贾随军，王尚志，吕世虎，郭玉峰



中小学生奥数学习的现状调查研究——以“北京市”“兰州市”“重庆市”为例

贾随军1，王尚志2，吕世虎3，郭玉峰4

（1．浙江外国语学院 教育科学学院，浙江 杭州 310012；2．首都师范大学 数学科学学院，北京 100037；3．西北师范大学 教育学院，甘肃 兰州 730070；4．北京师范大学 数学科学学院，北京 100875）

只有对中小学生奥数学习的现状进行深入研究，才能评估它对青少年成长产生的影响，才能引导民众理性认识奥数，同时为政府制定奥数方面的相关政策提供研究基础与参考建议．以自编的中小学生奥数学习调查问卷、访谈提纲及课堂观测表为研究工具，在北京市、兰州市、重庆市的初一、高一学生及家长中进行调研．研究发现：中小学生奥数学习与奥数的本真相背离，奥数学习已演化为应试教育的第二战场．在此基础上，分析了小学生大面积参与奥数的根源，提出了引导学生理性参与奥数学习的建议．

奥数学习；调查；中小学生

1 问题提出

数学奥林匹克（以下简称奥数）是指以数学为内容，以中小学生为对象的国际或国内竞赛活动，竞赛的知识点与水平常常超越基础教育数学教学大纲或数学课程标准规定的内容与要求．奥数的倡导者华罗庚等人希望奥数能够培养学生兴趣、开阔学生视野，促进人才发展，推动中小学数学教学改革．20世纪80年代以后，针对中小学生的奥数在全国范围内相继举办．为了使中小学生在各类奥数中获得理想的成绩，有针对性的训练、培训已成为常态，奥数已经由一个单纯的竞赛活动逐渐演变为以竞赛为目的的教育教学活动．

然而，奥数自产生之日起，对它的担心、质疑与辩论就从未停止过，华罗庚在1956年就说过：“这一工作会不会打乱学校的工作呢？会不会影响全面发展的原则呢？做得不好是有可能的．”1992年8月，在加拿大举行的第七届国际数学教育大会上，有场事先精心组织的关于奥数的辩论，有不少人对奥数持否定态度，主要理由是：数学竞赛只面对少数天才儿童，会忽视大多数儿童，过早的专业兴趣会妨碍全面发展，竟赛题多为偏怪难题，与日常数学教学脱节等[1]．近年来，来自不同群体、不同方面的专家针对奥数发表了各种不同的观点和看法，其中以批评的意见居多．教育部和地方教育主管部门采取了严厉的措施给奥数降温，但奥数热往往在暂时的遇冷后马上回温．这就需要理性地分析中小学生参与奥数学习的现状，在此基础上，才有可能进一步探讨奥数屡禁不止的深层原因．才能评估它对基础教育、青少年成长产生的影响，才能引导民众理性认识奥数，同时为政府制定奥数方面的相关政策提供研究基础与参考建议．

2 文献综述

国内对奥数教育的研究开始于20世纪90年代，研究主要集中于以下3个方面：（1）奥数的教育价值．罗增儒（1996）[1]、孙瑞清（1994）[2]、张维忠（2004）[3]、朱华伟（2007）[4]等学者认为奥数的教育价值表现为：发现和培养数学人才，激发学生数学学习兴趣，开发学生智力，提高数学能力，培养学生创造能力等．但游安军（2009）[5]认为奥数的教育价值被泛化了，这种泛化表现为奥数教育价值扩大化，教育价值主体扩大化．孔企平（2004）[6]、周玲（2010）[7]、胡松林（2004）[8]等学者还列举了奥数的“负价值”：大面积、低龄化的奥数训练违反学生的认知规律；加重学生的负担，不利于学生的全面发展；培训目的的异化阻碍学生数学思维的发展；奥数难题与学生数学学习兴趣相冲突等．（2）奥数问题的特征以及奥数的教学．沈文选（2002）[9]等学者认为，奥数问题的特征为新异性与选拔性，开放性与探究性，背景性与前沿性，艺趣性与竞技性．奥数的教学要注重学生学习兴趣的激发，学习主动性的提高；师生、生生之间的交往与合作等．（3）对奥数教育现状的反思及研究．孔企平（2004）[6]分析了目前奥数教育现状的几个特点：大面积培训、低龄化、产业化；周玲（2010）[7]分析了奥数热的缘由：择校、加分或面试入学的需求；提高数学成绩的需求；教育资源不均衡等．

