尹丽

摘 要：数与形是数学中两个最古老、最基本的研究对象。它们在一定条件下可以相互转化。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，将抽象思维与形象思维结合起来，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，达到优化解题途径的目的。

关键词：数形结合；相互转化；优化解题

解选择题和填空题时，数形结合有直观、简单、快捷等特点。而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，图形只是辅助手段，最终要通过“数”写出完整的解答过程。

一、在集中应用数形结合思想

七、在几何概型中应用数形结合思想

例7：如图7所示，甲、乙相约7：00-8：00在某地会面，假定每人在这段时间内的每个时刻到达会面地点的可能性是相同的，先到者等20分钟后便离去，则两人能会面的概率为多少？

解：在平面上建立平面直角坐标系，直线x=60，直线y=60，x轴，y轴围成一个正方形区域G。设甲7时x分到达会面地点，乙7时y分到达会面地点，这个结果与平面上的点（x，y）对应，于是试验的所有可能结果就与G中的所有点一一对应，由题意知，每一个试验结果出现的可能性是相同的，甲、乙两人能会面，当且仅当他们到达会面地点的时间相差不超过20分钟，即|y-x|≤20，x-20≤y≤x+20，因此，图中的阴影区域g就表示“甲、乙能会面”。容易求得g的面积为602-402=2000，G的面积为3600，由几何概型的概率计算公式，“甲、乙能会面”的概率P（甲乙能会面）=g的面積/G的面积=5/9。

数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，其关键是代数问题与图形之间的相互转化。数形结合可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意以下三点：

第一，必须弄清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义，又分析其代数意义。

第二，恰当设参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化。

第三，正确确定参数的取值范围。

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