孟 梦，李铁安



“问题化”：数学“史学形态”转化为“教育形态”的实践路径

孟 梦，李铁安

（中国教育科学研究院，北京 100088）

充分发挥数学史教育功能的基本理路是将数学的“史学形态”转化为“教育形态”．将数学史料“问题化”则是把数学“史学形态”转化为“教育形态”的有效路径．数学史料“问题化”是指通过深入挖掘蕴涵于数学史料背后的数学知识与育人要素，并将其转化为有利于促进学生数学学习的一系列问题．“问题化”是数学“史学形态”向“教育形态”转化的方法论创新，是数学文化价值向育人价值转化的内在价值突破，并能促进数学课堂教学内在规律的良性实现．史料选择、问题设置、教学设计则是数学史料“问题化”的实践策略．

数学史；数学教学；问题化；价值；策略

历史是最好的启发式之一．“把数学的‘史学形态’转化为‘教育形态’”[1]是充分发挥数学史教育功能的基本理路．而将数学史“问题化”则是把数学“史学形态”转化为“教育形态”的一个更为行之有效的实践路径．

1 “史学形态”转化为“教育形态”：数学史融入数学教育的基本理路

“数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系．”[2]显见，数学史的对象是数学发展的客观规律，数学史中那些原始的、客观的数学史料即是数学的“史学形态”．另一方面，数学史中必然蕴涵数学概念的形成、数学思想的来历、数学方法的应用、数学定理和公式的审美内涵、数学家的思维方法和科学与人文精神等元素，这些元素对于学生的数学学习来说更富有教育意义，这应是数学的“教育形态”．

数学“史学形态”向“教育形态”转化的根本目的在于发挥数学史的教育功能，更好地服务于数学教学．以往数学史融入数学教育的方法多以“运用”为主，“问题化”的观点更强调“转化”的思想与功能．从最初运用数学史“使得该学科更具有吸引力”[3]，让教师和学生认识到：数学并不是一门枯燥呆板的学科，而是一门不断进步、生动有趣的科学，到基于历史发生原理，通过历史启发法使得数学教学以史为鉴、更加精准，数学史服务于数学教学经历了由表及里、循序渐进的运用过程．而“转化”比“运用”更加注重如何深入地去挖掘与认识相关内容的共同特征，并能在教学中很好地渗透并落实．因此，将数学的“史学形态”转化为“教育形态”更好地抓住了数学史融入数学教育的契合点，可以更切实地实现数学史与数学教育的深度、有效融合，从而更能充分发挥数学史的教育价值．

2 数学史“问题化”的意蕴与价值

所谓数学史“问题化”，即数学“史学形态”转化为“教育形态”的过程，是深入挖掘（构造）蕴涵于数学史料背后的数学知识与育人要素，并将其转化为能够直接指向并促进学生数学学习的一系列问题的过程．毫无疑问，数学史富含学生数学学习的内容．“问题化”以问题为载体潜移默化地渗透到数学教学的内容与结构之中，就建构了基于“问题解决”的数学教学实践．数学史“问题化”的过程是将数学“史学形态”转化为“教育形态”的方法论创新；真正实现数学史的“文化价值”转向“育人价值”的内在价值突破；与此同时，也能够充分地体现数学教学的本质内涵，促进数学课堂教学内在规律的良性实现．

2.1 问题化：数学“史学形态”向“教学形态”转化的方法论创新

数学教学是以“问题解决”为导向的师生教与学有机统一的数学学习过程．其中，所需解决的数学问题既是数学教学的主要内容，也是数学教学内容呈现的具体表征．数学史“问题化”抓住了数学史与数学教学之间的共同表征——数学问题，以数学问题为线索，搭建起数学“史学形态”与“教育形态”间转化的桥梁，为数学史融入数学教学提供了新的思路与方法．

在数学教学中，教师会依据具体的教学目标，将教学内容逻辑地拆分为若干有助于“问题解决”的问题单元，并针对每个问题单元设计教学任务（如创设问题解决之情境、设计问题解决之策略等），形成“具体问题单元具体分析与解决”的各个教学环节．而依据数学史“问题化”的定义，数学史中那些原始的、客观的数学史料将被转化为若干与学生数学学习相关的“教育形态”，并以数学问题的表征呈现．这些数学问题的具体表征便为数学教学中问题单元的设置提供参考．

