刘家良

（天津市静海区沿庄镇中学）

“都讲n遍了还是错”，这是数学教师在中考复习中常说的一句口头禅.教师认为自己讲得很清楚，学生理应听懂、会用，殊不知，对基础一般的学生来说，能有百分之六十的学生真的听懂就已经非常不容易了.那么，在中考复习的过程中，有什么方法，能使学生的思维逐步走向纵深呢？笔者认为，在比对、辨析中让学生自悟、归纳是提高中考复习效益的有效途径.

一、邻近概念的异同点、所求式子与公式结构的比对与自悟

概念是构成数学大厦的基石.在日常教学中，学生常把邻近的概念相混淆或把形式错误理解成本质，造成邻近概念的似是而非、模棱两可，直接影响了后续知识的学习.在中考复习中，让学生通过比对、辨析和自悟等活动去区分邻近概念，成为了把握概念内涵的一剂良方.公式是简化运算的工具，而学生常对那些不符合公式结构的式子也盲目套用公式，其根源是没有理清公式的结构特征，对此教师可以列举一些相似的式子让学生比对、辨析和自悟，在明确什么样的式子符合公式、什么样的式子不能套用公式的过程中达到熟悉公式结构的目的.

例1判断下列说法是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”.

（1）实数不是有理数就是无理数.（ ）

（2）无限小数都是无理数.（ ）

（3）无理数都是无限小数.（ ）

（4）带根号的数都是无理数.（ ）

例1围绕对无理数概念的几种认识展开了比对、辨析，其中的第（2）（3）（4）小题，学生可以通过自己举例，在不同看法间展开辨析和争论，弄清无理数的内涵.学生之间的反例驳斥、辩解要比让他们死记概念的效果好，同时还可以对今后概念的学习起到示范作用.之后，再举一例加以巩固：在3.14，0.353 535 35…，0.35335333533335…，，π中，无理数有_______.

例2下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是___________.

这是复习平方差公式时的一道题目.明确什么样的两个二项式相乘才能使用平方差公式，是正确运用平方差公式进行计算的前提，这也是学生把握不好的地方.对此笔者设计了一组相似题，旨在让学生从“形”到“质”把握平方差公式的结构特征.此题虽然不属于难题，但是错误率还是较高的.

生1：（1）式是两个数和的积，而平方差公式是两个数的和同这两个数的差相乘，形式上就不符合，所以它不能使用平方差公式计算.

师：形式上不符合，说到点子上了.

生2：（2）式不符合平方差公式中的字母顺序，所以它不能使用平方差公式计算.（部分学生将信将疑.）

师：有不同意这种说法的吗？

生3：我不同意，这是因为.所以，变形后就符合了平方差公式的结构，所以它能用平方差公式进行计算.

师：生3通过先变形、再比对的方式判断所给式子是否符合平方差公式，看“形”还要看到“质”，从本质上看问题的思维习惯值得大家学习.

笔者边归纳、边板书：(b+a)(a-b)=(a+b)(a-b)=a2-b2；(a+b)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2.

生4：(-a+b)(a-b)与平方差公式比较，第一个括号中a前面多了一个负号，这样，就有了三个数：-a，a，b.而平方差公式中只涉及到两个数：a，b，所以不符合公式要求.

师：生4从公式所含字母的个数上做了比对，分析到位！这个式子可以化成-(a-b)2.

生5：仿照生4的分析，（4）式中有四个数：x2，x，y，y2，因此也不符合要求.

师：生5倾听、分享生4的分析方案，这也是一种学习方法.

笔者边归纳边板书：(a+b)(a-b)=a2-b2，其中只涉及到两个字母a，b.

生6：（5）式不行，是差的积，不符合公式要求.

师：有不同的看法吗？

生7：我不同意，（5）式表面上看是差的积，但是(-a-b)=-(a+b)，所以(-a-b)(a-b)=-(a+b)(a-b)=-(a2-b2)，故能使用.

师：变形之后再比对，从“形”到“质”，分析得透彻.

生8：对于（6）式，开始时我认为不行，但是我从前面的分析中得到了启发，可将c2，d2分别看作公式中的字母a，b，这样就行了.

师：生8能从公式中字母a，b的广泛性上分析所给式子是否符合要求，并能在同学面前暴露自己开始时的思维缺陷，这种求实的学习品质值得大家学习.

【评析】在学生出现错误时，笔者没有马上去纠正，而是通过学生之间的相互启发、比对辨析，或变形、再比对、再判断，渐渐使公式特征浮出水面，同时悟到从“形”到“质”认识问题的重要性.这种自我比对、辨析、纠错比教师反复强调的效果要好很多.

二、一题多解的比对与自悟

学生能把自己解题的思维过程展示出来，就说明他对此类问题的理解是透彻的，教师讲的东西扎根在他心里了.在中考复习习题课上，对一道题目进行多种解答，多给学生思考、表达、比对、归纳的机会，在同中求异和异中求同中提炼出“质”的东西.虽然可能在一节课中只完成了一道题目，但是其代表了一类题目，从重“量”到重“质”的改变中让学生学会举一反三、触类旁通.

图1

例3如图1，点A，B，C在⊙O上，△ABC为等边三角形，点D为劣弧BC上一点，连接AD，BD，CD.试确定AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论.

这道题解法多样，且蕴含着辩证性思维.教师引导学生沿着观察思考、分析推理、辩证评析的路径走下去即可.

生1：在AD，BD，CD三条线段中，线段AD最长，是否会有AD=BD+CD呢？

生2：若如此，我想到了截长法和补短法.

