梅正阳



美国MCM/ICM特等奖论文对大学数学创新教育的启示

梅正阳1，2

（1．华中科技大学 数学与统计学院，湖北 武汉 430074；2．华中科技大学 工程建模与科学计算湖北省重点实验室，湖北 武汉 430074）

中国高等学校大学数学教育以知识点、理论推导和计算方法为主，侧重应试教育，在创新性教育方面存在明显不足，采用对比分析方法，介绍了美国大学生数学建模竞赛的发展过程，对照分析了中美特等奖论文的创新点和思维特色，得到了大学数学创新教育的几点启示，并提出了努力方向．

美国大学生数学建模竞赛；特等奖；创新教育

1 美国大学生数学建模竞赛发展的3个主要阶段

在美国大学生数学建模竞赛产生之前，有一个著名的“普特南数学竞赛”即The William Lowell Putenam Mathema- tical Compitition[1]．普特南数学竞赛始于1938年，其最初的命题原则是“以审慎的态度拟定涉及微积分、解析几何和初等力学标准教程的重点问题，强调对于教材细节充分、准确、清晰的掌握”，学生以个人形式参赛，完全闭卷，这显然是一种课程综合和提升性的测试．第二次世界大战后，命题原则被修改成“不太强调对于标准教材的完全和熟练掌握，而更加注重逻辑分析和逻辑推理能力”，即开始重视竞赛能力．到20世纪60年代，对参赛选手的能力要求进一步提高，赛题除了增加微分方程内容外，还涉及数论、集合论、群论以及算法等内容，竞赛考试分为两场，上午A试6道题，下午B试6道题，各3小时，有着比较浓厚的纯数学意味，使得普特南数学竞赛具有培养数学家的功能．事实上，包括菲尔兹奖得主米尔诺、奎伦等，诺贝尔奖得主费曼、威尔逊等许多杰出人物都曾经是普特南数学竞赛的获奖者．正是由于纯数学的特征，使得参赛学生得分很低（满分120分），大约一半的学生只能得1分或2分，还有不少学生得零分，甚至有许多参赛学生根本未动笔．

美国数学建模竞赛的创始人B. Fusaro对普特南数学竞赛的赛题缺乏实用性、赛题难度大、竞赛中不使用计算机、学生参赛热情不高的现象进行反思．他发现相当多的美国大学生对数学在实际中的应用非常感兴趣，使用计算机的能力也很强，于是在1980年代初，B. Fusaro向美国教育部提出设立数学模型竞赛机制，鼓励大学生以小组的形式参赛，共同解决具有实用背景的数学建模问题．1984年美国教育部批准了B. Fusaro申请的基金项目，从而使得MCM在1985年正式举行[1]．

1.1 初创期（1985—1987）

美国大学生数学建模竞赛初创期的名称为Mathema- tical Competition in Modeling，简称MCM，也有人称其为“应用版”普特南数学竞赛，1985年举办了第一届竞赛．

初创时期的数学建模竞赛以Mathematical Competition in Modeling冠名，简称MCM，竞赛以3人小组形式进行，赛题来自工程技术和管理科学等方面具有实际背景的经过适当简化的问题，共两道题，一道题与离散数学相关，另一道题与连续数学相关，参赛小组在A、B两道题中选择一题解答，竞赛过程完全开放，参赛小组在解题过程中允许使用计算机，这是与应试型考试最大的区别．此外，竞赛期间可以使用任何参考书、网上资源等，但不允许与参赛小组之外的其他人进行交流，与教练的交流也被禁止，竞赛时间为3天72小时，竞赛成果为一篇对赛题进行分析并提出解决方案的竞赛论文．由于MCM竞赛的赛题背景真实、过程开放、计算机使用等特色，使得大学生参赛积极性不断提高，参赛规模不断扩大．

1.2 成长期（1988—1999）

数学模型竞赛举办3届之后，到1988年，竞赛名称被修改为Mathematical Contest in Modeling，简称依然是MCM，中文名称也完全相同，但英文Contest一词之差，使得竞赛性质完全不一样．不同于Competition式的竞赛，竞赛时间短，成绩高度依赖于临场发挥，Contest式的竞赛时间长，更能体现小组3人合作、创新性解决问题的能力和过程，算法设计也是考查内容之一，竞赛过程中，既关注实际问题的数学建模，同时还强调数学模型的计算机编程求解，参赛小组提交的是不断修改完善的解决方案，从小组合作、数学建模、软件使用等多方面检验参赛队员的各种能力．

