即所谓的端面效应。用ANSYS模拟的热导率为变量和常量条件下晶体的变形情况如图5所示。

(a) κ=2.031 12+(1 161.049 81/T)W·(m·K)-1(b) κ=6.0 W·(m·K)-1

温度不均使得棒端面发生变形，棒端面改变为凸面，从图5上所知，变化热导下的晶体的形变量是常量热导率下的形变量的1.1倍。目前情况下，经常采用端面修磨的方法来弥补，由于棒端面发生变形，而对激光模式带来的损耗影响，这种方法同时弥补了热透镜效应。把棒的端面修磨成一个凹面，凹面的半径为R=(no-1)fT，由于变化热导率引起的端面形变较大，因此中心向内的修磨量就要稍微大一点才能够得到理想的效果。修磨后激光棒的形变以及应力场分布如图6所示。

图6 Cr,Nd:GSGG晶体应力分布

从图7中可以看出，晶体修磨过后的端面由于热效应被填平，对于热透镜效应起到了很好的补偿作用，但是棒体内的温度梯度没有随之发生变化，其端面应力随之发生改变，如图7所示。由于端面的修磨，棒端面的边缘应力随之变大，而且越来越集中，其中，随着凹面的半径的增加，边缘应力会慢慢超出棒的破坏阈值，损坏了晶体，所以，棒的端面修磨要有尺度。图5为没有修磨前晶体在两种热导率条件下内部的应力分布，两者的应力分布都是中心和边缘应力较大，靠近端面的区域应力很小，所不同的是应力在这两个区域大小不一样，变化热导率条件下的应力分布更加容易使得晶体端面发生形变甚至破裂。在实际应用中对于热透镜效应的改善应采用设计相应谐振腔，或者加负透镜的方法以抵消热致双折射或热透镜的影响。

图7 Cr,Nd:GSGG晶体修磨后的应力分布

4 结 语

本文给出有限元分析的一般步骤，并且用ANSYS有限元分析软件对闪光灯泵浦下的Cr,Nd:GSGG晶体的温度场分布，应力场分布进行了有限元分析，结果表明提高冷却水与晶体的传热系数，降低冷却水的温度可以有效降低晶体棒内的温度，而端面的适当修磨对于热透镜效应的改善起到一定作用。本模拟是建立在热导率随温度变化的基础上的，材料非线性分析，较之热导率为常数的模拟结果更接近于真实值，通过上面的分析，将对Cr,Nd:GSGG晶体有一个详细的了解，在设计激光器件时有一定参考价值。

——摘自《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010-2020年)》