生3：AD，BD，CD之间的数量关系为AD=BD+CD.如图2，在DA上截取DE=DB，连接BE.因为△ABC为等边三角形，所以∠ACB=∠ABC=60°，AB=CB.又因为∠BDA=∠ACB=60°，所以△DBE为等边三角形，所以BE=BD，∠DBE=60°.于是∠EBC+∠DBC=60°.又因为∠EBC+∠ABE=60°，所以∠ABE=∠DBC.所以△ABE≌△CBD（SAS），得AE=CD，即AD=BD+CD.

图2

图3

生4：按照生2的思路，在DA上截取DE=DC，连接CE，如图3，因为∠ADC=∠ABC=60°，所以△DEC为等边三角形，EC=DC，∠DCE=60°.可证∠ACE=∠BCD，所以△BDC≌△AEC，得AE=BD，即AD=BD+CD.

生5：生3和生4都在最长的线段上截取出一条线段等于一条较短线段，再证余下的那段等于另一条较短线段，这种方法就是教师讲解的截长法，常用于证明形如线段“a=b+c”的命题.

师：生5从生3和生4的证明过程中能感悟、提炼出典型性的方法，值得大家学习！

生6：类比截长法，能否使用补短法呢？

师：大家可以试一下.

生7：延长CD至点F，使DF=BD，连接BF，如图4.因为四边形ABDC为⊙O的内接四边形，所以∠BAC+∠BDC=180°.又因为∠BDF+∠BDC=180°，所以∠BDF=∠BAC=60°，△BDF为等边三角形，于是BF=BD，∠F=60°.证明△BDA≌ △BFC，得AD=CF，即AD=BD+CD.

图4

图5

生8：延长BD至点F，使DF=DC，连接CF，如图5，证明△CDF为等边三角形，于是CF=CD，∠DCF=60°.证明△BCF≌△ACD，得AD=BF，即AD=BD+CD.

生9：生7和生8均采用补短法.补短法就是延长一条较短线段至某点处，使延长部分的长是另一条较短线段的长，再证总线段长等于最长的线段.

生10：无论是截取法还是补短法，其本质都是构造法.这种方法给我们提供了解决这类问题的一个通法.

师：生10从两种不同的方法中悟到了两者之间的内在联系，概括得到位.大家还有其他的想法吗？

生11：如图3，在线段AD上截取AE=BD，连接CE.先证△AEC≌△BDC，得CE=CD，∠ACE=∠BCD.再证△DEC为等边三角形即可.

师：生11从问题的另一个方面去想，这种举一反三的能力正是我们需要的.

【评析】例3始于学生的观察，前后历经了学生的观察、猜想、论证、比对、自悟、提炼和归纳等思维过程.在师生的相互启发下，高潮迭起，使学生获得解题方法的同时，又悟得数学思想，数学素养能够得到逐步提升.

三、在归类成串中展开比对与自悟

教材是复习的蓝本，教材中的题目是中考命题的“母题”，但在中考复习中有些教师往往将教材扔在一边，热衷于讲各种课外题，这种“舍本”的做法加重了学生的负担.在第一轮复习中，教师应该发挥学生的主体作用，将分散在教材各章节的关联题进行重组，归类成串，再通过学生比对、归纳、自悟，提升由此及彼、变“厚”为“薄”的高度，形成知识脉络.

有些习题虽然承载的知识看上去不同，但是其蕴涵的思想方法却是相通的.基于此，可把此类题目链接到一起，通过比较，做到异中求同，获取本质性的认识.

例4如图6，CA=CD，∠1=∠2，BC=EC，求证AB=DE.

图6

此题是人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册（以下统称“教材”）第55页第3题，这是一道先用等式性质证两个三角形的内角相等，再证其全等，得到对应边相等的题.类似地，利用等式性质证明两个三角形的内角相等，采用这种铺垫方式的题目在教材中还有一些.

链接1：如图7，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证BE=DC.（教材第83页第12题.）

链接2：如图8，∠1=∠2，∠3=∠4，求证AC=AD.（教材第44页第4题.）

链接3：如图9，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E，AD=2.5 cm，DE=1.7 cm，求BE的长.（教材第56页第9题.）

图7

图8

图9

【评析】链接1与例4证明两个三角形内角相等的模式（等角加同一个角）是相同的，而链接3和链接4与例4的模式有别（等角的补角、同角的余角），但从例4直至链接3都是利用等式性质证明两个三角形的内角相等，“铺垫”打开了证明两个三角形全等的闸门，这一步很关键.这些题目先让学生到教材中去寻找，再让学生比对、辨析和归纳，从中找到解答这类问题的通法.

中考链接：（2016年四川·南充卷）已知△ABN和△ACM位置如图10所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.

图10

（1）求证：BD=CE；

（2）求证：∠M=∠N.

这是一道与例4相仿的试题，源于教材，又有别于教材.教师要对教材有相当到位的理解，以便在总复习阶段适时引导学生在最近发展区内“跳一跳”.

【评析】在中考复习中，通过“中考链接”环节，使学生认识到中考试题的来源，从而重视对教材上题目的研究，通过对教材中关联题的重组、归类、链接，实现由“量”的训练向“类”的转变.

上述三点可适时穿插在中考复习的不同阶段，比对、辨析是“悟”的前提，这样做能使学生思维活跃、全面且严谨.求知的路上需要这种品质，这种习惯的养成，又会为我们的生活、工作带来潜移默化的影响.