由此可见，数学问题将“问题化”与数学教学的本质紧密地关联起来．一方面，使得数学史渗透到数学教学的各个环节之中．另一方面，更重要的是，构建了数学“史学形态”向“教育形态”转化的方法论，为数学“史学形态”向“教育形态”的转化提供了新的实践路径．

2.2 问题化：数学文化价值向育人价值转变的内在价值突破

数学富含文化价值，主要体现在数学的知识体系和思想精神能使人具有追求真善美的自觉自主之情怀、诚实正直之品性、坚韧勇敢之精神，能使人理解和掌握科学发现与创造的基本原理、认识方法、实践方法和独立思考、严谨求实的科学态度[4]．而作为一种宝贵的课程资源，数学的育人价值即是通过数学的知识体系与思想精神培养人的文化素养、理性思维、实践能力与创新能力．而将数学博大精深的文化价值转变为有助于数学教育的育人价值是充分发挥数学史教育功能的重要思路．

作为数学“史学形态”转化为“教育形态”的方法论，“问题化”是数学史在数学教学中的具体体现，是数学史育人价值的具体表征．通过数学史“问题化”，将数学史的文化资源转变为培育学生全面发展的育人资源，实现数学史内在价值的转变与突破，有助于数学史教育功能的充分发挥．这是数学教育实现育人为本的本质要求．

2.3 问题化：促进数学课堂教学内在规律的良性实现

数学教学是教与学有机统一的教学活动，是“以学定教”与“以教导学”相辅相成的教学过程．将数学史直接移植于数学教学是数学史融入数学教育的一种常用方法．教师往往将数学史料（如数学家传记、历史事件、数学名题等）在教学或教材中直接补充，这在一定程度上丰富了教学内容，增添了数学教学的趣味性与人文性．但这种方法主要指向了数学的知识取向，即强调作为教学内容的数学史本身，而非教学的认知主体——教师与学生．而“问题化”既关注数学史料的知识性，更关注讲授与学习知识的人在数学教学中的主体地位．一方面体现在“问题化”需要教师深入挖掘蕴藏于数学史背后的数学思想、知识与方法等，提炼出与教学密切相关的数学问题；另一方面，“问题化”是以问题为载体渗透到数学教学的内容与结构之中，无论是在数学问题的发现与提出，还是分析与解决的过程中，数学教学都不会忽视教师的教与学生的学．

由历史发生原理可知，学生习得数学知识的过程与数学知识的历史发生发展过程具有相似性，借鉴历史有针对性的制订教学设计，可让数学教学更加精准．但也要避免因教条地借鉴历史，而导致教学方法的固化与僵化现象．著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔指出：“我们不应该完全遵循发明者的历史足迹，而应是经过改良、同时有更好引导的历史过程．”[5]因此，教师在教学中不应简单地重复真实的历史，而应站在新的历史起点致力于历史的重构与创新．“问题化”较以往的研究，更有利于数学教学的重构与创新范畴．一方面，以数学问题为载体构建数学“史学形态”向“教育形态”转化的问题场域，为教师设计教学提供了充分的创造空间；另一方面，“问题解决”过程的随机性也为历史的重构与创新提供了更多的机会与可能．

3 数学史“问题化”的实践策略探析

3.1 数学史料选择的实践策略

数学史料的选择是“问题化”教学的前提．米山国藏曾经指出：“学生们接受的数学知识……很快就忘掉了……唯有深深铭刻于头脑中的数学精神，数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，在随时随地发生作用，使他们受益终生．”[6]数学教学传授的不仅是数学知识，更要传承数学精神中所蕴含的数学思想与方法，这正是数学史料的内涵特征．在“问题化”教学中，数学史料的选择既应对数学知识有所诉求，也需蕴涵知识产生的思维过程，尤其是那些最能反映数学思维方式、培养数学思维能力、蕴含数学思想与方法的具有“文化味道”的数学史，也就是数学文化．