对MCM竞赛结果的评判，不使用百分制式的数值计分，评阅人通过论文假设的合理性、论述的清晰性、结构的完整性等，对参赛论文或解决方案划分等级，在解决完问题的基础上，鼓励学生进行模型检验、敏感性分析、优缺点讨论等．论文的创新性体现在模型建立、算法设计、检验分析等方面，竞赛设置多个级别的奖项，最高等级为Outstanding Winner，即特等奖，在特等奖基础上，还设置了SIAM、INFORMS、MAA等不同单项奖对特等奖论文进行鼓励．

1988年北京理工大学叶其孝教授在美国访问时[1]，与MCM负责人B. Fusaro商谈中国大学生组队参赛的相关事宜，1989年中国国内有部分高校组队参赛，开启了中国大学生参加国际性数学建模竞赛的旅程[2]．

1.3 成熟期（2000—今）

在美国数学及其应用联合会即The Consortium for Mathematics and Its Applications（COMAP）的组织和管理下，自2000年开始增加交叉学科建模竞赛ICM，竞赛全称Mathematical Contest in Modeling/Interdisciplinary Contest in Modeling，简称为MCM/ICM，即数学建模竞赛与交叉学科建模竞赛．MCM与ICM两项赛事同时进行，竞赛时间延长为4天4夜．其中MCM每年出两道题，即A、B题，ICM每年出一道赛题即C题．竞赛开始后，参赛小组从A、B、C中任选一题解答．每年有来自全球十几个国家的几千支代表队参加竞赛，特别是中国大学生的参赛数量不断增加，使得MCM/ICM参赛规模不断扩大，这种格局一直延续到2014年．

自2015年开始，MCM/ICM赛题增加到4个，其中A、B题为MCM赛题，C、D题为ICM赛题．到2016年，赛题增加到6个，A、B、C为MCM赛题，D、E、F为ICM赛题．赛题的开放性和前瞻性对参赛队员的动手能力和创新能力提出了更高的要求，2017年依然是6道赛题．近年出现的部分赛题涉及的部分领域如图1所示：

图1 近年出现的部分赛题涉及的部分领域

赛题内容涉及相关领域的实际问题，非常实际且具有前瞻性，对刚学完大学数学知识的大学生而言，具有极大的挑战性，解决所提出的问题已属不易，获奖更难．

2 MCM/ICM特等奖论文案例分析

2.1 棒球棒问题

棒球棒问题——2010年MCM美国大学生数学建模竞赛A题：The Sweet Spot．

该赛题要求对棒球棒上的“最佳击球点”不在棒末端的现象进行建模和解释．竞赛时共有来自全球14个国家的两千二百多支参赛队选择了MCM题，经过多名专家多轮评阅，最终有4支参赛队获得Outstanding Winner即特等奖，他们分别是来自普林斯顿大学、西点军校、浙江大学和华中科技大学的参赛队．针对研究对象棒球棒，美国普林斯顿大学参赛队获奖论文从物理和力学原理出发，对棒子受到棒球撞击进行受力分析，建立球棒局部撞击力传播的波动方程模型[3]，该波动方程的力学原理清晰，方程建立过程经典，参赛学生的创新工作主要是将波动方程离散化得到代数方程组，再利用边界条件和模型参数，对棒子受力情况和球的运动情况进行计算机模拟，获得最佳击球点位置值即Sweet Spot．华中科技大学参赛队的获奖论文没有对棒球棒进行受力分析，而是综合考虑球的击出速度和击球手击球时的舒适程度，建立综合加权指数模型，参赛者的主要创新工作是估计恢复力系数和指标标准化，将棒球击出速度和球手舒适度两大指标转换成两个指数，计算得到最佳击球点位置即Sweet Spot，此外，进一步分析各项指标变化对棒球棒最佳击球点的影响，提出了“Sweet Zone”即“最佳击球区”[4]概念，获得了评委的一致称赞，特等奖论文被授予SIAM Prize，即美国工业与应用数学学会（The Society for Industrial and Applied Mathematics）奖．