通过已有文献的梳理发现，对于奥数的教育价值，不同学者得到了完全不同的观点，一类学者肯定了奥数的正面价值，而另一类学者则揭示了奥数的负面价值．为什么对于同一个问题会有完全不同的观点？教育工作者必须思考，奥数的培训、教学经过多年的发展，它是否还是原来的奥数（应然状态的奥数）？奥数的应然状态与实然状态是否一致？如果说奥数的应然状态与实然状态不一致，那么，两类学者都在谈奥数的问题，但他们谈的奥数可能完全是两个不同的对象．要回答此类问题，实证的奥数学习现状研究必不可少．然而学术界对中小学生奥数学习现状的研究还比较欠缺．

3 研究设计

3.1 样本的选取

3.1.1 问卷调查样本的选取

从东部发达城市北京、西南部较发达城市重庆以及西北部欠发达城市兰州3个城市选取调查样本，由于初一学生升入初中时间短，相对于初中其他各年级学生来说，对其整个小学阶段奥数学习的经历有较好的记忆，同样，高一学生对其整个初中阶段奥数学习的经历有较好的记忆．因此样本均来自3个城市的初一及高一学生．

在每个样本城市中，先随机抽取两个区，然后在该区中按随机抽样的方法各抽取一所示范性初中及一所示范性高中，再按随机抽样的方法选取两所普通初中及两所普通高中．在每个样本学校中，随机抽取一个班的学生作为最终的学生样本．

在3个城市的24所学校的24个班级中共发放问卷1 310份，回收问卷1 208份，回收率为92%，其中有效问卷1 124份，有效率为86%．

3.1.2 访谈样本的选取

在24个样本班级中，每个班级分别选择两名学生及两名学生家长进行访谈，共访谈学生48名，家长48名．

3.2 研究工具

研究者在兰州市、重庆市、北京市对部分中小学生就奥数学习情况进行了开放式及半结构化问卷访谈，在此基础上构建了现状评估的5个维度，它们分别是：（1）中小学生奥数学习的参与率；（2）中小学生奥数学习的主要时段及时长；（3）中小学生奥数学习的原因及目的；（4）中小学生奥数学习的教学方式；（5）中小学生奥数学习的效果及影响．围绕这5个维度编制“中小学生奥数学习调查问卷”初稿．

问卷初稿完成后，在3个样本城市选取了部分初一及高一的学生进行试测，依据试测结果对相关问题和选项进行修改、补充和完善，最终形成自编问卷“中小学生奥数学习调查问卷”，由于自编问卷是非量表式问卷，为了考察问卷的信度与效度问题，课题组专门召开了教育专家及数学教育专家组成的论证会，经过专家论证，对问卷又做了一些修改，专家们认可了问卷的信度与效度．问卷调查结束后，利用SPSS19.0对问卷进行分析．

除编制调查问卷外，还围绕5个维度自编了半开放型访谈提纲，对48名中小学生及48位学生家长就中小学生奥数学习现状进行深入访谈．

为了更全面收集数据，以“中小学生奥数学习的教学方式”为观测视角，编制了奥数课堂观察表，在兰州、北京、重庆分别观摩了4节奥数课．

4 研究结果

4.1 中小学生奥数学习的参与率

被调查的有效样本为1 124个，其中参加过奥数学习的样本为707个，总体参与率为63%．表1显示，在学过奥数的707人当中，最终有598人放弃了奥数的学习，放弃率高达85%，绝大多数学生在升入初中后就不学奥数了．至于放弃奥数学习的原因，访谈发现有“不喜欢奥数”“跟不上奥数的进度”“影响其它课程的学习”“学了一段时间后发现效果不好”“升入中学后没有时间与精力再学习奥数”等，虽然原因众多，但对奥数学习不适应或认为效果不理想是最为本质的原因．表2表明，很适应奥数学习的比例仅有15%左右，不适应的比例达到35%．