“数学——作为一种文化体系”的数学哲学观是美国数学家怀尔德（R. Wilder）于20世纪80年代在其著作《数学概念进化》和《作为系统的数学》中最先系统提出的．数学是人类抽象思维的产物，其本身就是一种文化，数学教育从本质上讲就是数学文化的教育[7]．数学文化的内涵在学界虽尚未形成共识，但在广泛的意义上，数学文化可定义为：它是人类在发现和创造数学的过程中所积累的数学知识体系、数学思想和精神的统一体．数学文化包括数学概念、原理、定理、公式、方法、问题等显性的数学知识形态；也包括数学知识内容所反映的客观的宇宙规律、精美的数学结构和广泛的应用价值，以及数学家在发现和创造数学的过程中所蕴含的价值追求、审美直觉、思维方式、科学精神等隐性的数学精神形态；还包括显性的数学知识形态与隐性的数学精神形态的内在统一[4]．“问题化”教学中的数学史料，应具备数学文化的内涵特质．举例来说，完全数是一个饶有趣味的数学问题，是一段珍贵的数学史料，具备丰富的数学文化特质．每个完全数的发现、验证、猜想的过程蕴含着毕达哥拉斯学派、古希腊数学家的信念品质、价值判断、审美追求等要素，直观地呈现出数字间的数学运算、逻辑推理、对称等性质，为师生开展“问题化”教学提供若干问题情境、解决策略等教学资源．

3.2 数学问题设置的实践策略

数学问题的设置是“问题化”教学的核心“技术”，其目的在于为教师提供有效的教学抓手，通过启发和引导，让学生走进问题情境，发现和提出问题，思考并解决问题．在具体的教学实践中，数学问题应结合所选数学史料的特征，结合引入、探究、猜想3个教学行为设置有针对性的问题单元．

同样以完全数为例．完全数是教材之外的内容，多数学生对它的定义、性质并不了解．因此，引入环节的问题设置应注意由简驭繁，符合学生的认知规律．第一个完全数是6，其因子之间的运算较为简单．因此，可从6开始认识完全数的特征与性质．如首先可设置这样的问题：“请找出3个不同的自然数，填到框图中，使等式成立．”

学生通过猜想和探究最终发现1+2+3=1×2×3；进而再让学生感知6=1+2+3=1×2×3，在此基础上，提出这样的问题：“数字6具有怎样的特征？”教师通过启发引导，让学生概括出6等于除了它本身以外的因数的和（这实质上就蕴含了让学生归纳概括出完全数的定义的过程，从思维方式来说，这是一个抽象的过程）．接下来再让学生探究：“在20以内，有没有像6这样的自然数，它可以等于除了它本身以外所有因数的和？30以内呢？”此时，经历了一番探究，学生找到28也具有与6同样的特征，这样完全数的本质特征就已经浮出水面，教师可适时地通过提出“你能根据6和28所具有的特征吗？”这样的问题引导学生归纳完全数的定义．

有趣的是，第三、第四个完全数分别是496，8 128，而第五、第六个完全数则是33 550 336，8 589 869 056．前4个完全数的顺序与数位相互对应，且末尾数字分别是6，8，6，8，具有一定的规律性，可以借此引导学生观察并发现规律，设问为：“请同学们观察前4个完全数6，28，496，8 128的共同特征与规律，尝试猜想第五个、第六个完全数会是个什么样子？”

最后，可以开始探究完全数的性质．如，6可以写作几个连续自然数的和，可设问为：“6=1+2+3，1，2，3除了是6的因数，还是连续的自然数，28能不能写成几个连续自然数之和呢？”至此，整节课被转化为5个联系紧密、目标明确、层次分明、逻辑性强的问题单元．学生在依次解决问题的过程中，既是自主探索、动手实践、合作交流的数学学习过程，也是透过数学知识和真理的背后，体验数学真理发现的完满过程，更是学生在教师引导下对数学发展的“再创造”过程．

3.3 数学教学设计的实践策略

数学教学的设计是“问题化”教学实施的脚手架，是教师在内容定位与学情分析的基础上，对“问题化”教学的目标、方法、内容、进程、评估等教学环节进行的系统设计，目的在于让问题化的数学史料作为教学的发生方式，对教学过程可能产生的具体情况，如学生进入问题情境的具体状况，该如何采取与之相适应的教学方式，或启发学生独立思考、或引导学生自主探究、或组织学生合作交流，或指导学生练习与应用，或监测学生的反思与迁移等．作为整节课的教学蓝图，“问题化”教学设计应坚持以“问题解决”为导向的实践策略；另一方面，“问题化”教学设计应关注学生数学学科核心素养的培育．

