杨林 刘梅

几何画板是很多数学教师常用的软件，它可以将图形运动过程很直观地呈现在学生面前，从而让他们能更好地理解和掌握有关图形的一些知识。但几何画板也存在一些弊端，如在解决圆锥曲线切线的问题上很不方便，而且图形的变化不能显示数值的变化。随着科技和信息化的发展，有关学科类的制作软件也越来越多，其功能性也比原有软件提高了不少。这里笔者要为大家介绍一款在几何画板绘图功能的基础上增加了处理变数等能力的简单易学的开源动态数学软件——GeoGebra。

GeoGebra的简要介绍

GeoGebra是一款免费、开源、性能可靠的数学教育软件，它是由美国佛罗里达州亚特兰大大学的数学教授Markus Hohenwarter设计的，软件架构思路非常清晰，GeoGebra一词由几何（Geometry）与代数（Algebra）两个词构成，简单点说就是数形结合。GeoGebra不只局限于代数与几何，还增加了统计、微积分、逻辑运算等功能，数学操作方面的功能可谓强大，软件设计定位于数学教育，非常重视界面的简洁、操作方便和数学课堂教学的演示，学习起来简单容易，具有强大的运算和测量功能，跨平台且开源。此外，它还支持LaTex语法，可在画面上显示根号、次方及分数以及其他数学标号，这些都是几何画板无法做到的。

GeoGebra的使用方法

大家可以去官网（https：//www.geogebra.org/）下载GeoGebra的最新版本，安装后打开。软件默认打开为图形计算器界面（如图1）。图形计算器界面分为代数区（方程、函数）和几何区（画图、描点、函数图像），可根据需要在两个区域间来回切换。当选择代数区域时，点击软件左下角的小键盘，就会弹出GeoGebra的计算器按键，点击“计算器”按键扩展按钮，就可以弹出功能强大的数学函数区域，如向量与矩阵、圆锥曲线指令等（如上页图2）。当选择几何区域时，会弹出常用的几何作图工具，如角、直线、多边形等。最新版本的GeoGebra软件对计算和几何作图区域做了区分。因此，笔者推荐使用GeoGebra的经典视图模式，该模式可以兼顾图形计算功能和几何作图功能。大家可以在最新版本中依次点击左侧的“菜单—应用—Geogebra经典”切换到GeoGebra经典界面（如图3）。当切换到经典界面后就可以看到功能强大的GeoGebra菜单栏，如点、线、向量、圆、多边形、角等菜单，可根据需要随意点击选择。在GeoGebra经典界面中还可点击右侧扩展菜单栏，可设置网格线、3D绘图区、表格区、概率统计以及显示绘图过程（如图4）。

1.利用GeoGebra绘制平面函数图像与数据动态结合

GeoGebra输入区域具有函数自动联想功能，在输入区域手动输入函数或者在计算器键盘扩展按键中选择某一数学函数（如图5），直角坐标系中就可以立即显示函数图像。例如，选中数学函数的正弦函数表达式Sin（x），直角坐标系中就可以立即得到正弦函数的图像。当需要查看正弦函数Sin（x）上的特殊点时，可点击特殊点选项，正弦函数图像上的特殊点及其坐标会立即显示（如图6）。当想要查看正弦函数上某点的运动轨迹时，可以点击菜单栏的“描点”按键，在函数图像上选择一点A，也可直接输入A点坐标（如图7）。点击坐标旁边的“播放”按键，就可以自动播放A点在该函数上的运动轨迹，还可以控制A点的移动速度。例如，某题想要求得该正弦函数上两点与坐标轴間围成的面积时，可以点击菜单中的函数检视，然后点击该正弦函数图像，函数图像上就会直观地出现两点所围成的面积（如图8），两个点可以在函数图像上随意拖动，也可以输入在函数图像上的坐标值，这两个点在改变的同时，它们围成的图形的属性和数值也会在函数检视中同步变化，如面积、极值等数值。此外，教师还可点击扩展菜单3D绘图区，直接把平面函数图像转化成3D视图（如图9），让学生直观地看到一个函数从一维平面空间到三维立体空间的转化过程。

