李彦

摘要：在工程实际应用中，对问题进行数学建模是不可缺少的环节。探讨提高小车运动平稳性的方法与措施，解决影响小车运动的平稳、运动换向机构、驱动及周期性转向等关键性问题，不但提高了小车的运动精度，而且也确定了小车的结构参数及总体设计方案。为简化小车行走轨迹的求解过程，采用数值迭代法建立基于斜盘机构的节能环保小车的数学模型。考虑小车存在不可避免的安装误差的情况下，利用微元法对模型进行求解分析，并通过MATLAB软件对小车的行走轨迹进行仿真。

Abstract： In the practical application of engineering， mathematical modeling of problems is an indispensable link. The methods and measures to improve the stability of the trolley movement are discussed， and the key problems affecting the smooth movement， motion reversing mechanism， drive and periodic steering of the trolley movement are solved， which not only improves the movement precision of the trolley， but also determines the structural parameters and overall design of the trolley. In order to simplify the solution process of the trolley's walking path， a numerical iterative method is used to establish a mathematical model of the energy-saving and environment-friendly trolley based on the swash plate mechanism. Considering the inevitable installation error of the trolley， the model is solved by the micro-element method， and the walking path of the trolley is simulated by MATLAB software.

关键词：数值迭代；斜盘机构；MATLAB；行走轨迹

Key words： numerical iterations；swash plate mechanism；MATLAB；walking path

中图分类号：U270 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2018）32-0114-02

0 引言

节能环保小车，是指根据能量转换原理，通过一系列机构的运动转换，将重力势能转化为小车的动能，实现小车行进过程中的预定动作。转向部分控制小车行走轨迹，如何实现小车自动转向，并使小车周期性转动，精确的完成预定轨迹，以尽可能多的避开障碍物是关键所在。凸轮机构能实现小车的轨迹控制，但凸轮轮廓加工比较困难，尺寸不能够可逆的改变，精度也很难保证，重量较大，效率低，能量损失大。连杆机构，虽便于润滑，制造方便，能获得较高精度。以曲柄摇杆为例来说，结构较为简单，但有一个滑动摩擦副，传动效率低，且其急回特性决定其难以设计出较好的机构[3]。

文中采用基于斜盘机构的无碳小车，结构简单、紧凑、设计方便，能较精确的完成小车预定轨迹，弥补了采用凸轮机构以及连杆机构的不足，可通过MATLAB编程对其行走轨迹进行可视化。

1 整体结构设计

小车主要有车板、前轮、后轮、齿轮组、斜盘、方向导杆、重物、细线等组成。重物通过细线驱动后轮转动，后轮通过齿轮组将动力传递给斜盘机构，斜盘机构通过与前轮转向轴相连接的方向导杆作用，最终带动前轮的转向。为实现小车灵活的转向，小车两个后轮的设计，采取一轮转动，一轮随动的方式，以减少转向过程中后轮与地面间的摩擦损耗，具体要求有以下几点：

①要求后轮驱动没有差动驱动；

②前轮转角必须满足： （1）

③曲线周长应为后轮周长的合理倍数来保证转向机构的周期性；

④为保证小车在行进过程中，行走距离足够远，在结构设计过程中，小车整体重量应较轻，传动链应尽量短，以减少行进过程中的能量损失。此外，小车在行进过程中还需保持较低的速度。

2 行走轨迹模型建立

由于小车前轮是连续摆动的，所以小车在行进时前后轮存在如下几何关系如图1所示。设小车行走轨迹曲线方程为y（x），车的长度为L，前轮转动的曲率半径为r2，后轮对应的曲率半径为r1，则其函数关系为：

2.1 斜盘与导杆作用关系分析

设盘与轴的水平中心线夹角为？酌，斜盘转角为？琢1，斜盘半径为R1，后轮半径为R，相应的后轮转过的角度为？渍，有构股定理得：

2.2 利用微元思想分析小车后轮运动

假设小车的后轮半径为R，当在小车行走轨迹为sm时后轮转过的角度满足 ，即有：

斜盘旋转一周对应的小车行走的弧长：

此时对应的斜盘转动的角度为 。依次类推下去，可得小车预定轨迹。

3 行走轨迹仿真及其可视化

3.1 小车防侧翻校核计算

有几何关系可得：

则： ， 其中：r1为前轮转弯半径，r2为重块转弯半径，r3轮轴中心转弯半径。

3.2 小车行走轨迹仿真

任意時刻小车运动轨迹如图4。

设小车两后轮间距W，前后轮间距为L，后轮速度瞬心点的半径为？籽，前轮和小车轴线夹角？琢0，小车初始坐标（x0，y0），传动比为n。当小车在任意位置时，后轮转过？茁i-1，小车前轮偏转？琢i-1，在下一个时刻，小车以o为速度瞬心转过d？茁i，前轮转过d？琢i，弧长AB为ds，将弧长ds分别投影到X轴，Y轴上可得：

运用迭代的方法求坐标：

画出（x，y）曲线，即可得到小车后轮中心的曲线方程。

4 结论

在对基于斜盘机构的节能环保小车进行精确数学建模的基础上，利用MATLAB强大的科学分析计算功能和函数的可视化功能，采用适当的方法，对小车行走轨迹进行分析，实现小车在以固定周期内行走轨迹的仿真，也进一步阐述了在实际工程应用当中数学建模的重要性。

参考文献：

[1]孙恒，陈作模，葛文杰，等.主编.机械原理[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]尹泽明，丁春利等主编.精通MATLAB 6[M].北京：清华大学出版社，2002.

[3]陈海卫，张秋菊，等.数学建模—大学生工程训练的重要环节[C].无锡职业技术学院学报，2011.

[4]濮良贵，纪名刚等主编.机械设计8[M].北京：高等教育出版社，2005.