以“问题解决”为导向的具体问题具体分析，包括尽力启发学生提出问题，调动学生积极思考，把教师对数学的情感巧妙地传递给学生，对学生的思考给予充分的鼓励和做出理性评价等．如在完全数的教学中，第五、第六个完全数形态的猜想环节是整节课气氛最高涨的部分，教师在教学设计中应给予学生充分思考、判断、反思、交流的机会，引导学生进行数学推理与猜想．教学实践中，有的学生猜想道：“我觉得第五个完全数一定是五位数！因为我发现前4个完全数6，28，496，8 128分别是一位数、二位数、三位数和四位数．”也有的学生这样猜想：“我觉得也应该是五位数，而且我猜想第五个完全数的末尾数字应该是6．因为前4个完全数6，28，496，8 128的末尾数字分别是6，8，6，8，按照这样的规律，第五个完全数的末尾数字似乎应该是6．”在经历了一番头脑风暴过后，教师揭晓答案时引起了全体学生的感叹：“哇！是33 550 336，8 589 869 056！太神奇了！”学生在数学发现的兴奋与惊叹之中，体验着美妙深刻的数学学习经历．

与此同时，“问题化”教学设计充分考虑到学生数学学科核心素养的培育．在完全数的教学中，涉及学生数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养的培育．因此，教师在进行“问题化”教学设计的过程中，尽可能地为学生提供相应的问题情境与解决策略．如前文提到的，在引导学生自主探究6和28的数字特征时，以让学生进行6和28的因子间的运算为主；又如在归纳定义、猜想第五六个完全数的形态环节，引导学生依据已知的6和28的数字特征，以及前4个完全数的数位、个位数字特征，尝试推理出一般完全数的特征和更大完全数的数字形态．

通过对数学史“问题化”开展的数学教学，不仅使得史料在此过程中被恰当转化并有效活化，使史料呈现方式更加自然生动，更重要的是可以让学生在数学发现中建构数学知识、体验数学思想、领悟数学精神．从而更好地培育学生的数学学科核心素养，发展学生的创新精神与实践能力．

[1] 宋乃庆，李铁安．发掘数学史教育功能，促进数学教育发展[R]．第一届全国数学史与数学教育会议报告，西安，2005-5．

[2] 李文林．数学史概论[M]．台北：九章出版社，2003：1．

[3] CAJORI F. The pedagogic value of the history of physics [J]. The School Review, 1899, 7 (5): 278-285.

[4] 李铁安．如何理解“数学文化课”的内涵与价值[J]．小学教学（数学版），2018（1）：8-12．

[5] FREUDENTHAL H. Didactical phenomenology of mathematical structures [M]. Reidel, 1983: 1.

[6] 米山国藏．数学的精神、思想和方法[M]．毛正中，等译．成都：四川教育出版社，1986：序．

[7] 孟梦，杨慧娟，李长毅．数学文化在小学数学新教材中的实践研究——以西师版为例[J]．数学教育学报，2012，21（4）：61-63．

Problematization: the Practical Approach of “Historical Morphology” of Mathematics Transforms into “Teaching Morphology”

MENG Meng, LI Tie-an

(National Institute of Education Science, Beijing 100088, China)

A basic route to fully perform mathematics history’s functions of education was to transform the “historical morphology” of mathematics into “teaching morphology”. Problematization was a practical approach to make the transformation effectively. The meaning of problematization was to excavate the mathematics knowledge and educational factors concealed into the mathematics history, and turn them into a series of problems which may promote students’ mathematics learning. Problematization offered methodology innovation for the transformation of “historical morphology” into “teaching morphology”, and made inherent value breakthrough from cultural value to educational value, and promote the mathematics teaching follows the innate laws of classroom teaching. Based on the lesson of Perfect Number, the study provides practical strategy on the selection of mathematical history, the setting of mathematical problems and the design of mathematics teaching.

history of mathematics; mathematics teaching; problematization; value; strategy

2018–03–05

全国教育科学“十一五”规划教育部重点课题——基础教育数学文化课程体系的构建与实践（DHA090174）；2016年度教育部人文社会科学研究一般项目——数学文化对小学生数学核心素养的影响研究（16YJAZH009）

孟梦（1988—），女，山东青岛人，博士，中国教育科学研究院博士后，主要从事数学文化课程研发、教师培训效果测评研究．

G420

A

1004–9894（2018）03–0072–04

孟梦，李铁安．“问题化”：数学“史学形态”转化为“教育形态”的实践路径[J]．数学教育学报，2018，27（3）：72-75．

[责任编校：周学智]