表1 中小学生奥数学习参与率总体情况

表2 中小学生对奥数学习的适应性

4.2 中小学生奥数学习的时段及时长

调研发现，中小学生的奥数学习呈现低段化的态势，在参与奥数学习的中小学生当中，一年级就开始奥数学习的比例达到10%左右，从小学二年级到小学四年级，每年新增比例大约20%~25%，到小学四年级时，86%的学生参与到奥数学习的行列中．72%的中小学生学习奥数的时段集中在小学四~六年级，90%左右的奥数学习者主要是在小学阶段参与奥数学习．在对学生及家长的访谈中了解到，有个别学生从幼儿园开始就已学习奥数．虽然中小学生很早就参与到奥数的学习中，但他们的学习时间并不长，将近70%的学生学习时间没有超过3年．奥数学习的这种状况可概括为“早参与，快退出”．

表3 “您父亲的学历”*“是否学奥数”交叉制表

4.3 中小学生奥数学习的原因及目的

表4显示，对于“中小学生奥数学习的原因”，选择“父母要求我学”“从众心理，别人学，自己也学”“学校老师要求我学”的样本比例分别高达54%、30%及18%，而选择“喜欢数学”的比例是37%．

通过对一个六年级学生家长的访谈发现，小学考奥数也是中小学生学习奥数的一个重要原因．

小孩的数学试卷上常常有20分的拓展题（或叫聪明题），但我小孩的得分一般都是8~12分，这些拓展题目都比较困难，一般都是奥数的内容，由于学校数学考试中拓展题的得分不高，就萌生了学习奥数的想法……

大多数中小学生的奥数学习通常是家长意愿、老师意愿的体现，是基于现实压力所做出的一种无奈选择，这种选择具有很大的被动性甚至盲目性．

表4 中小学生学习奥数的原因

从表5发现，关于“中小学生学习奥数的目的”，选择“提高数学成绩”的样本比例高达65%，在中小学生及其家长们看来，奥数学习是提高数学成绩的重要手段．而选择通过奥数竞赛进入理想的初中、高中或大学”的样本比为38%．

相当一部分中小学生及家长们迫于学习成绩激烈竞争的现实，他们无暇顾及更长远及更重要的目标，诸如“提高对数学的兴趣”“提高自学能力”“提高自信心与意志力”，等等．

表5 中小学生学习奥数的目的

4.4 中小学生奥数学习的教学方式

表6显示，“记住老师讲解的结论并利用结论解题”“记住老师讲解的题型并进行同类型题目练习”是中小学生奥数学习的最主要方式，相比较而言，在奥数教学中“动手操作”“与同伴交流解决问题”的机会要少很多．从表7可以看出，教师最关注的方面排在前3位的分别是“学生通过练习掌握自己所教的方法”“学生对数学结论的记忆”“学生的解题速度”．

研究者还调查了两个问题“在奥数的教学中，老师是否常常让你记住一些结论？”“奥数老师让你记住的结论，他（她）讲解过它们的来龙去脉吗？”对于第一个问题，有72%的样本应答了“是”，对于第二个问题，仅有45%的样本认为“基本都讲过”，这说明学生对于数学结论的获取并没有建立在推理和理解的基础之上，而主要依靠识记．综上分析，奥数教学的基本现状是知识点识记与题型练习，属于典型的应试教育，学生的学习依然比较被动，主要是教师输出信息，学生接受信息，师生之间的双向交流，生生之间的相互交流不足．

表6 中小学生学习奥数的方式

表7 中小学生奥数学习中教师最关注的方面

表8显示，中小学生的奥数学习，最不适应的方面，排在第一位的是“不会做奥数题”，说明奥数学习确实具有一定的挑战性，并非所有学生都能胜任；排在第二、三位的分别是“记不住老师讲过的结论”及“很少有机会向老师请教问题”，“记不住老师讲过的结论”正好印证了奥数教学的基本现状是知识点识记与题型练习，“很少有机会向老师请教问题”也正好印证了奥数教学缺乏师生之间的双向交流．

表8 在奥数的学习中你不适应的方面

4.5 中小学生奥数学习的效果及影响

表9显示，有将近三分之一的奥数学习者选择了“奥数学习很努力，但学习效果不好”，不管努力程度如何，奥数学习效果不好的占到了55%左右．这恰恰说明并不是每一位学生适合学习奥数．

