赵继超， 王湘宇

（1.中国电子科技集团公司第二十研究所， 陕西 西安 710000；2.西安电子科技大学， 陕西 西安 710126）

引言

在“Joint Estimation of DOA and Polarization with CLD Pair Cylindrical Array Based on Quaternion Model”一文中[1]，作者将四元数旋转不变子空间算法（quaternion estimation of signal parameters via rotational invariance techniques,Q-ESPRIT）扩展到由共心式磁环-偶极子天线组成的圆柱阵中，但是通过阵列流形的每一列除以该列首元素求解信号导向矢量的表述是不正确的，该问题在文献[2]第三节的公式（19）也同样出现。

由文献[3]可知，通过特征值分解反推得到的阵列流形，其每列与真实值存在一个模糊系数，该系数可以表示为仅含实部和第二虚部的一个四元数，由于四元数不满足乘法交换律[4]，所以导向矢量是不能通过阵列流形的每一列除以该列首元素得到。

本文主要分为两部分，首先通过数学推导证明存在模糊的阵列流形，是无法通过文献[1]中的方法估计得到信号的导向矢量；其次，基于四元数乘法的特殊性，给出了一种信号导向矢量的求解方法，并通过Matlab进行仿真验证。

1 文献[1]中导向矢量求解方法错误的数学推导证明

由文献[1]中第四节公式（23）可知，阵列流形是通过下式估计得到的：

式中：满秩矩阵T是通过对E#1E2（详细可见文献[1]中第4节公式（21）特征值分解得到。但是由文献[3]可知，通过特征值分解反推得到的阵列流形，其每列与真实值存在一个模糊系数，可以表示为：

其中，μk表示其模值，ωk表示其相位，k=1，2，…，N。

基于式（2）和（3）可以表示为：

依据文献[1]中4.1节的公式（25），信号的导向矢量由下式估计得到：

很明显，公式（5）等价于下式：

因为四元数不满于乘法交换律，所以公式（6）中的不等于公式（4）中的。文献[1]中求解信号导向矢量的方式是不正确的。由文献[1]中 4.1.节公式（26）至（29）可知，信号的方位角是由信号导向矢量估计得到的，因此，信号导向矢量的错误会导致信号方位角的估计错误。

2 所提导向矢量求解方法

式中：μk＞0，θk∈（0，π），γk∈（0，π/2），因此，μksinθksinγk＞0。

式中分别表示的第一虚部和第三虚部。

首先，通过右乘e-jωk消除其相位模糊：

其次，通过左乘消除幅度模糊，从而得到信号的导向矢量qL（θk，φk）：

3 仿真实验

图1 导向矢量估计标准差

仿真实验部分，采用跟文献[1]相同的圆柱阵，两个信号的波达方向和极化参数也设置成一样，即，（θ1，φ1，γ1，η1）=（72°，85°，30°，120°），（θ2，φ2，γ2，η2）=（30°，43°，67°，80°）快拍数依然设置为1 024，信噪比由0～45 dB变化，间隔为5 dB，蒙特卡洛实验次数为100。

图2 方位角估计标准差

由图1和图2可以明显看出，文献[1]中求解信号导向矢量的方法是失效的，这是因为四元数不满足乘法交换律，不能简单的通过除以首元素的方式进行归一化处理得到信号导向矢量，而本文所提的算法通过消除模糊系数的相位模糊和幅度模糊，得到正确的信号导向矢量。

[1]Guibao Wang，Haihong Tao，Lanmei Wang，et.al.Joint estimation of DOA and polarization with CLD pair cylindrical array based on quaternion model[J].Mathematical Problems in Engineering，vol.2014，article ID 806853.

[2]Lanmei Wang，Zhihai Chen，XuanRao，et.al Estimating DOA and polarization with spatially spread loop and dipole pair array[J].Journal of Systems Engineering and Electronics，2015，26（1）：44-49.

[3]Jin He，M Omair Ahmad，M N S Swamy.Extended-aperture angle-range estimation of multiple Fresnel-region sources with a linear tripole array using cumulants[J].Signal Processing，2012，92：939-953.

[4]W.R.Hamilton，On quaternions[M].Proc.Royal Irish Academy，1 843.