董栗

【摘 要】 数形结合一种重要的数学思想。通过数形结合，使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而便于找到简捷的解题思路，使问题得到圆满的解决。

【关键词】 数形结合；高中数学；运用

一、数形结合的基本思想

高中数学研究的对象包含两部分，一部分是数，一部分是形，我们把数和形的联系称为数形组合。数与形的结合是基于数学问题中条件与结论之间的内在联系，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。有助于学生们去了解和把握数学问题的实质，并且运用数形结合思想，使一些难题、怪题变得简单易懂，拓展解题思路。

二、数形结合的主要途径

（1）以数助形，即用代数方法研究几何问题。这种类型的问题一般是把图形坐标化。例如平面解析等问题中“数”对图形的研究。

（2）以形助数，即根据代数式的结构特征，构造出与之相对应的几何图形，用几何方法来解决代数问题。

（3）数与形的结合，即用数字来研究形，用形来研究数字，相互结合，使问题变得直观简单。

三、数形结合思想解决的问题

1. 集合问题：通常指在求解集合的运算、集合之间的关系时，借助韦恩图、数轴、平面直角坐标系等图形，建立方程、不等式等求解。

2. 函数问题：利用数形结合求解函数问题，关键是对已知条件进行等价转化，画出准确的函数图像，再利用函数的性质求解。

3. 方程和不等式：在处理方程根或零点的问题，把根或零点看做函数图像交点的横坐标；处理不等式问题时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，分析其几何意义，从图形思维解决问题。

4. 三角函数：在考查三角函数的所有性质或比较三角函数值的大小等问题中，通常借助于单位圆或三角函数图像来处理。

5. 线性规划：即在已知可行域求目标函数的最值的问题。在图形上寻找思路恰好就体现了数形结合思想。

6. 数列：数列是一个特殊函数，数列的通项公式和前n项和公式可以看作是正整数n的函数。

7. 解析几何：在解题中通过画出解析几何图形，利用图像的直观性达到解决解析几何问题的目的。

8. 立体几何：借助立体几何中的图形，利用立体几何的公理、定理、性质与公式等来解決立体几何问题，这种办法适用于利用几何体的结构特征进行相关的证明与求解的问题。

9. 向量或复数：利用向量或复数的几何意义，将二者相互联系起来，使有关问题更加方便地加以解决。

四、数形结合的注意事项

（1）数形结合时要遵循等价性原则、图形互补原则，这是数形结合的前提。

（2）数与形是相互制约，相互依赖的，在数形转化过程中切不可无中生有。

（3）作图时要尽量准确的画出函数图像，必要时还需要对图形的直观分析给出严密的推理。

（4）数与形的结合具有直观形象的特点，但不能代替具体的操作和证明。

【参考文献】

[1] 周爱华. 数形结合的几种方式[J]. 考试周刊，2017（18）.

[2] 岑茜，高明. 数与形，结合与深入[J]. 数学学习与研究，2017（5）.