表9 中小学生奥数学习效果的自我评价

表10 “奥数学习时间”*“奥数学习效果”交叉制表

调查发现，有超过60%的奥数学习者认为奥数有一些负面影响，如增加了身心负担，影响其它课程的学习，降低数学学习的自信心等．73.4%的奥数学习者明显感觉到了奥数学习的压力，76%的奥数学习者有挫折感，70%的奥数学习者认为对数学的兴趣并没有提高．

关于奥数学习效果及影响，研究者进行了个案访谈，访谈中，北京市一位高二学生的妈妈对她小孩的奥数学习情况进行了回顾．

我姑娘从三年级开始学习奥数，一直到小学毕业．学奥数的目的当然是为了择校．我姑娘的奥数学习可以用苦不堪言来形容．她每周上两次奥数班，还有一次奥数家教的一对一辅导，她在小学时数学语文考试成绩都非常的好，一般都是95分以上，有几次还出现过双百．但奥数的成绩就没理想过，刚开始60多分，到后来不及格，再到后来也就30多分．逐渐地她对奥数学习毫无兴趣，甚至对学校内数学的学习也打不起精神．奥数的学习极大地打击了她的自信心，整个初中阶段，她总是不够自信，对学习似乎不是很感兴趣．总之，奥数给她带来了不小的负面影响，最主要的就是她失去了自信．

该个案充分说明奥数学习并不意味着一定就能增加学业竞争的资本，也并不意味着一定就能提高数学成绩．

5 结论与思考

5.1 中小学生奥数学习与应然状态的奥数相背离

奥数本来的目的是选拔数学人才，激发学生数学学习兴趣，推动数学的教学改革[10]．但研究发现，学生选择奥数的主要目的是择校以及提高数学成绩，学生的选择往往是被动的，是迫于家长的压力或老师的压力做出的一种无奈的选择，因此，奥数学习从一开始就忽视了兴趣因素．奥数培训机构迎合了择校以及提高数学成绩的目的诉求，使得奥数完全成为应试教育的第二战场．

从教学内容上看，奥数的内容往往是高等数学或初等数学的研究成果经过“初等化”“特殊化”“具体化”“通俗化”等途径得来的，它是现代数学或高等数学与初等数学联系的桥梁，但它决不就是现代数学或高等数学本身，也决不是“超前学”[1]；另外，奥数题目应当具有新异性、开放性、探究性、背景性等特征[9]．但实然状态的奥数教学中，教学内容就是超前学，访谈中，一位六年级的小学生说“奥数的学习内容就是小学一二年级学学校数学三、四年级的内容，三四年级学学校数学五六年级甚至初中的内容”；奥数课堂中练习的题目都是与教师所讲例题同类型的题目，基本不具备开放性、探究性等特征．

从教学方式上看，应然状态下的奥数教学既要强调学生的独立思考，又要强调师生及生生之间的相互交流，凸显学生学习的主动性，彰显学生的个性．尤其是那些极具天赋的学生，他们的思维方式及解题途径往往是独特的．因此，奥数教学一定是满足学生个性的教学．卢克欣是俄罗斯极富盛名的奥数教练，他的学生获得了七十多块奥数奖牌，其中包括四十多块金牌，他的学生中就有俄罗斯天才数学家佩雷尔曼．卢克欣的教学方式很简单，每个孩子走到卢克欣的桌子旁，解释他的解题思路，讨论他的成功之处、遇到的困难及犯下的错误[11]．中国数学奥林匹克主教练单墫教授指出，“教练的一个重要作用是引导学生讨论．”但培训机构的奥数教学以知识点识记与题型练习为基本教学方式，对学生的独立思考与相互交流不能说是完全忽视，但至少关注不够，学生的学习具有较大的被动性，个性的彰显成为空谈．

从参与对象看，奥数的主战场是中学[1]，许多数学家不赞成小学生参与奥数的学习，王元先生就明确地表示“小学生应该多玩玩，不要搞什么比赛”[12]．但目前小学生成为奥数学习绝对的主力军．

目前实然状态的奥数不管从目的、教学内容、教学方式、参与对象上讲，都已与应然状态的奥数相背离．

5.2 大多数中小学生的奥数学习是非理性的

中小学奥数尤其是小学奥数学习主要是“超前学”，因此，中小学奥数教育带有明显的超前教育色彩，超前教育对少数孩子可能适合，而对绝大多数孩子来说是行不通的，孩子的认知发展以情感、意志、个性的发展为代价，孩子的眼前发展以长远发展为代价．卢梭在《爱弥儿》中曾说：“大自然希望儿童在成人以前就要像儿童的样子．如果我们打乱了这个次序，我们就会造成一些早熟的果实，他们长的既不丰满也不甜美，而且很快就会腐烂，我们将造成一些年纪轻轻的博士和老态龙钟的儿童．”[13]