2.2 评价大学教练问题

评价大学教练问题——2014年MCM美国大学生数学建模竞赛B题：College Coaching Legends．

该赛题要求对美国近百年来的大学顶级教练进行排名，并考虑性别和时间因素的影响．共有来自全球18个国家的6 700支参赛队选择了MCM题，共有来自美国和中国的7支参赛队获得B题特等奖．美国参赛队获奖论文将球队比赛的比分结果作为已知条件，将球队实力问题转化为图论问题，通过“特征中心度”得到球队实力[5]．参赛队的主要创新工作是将球队实力拆解为教练能力和球员能力，将球队胜负能力或胜负概率表达成教练能力的函数，给出每场比赛两队比分结果出现的概率函数，由于每场比赛都在特定的年份和时间进行，因此时间因素自动融入到模型中（不需要单独讨论），利用极大似然法，得到包含球队实力、教练能力、比赛分值的非线性极值问题，计算得到教练能力分值，完成顶级教练排序．华中科技大学获特等奖参赛队与中国其他获奖参赛队都是首先给出评价教练的各项定性指标，建立综合评价模型，一方面利用现有方法得到每位教练在不同评估方法下各项指标的定量得分，另一方面利用特定方法确定各项指标的权重，最后进行综合加权，得到教练的综合得分值和排名．中国参赛队的创新工作主要体现在指标体系选择、时间因素处理、敏感性分析等方面，华中科技大学特等奖论文特色还体现在模型扩展部分，他们将对大学教练的评价模型扩展到对美国总统进行评价[6]，独特的工作获得Frank Giordano Award创新奖．

2.3 预测社会网络演化和影响问题

预测社会网络演化和影响问题——2016年ICM美国大学生数学建模竞赛D题：Measuring the Evolution and Influence in Society’s Information Networks．

该赛题要求预测社会信息网络演化及其影响，共有来自全球8个国家和地区的五千多支队选择ICM赛题，中国和美国的参赛队分享了D题的5个特等奖．一般认为，社会信息网络发展经历了报纸、收音机、TV和Internet等4个时代，现在已经进入了移动互联时代．美国获奖参赛队将新闻分成政治、宗教、娱乐等多个类型，对同类事件在不同时期进行考查；定义新闻价值，建立新闻传播扩散模型[7]，分析相同的新闻条目在不同类型社区产生的效果，创新性地设置虚拟节点，讨论新闻在两个节点间的延迟传播．

华中科技大学获特等奖参赛队将信息分为已知、未知和疲劳等3大类型，将信息传播方式分为媒体传播和社交传播，建立了多层网络传播模型．论文创新性地利用无差异曲线定义信息的内在价值函数，由Pareto规则确定价值最高的20%信息为新闻，根据媒体信息流和社交信息流的传播规则，对网络生命周期的不同阶段用分段函数表达，用网络容量的变化反映新型网络的兴起和衰退，并通过CNN新闻传播案例验证模型的合理性[8]．论文在获得特等奖Outstanding Winners同时，还获得INFORMS Prize，即The Institute for Operations Research and the Management Sciences运筹学与管理科学奖．

3 MCM/ICM特等奖论文对大学数学创新教育的启示

由于中国的教育考评体系是应试型的，主要考察学生记住了多少知识点，掌握了多少计算方法，较少关注或不关注学生获得了多少独立思考能力和解决实际问题的创新能力，上述MCM/ICM国际竞赛特等奖论文分析为中国的创新教育提供了有益的启示．

3.1 加强创新意识与联想能力的培养

美国大学生的特等奖论文真实地反映出他们具有很强的抽象能力与联想创新能力，如在解决2016年网络演化问题时，这种抽象能力和创新能力通过构造“虚拟节点”而反映出来；中国学生能借用经济学概念“生命周期”和“无差异曲线”，反映出他们具有能将不同学科知识相互借用的联想创新能力，能够从熟悉的事物中寻找创新点．因此，在大学数学课程教学中，不仅要讲授现成的知识点，更需要讲明知识点所蕴含的数学思想，讲清楚数学概念的抽象过程．只有明确了数学理论的思维过程和思想方法，才能提高联想型创新意识．中国大学生大量时间被用于解题方法和解题技巧的训练，没有时间进行独立思考，年轻人原本具有的创新空间被这种机械练习和教条模仿所禁锢和压抑．因此，在大学数学课堂上，培养大学生洞察事物本质、抽象出实际问题数学规律的能力，具有重要的意义．

3.2 注重逻辑起点与人文情怀的追问

年轻人长于讲究人与人之间的关系，也能重视人文关怀，但更应该注重人与自然之间的关系，有意识地寻找和发现事物的逻辑起点．如在解决2010年最佳击球点问题时，美国学生抓住了击球点的受力情况这个逻辑起点，学生抓住了棒球手舒适程度，对人的主观感受进行数学描述．实际上，在分析该问题时，如果能够从宏观上将球、棒、人看成是一个整体，同时从微观上分析球撞击球棒瞬间局部受力变化，从不同角度综合考虑问题，那么解决问题的效果会更好，至此中西方思维模式差异立等可见．中国曾有“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的说法，但却没有深入追问，没有产生极限思想，学生们做了大量的微积分习题，却没有真正掌握“微元法”思想，更不能将其应用于实际问题．因此，降低解题方法和解题技巧的训练比重，加强人文情怀的思考，从思想和行动上重视逻辑起点追问，是大学数学教学的努力方向．