2.利用GeoGebra绘制立体函数图像与数据动态结合

点击“3D视图区”，就可以进入立体几何图形编辑界面。操作菜单也切换成了点与线、点与面、棱锥、棱柱、球体等常用的立体几何菜单（如图10）。例如，某题目要求一个圆柱体和一个平面相切所得的截面积。已知圆柱体两个底面圆心A、B的坐标，以及底面半径为2cm，平面是圆柱体侧面的三个点C、D、E所组成的平面，并已知三个点的坐标。对于这道题，利用GeoGebra就可以轻松得到答案。首先，创建一个圆柱体，点击立方体菜单，选择圆柱，按照题目给定的两底面圆心A、B的坐标，在三维直角坐标系上设置两点A和B。然后，输入两底面圆的半径2cm（如图11），即可得到一个圆柱体（如图12）。要求得到该圆柱体与某平面相切的截面，先选择平面菜单，在圆柱体上选取题目给定的三个点C、D、E，GeoGebra就自动形成这三个点组成的平面，与圆柱体相切，即可得到截面（如图13）。随后，可利用数学函数公式求截面面积。在视图菜单中，教师可以让它切换到旋转、平移等不同视觉特效，方便学生从不同角度观察截面。

3.GeoGebra的平面空间、立体空间与数据动态结合

既然GeoGebra提供了绘制平面区域，也提供了绘制立体几何区域，当然也支持平面与立体空间同步绘制。在三维直角坐标系中绘制的图像同样也可以借助三视图的形式在平面直角坐标系中同步显示。具体操作步骤是直接在平面绘图区扩展菜单中添加立体绘图区，这时GeoGebra中就同时出现平面直角坐标系与三维直角坐标系，在三维直角坐标系上做操作，平面直角坐标系就会按照X、Y、Z轴的设定同步操作。例如，已知四棱锥的顶点A，底面四个点B、C、D、E的坐标，画出对应的三视图。这道题只需要利用GeoGebra的平面与立体空间同步功能即可画出图形，完成解题。在三维直角坐标系中按照给定的顶点以及底面的四个点绘制出四棱锥的立体图形，当立体图形绘制完成后在左侧的平面直角坐标系界面就可以看到在X轴和Y轴所呈现的俯视图图形（如图14）。不断切换平面直角坐标系显示的坐标，如显示X轴、Z轴，就可以看到它的侧视图。同理，可查看其正视图，至此这个题目就求解完成。此外，我们还可以点击视图菜单，将四棱锥随意转换角度方便学生观察，还可以在选择面菜单将四棱锥按照某一平面展开，查看该立方体的展开图，求体积等。

4.GeoGebra的其他功能

（1）显示操作步骤

当我们输入函数或者绘制几何图形时，系统会自动记录操作步骤，并显示出来。例如，某题目要求绘制向量U和向量V，并求出两向量夹角的角平分线表达式。使用GeoGebra计算这道题非常容易，只要点击向量菜单，分别设置向量U、向量V，之后选择角度菜单中的角平分线，选中向量U、V后，即可出现两向量的角平分线。GeoGebra就会自动计算出向量夹角以及角平分线的表达式，点击显示操作步骤，所有的操作步骤都可以显示出来（如图15）。

（2）表格及概率统计

GeoGebra还具有Excel的基本功能，可以在表格中输入数值，显示柱状图、饼图等模型，还可以进行概率统计，以及显示正态分布图（如图16）。

（3）动态的变换功能

在数学上，经常会碰到研究函数参数变化时对图像的影响这类题目，很多学生初学幂函数时很难弄清楚它的图像是如何变换的，对此，教师可以利用GeoGebra做出幂函数图像，让α的数值不断动态变化，从而观察幂函数图像。例如，y=xα，可以先在输入框中输入y=xα，点击创建滑动条，这样，就可以创建该幂函数的图像，通过控制α数值的动态变化，就可以直观地看到该幂函数图像和性质的变化（如图17）。

总的来说，开源的GeoGebra给数学教师提供了一个简单易学的动态数学教学工具。利用如此强大、优秀的动态数学软件服务于数学教学，无疑会对学生的数学学习产生深远的影响。未来的社会是一个学习型的社会，因此教师需要不断接受新知识、新技术，优化自己的教学环节，借助多重科技手段服务教学。