还有一些家长可能迫于学业竞争的极大压力，不顾及奥数的一些负面影响，单纯为了提高孩子数学学习成绩而选择让孩子参与奥数的学习．奥数教学本来的对象是具有数学天赋和对数学有极大兴趣的学生，对这部分学生来说，奥数就是其数学潜能的激发器及助推器．但如果一个学生对学校所学数学都感到困难，那么奥数的内容很可能已超越其“最近发展区”，这时奥数的学习不但不会促进数学的学习，而且可能会影响并阻碍其数学的学习．

奥数常常呈现一些特殊的问题，追求一些特殊的方法，而学校中的数学则追求建立一般的理论及方法[9]．用一些特殊技巧及方法解决一些特殊问题无助于数学基础知识及基本技能的掌握，无助于学生数学知识网络体系的构建．当然，不能说数学中解决一些特殊问题，探寻一些特殊方法没有意义，相反，从某种程度来讲，它具有数学发现的基本特性，但数学发现不是靠知识点讲解与题型练习所能获取的，它是学生个体深入思考及生生、师生相互启发相互交流的结果，数学发现往往带有鲜明的个性特征．而目前中小学生的奥数学习具有较大的被动性，学生的个性不能得以彰显．

奥数教学对教师的要求是非常高的，奥数教师至少经历或体验过数学发现，否则他不可能去启发、引导、帮助甚至鉴别学生的创造性工作（即数学发现）．现实中，社会办学机构聘请的奥数教师良莠不齐，有数学发现经历与体验的教师并不多见．

孩子在校学习是否轻松，是否学有余力，是否对数学感兴趣，是否有数学方面的天赋，是否能经得起挫折，是否有超强的毅力？培训机构的师资是否达到奥数教学的水准？这些都是家长们在权衡自己的孩子是否参与奥数学习时需要认真考虑的因素．因此，参与奥数学习要慎重，既要分析自己孩子的实际情况，也要细致地考察奥数班的师资及教学情况．但目前奥数的参与率达到了63%左右，这是一个非理性参与奥数学习的结果．

5.3 小学生大面积参与奥数的根源与解决思路

数学家王元认为奥数的参与者重点应是中学生，特别是高中生，但事实上，参加奥数学习的主体是小学生，那么小学生大面积参与奥数学习的根源是什么？

从问卷调查及访谈发现，“择校”及“提高数学成绩”是中小学生参与奥数学习的最主要目的．有些家长希望孩子通过奥数敲开优质初中的大门，这就是以奥数为手段的直接择校；还有些家长希望孩子通过奥数提高学业成绩，这是以奥数为手段的间接择校．但目前的小升初基本都采用对口小学免试入学的方式，择校的难度极大，择校成功的比例极低，但学生及家长们怀揣着百分之一的希望，付出百分之百的努力，希望通过奥数直接或间接地敲开优质初中的大门．

家长及学生们的终极目标是“好工作”，“好工作”意味着个体处于社会阶层的中上层．社会阶层与教育阶层之间具有一定的对应性，正因为这种对应性，巨大的就业压力提前转化为教育压力．提高社会阶层内部，特别是教育阶层内部的流动性，使教育阶层内部的流动呈现网状的结构而不是单一的线性结构，或许会降低家长及学生们的教育焦虑，会降低家长们对奥数的非理性热情．教育阶层内部网状结构的形成意味着教育选择机会的增加，如，鼓励私立中小学的发展就可以为学生们提供更多的教育选择的渠道．教育选择权的刚性取缔、强制性的就近入学政策并没有降低家长的教育焦虑，也没有减轻学生的学业负担，并不能保证教育机会的均等[14]．