3.3 培养逻辑解构与综合集成能力

中国的学生都有系统化和整体化考虑问题的习惯，但却缺少反向思维意识和逻辑分解能力．如在解决教练评价问题时，美国学生能将球队实力分解为队员能力和教练能力，最终将问题表达为以教练能力为单一自变量的函数关系．反观中国的大学生，通常都习惯于顺势思维，一开始就建立多项评价指标体系，设定各种关系，从多个方面综合考虑教练能力，这种整体观念是中国学生的长处，但却欠精准化，不善于作逻辑解构，缺乏从已知概念中细分和拆解出新概念的能力，缺乏批判性思维，探索和创新精神差，这也是大学数学教育的不足．

4 结语

中国的大学数学课程过于机械和教条，过分追求数学理论的严密性和完整性，课程考试与普特南数学竞赛有相似的特征，缺乏应用性和趣味性．大学数学课程教学忙于介绍知识点、介绍计算方法、刷练习题，缺少思想探讨、逐层解构和起点追问．在这个移动互联时代，现成知识是网上可查的，复杂计算也可以由计算机完成，应该花费更多的精力在创新能力培养上．美国大学生数学建模竞赛特等奖论文启示中国学者，大学数学课程当然要学习数学理论，但不是理论越深奥越好，也不是计算方法越多越好，而是合理有效地解决问题就好，应该把更多的时间和精力花在数学理论方法思想的介绍上，通过数学分析和数学建模，培养学生在专业学科和交叉学科中应用数学的能力，提高学生对实际问题的终极追问能力和逻辑解构能力，既具有人文情怀[9]，还具有综合集成能力以及联想创新能力．

[1] 叶其孝．数学建模教育与国际数学建模竞赛——《工科数学》专辑[M]．合肥：中国工业与应用数学学会《工科数学》杂志社，1994：8-9．

[2] 叶其孝．挑战和机遇——美国大学生数学建模竞赛十一年有感[J]．数学的实践与认识，1996，26（1）：90-95．

[3] QUABILI R, DIAO P, MOU Y. The sweet spot: a wave model of baseball bats [J]. The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications, 2010, 31 (2): 105-122.

[4] TORTORELLA M. Judges’ commentary: the outstanding sweet spot papers [J]. The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications, 2010, 31 (2): 123-128.

[5] XIONG F, DING W, LI J. Evaluation system for college coaching legends [J]. The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications, 2014, 35 (2-3): 157-180.

[6] VANISKO M. Judges’ commentary: the Frank Giordano award for 2014 [J]. The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications, 2014, 35 (2-3): 195-199.

[7] FLAMINO J, NORMAN A, WYATT M. Characterizing information importance and its spread [J]. The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications, 2016, 37 (2): 121-144.

[8] BIAN F, LIBERTINI J, ULMAN R. Judges’ commentary: spread of news through the ages [J]. The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications, 2016, 37 (2): 145-154.

[9] 谢明初．数学教育的人文追求[J]．数学教育学报，2015，24（1）：6-8．

Enlightenment of MCM/ICM Outstanding Papers on Innovative Education of College Mathematics

MEI Zheng-yang1, 2

(1. School of Mathematics and Statistic, Huazhong University of Science and Technology, Hubei Wuhan 430074, China;2. Hubei Key Laboratory of Engineering Modeling and Scientific Computing, Huazhong University of Science and Technology, Hubei Wuhan 430074, China)

Knowledge points, theoretical derivation and calculation methods were the focus in the Mathematics Education of China University, emphasis on examination oriented Education, but there were obvious deficiency in the innovation education. The comparative analysis method be using in this paper, after introducing the development stages of the American Mathematical Contest in Modeling, the innovations and thinking characteristics of the MCM/ICM outstanding papers were be comparatively analyzed, the enlightenment on the innovative education of college Mathematics were be obtained, and the improvement directions were be put forward.

mathematical contest in modeling; outstanding paper; innovative education

2018–01–10

梅正阳（1964—），男，副教授，博士，主要从事大学数学教学和数学模型研究．

G642.0

A

1004–9894（2018）03–0010–04

梅正阳．美国MCM/ICM特等奖论文对大学数学创新教育的启示[J]．数学教育学报，2018，27（3）：10-13．

[责任编校：周学智]