社会层面，唯文凭是瞻，唯名校是瞻的人才选用体系，教育层面，以知识为重，以智力为重的人才教育体系，是小学生大面积参与奥数的另一根源．在“唯知、唯智”的评价体系下，如果要对小学生要分出层次来，只有增加知识的难度，这时候奥数就登台亮相了．如果能够建立科学而全面的人才选用体系及学生评价体系，同时公办学校拥有更多的办学自主权，那么公办学校的多元发展将成为可能，多元化的教育需求将得到一定程度的满足，优质教育资源的供给压力将逐渐降低，这将有助于降低家长及学生们的教育焦虑，有助于缓解小学生大面积参与奥数的问题．

5.4 研究不足与展望

调查问卷中有不少问题的选项属于名义选项，这为从量化层面考虑问卷的信度与效度带来了困难．这是研究的不足之处．另外，奥数学习对学生产生了哪些比较持久的影响，有待确定一些典型样本，对其进行较长时间的跟踪研究．

[1] 罗增儒．论中国数学竞赛的教育性质[J]．数学教育学报，1996，5（3）：71-74．

[2] 孙瑞清，胡大同．奥林匹克数学教学概论[M]．北京：北京大学出版社，1994：53-57．

[3] 张维忠．数学“奥赛”：价值、问题与对策[J]．全球教育展望，2004，33（5）：73-76．

[4] 朱华伟．试论数学奥林匹克的教育价值[J]．数学教育学报，2007，16（2）：12-15．

[5] 游安军．如何正确认识“奥数”的教育价值[J]．数学教育学报，2009，18（5）：69-71．

[6] 孔企平，张晓玲．从学生数学学习的规律看“奥数”热[J]．全球教育展望，2004，33（5）：70-80．

[7] 周玲．数学竞赛在中国的实践质问其教育价值[J]．数学教育学报，2010，19（5）：28-30．

[8] 胡松林．择校与奥数现象的思考[J]．全球教育展望，2004，33（5）：77-80．

[9] 沈文选．奥林匹克数学研究与数学奥林匹克教育[J]．数学教育学报，2002，11（3）：21-25．

[10] 王元．数学竞赛之我见[J]．自然杂志，1990，13（12）：787-790．

[11] 葛森 M．完美的证明[M]．胡秀国，程姚英，译．北京：北京理工大学出版社，2012：25-29．

[12] 裘宗泸．数学奥林匹克之路——我愿意做的事[J]．中学数学，2009（8）：48-49．

[13] 卢梭．爱弥儿（上）[M]．李平沤，译．北京：商务印书馆，2015：101．

[14] 文东茅．我国城市义务教育阶段的择校及其对弱势群体的影响[J]．北京大学教育评论，2006，4（2）：12-23．

Investigation on the Status of Study on Olympic Mathematics of Primary and Middle School Students——Take Beijin, Lanzhou, Chongqing as Examples

JIA Sui-jun1, WANG Shang-zhi2, LV Shi-hu3, GUO Yu-feng4

(1. Educational Institute, Zhejiang International Studies University, Zhejiang Hangzhou 310012, China; 2. College of Mathematics Science, Capital Normal University, Beijing 100037, China; 3. Educational Institute of Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070, China; 4. School of Mathematical Science, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

The status of study on Olympic mathematics of primary and middle school students was explored for the purpose of evaluating its influence on juvenile’s development, guiding people to have rational opinion on Olympic mathematics, providing reference suggestion for formulating policy about the study on Olympic mathematics of primary and middle school students for government. By means of questionnaire, interview and Classroom observation, Some seven-year students and ten-year students and their parents were studied in Beijing, Lanzhou and Chongqing. As the result showed, the study on Olympic mathematics of primary and middle school students aimed at getting higher score in test, and its essence was far from Olympic mathematics. Based on this，the source of most primary students participated in studying on Olympic mathematics was examined, some suggestion was formulated such as counterpoising education resources, increasing opportunities of educational choice, establishing evaluation system for scholastic achievement of primary and middle school students.

study on Olympic mathematics; questionnaire; primary and middle school students

2018–01–15

浙江外国语学院教改项目——现代学徒制下师范生教育实践能力培养模式及机制研究

贾随军（1974—），男，甘肃通渭人，副教授，主要从事数学教育与近现代数学史研究．

G420

A

1004–9894（2018）03–0097–06

贾随军，王尚志，吕世虎，等．中小学生奥数学习的现状调查研究——以“北京市”“兰州市”“重庆市”为例[J]．数学教育学报，2018，27（3）：97-102．

[责任编校：周学智]