周非凡， 杨苏娟

（南京邮电大学， 江苏 南京 210023）

1 问题的重述

1.1 问题背景

计算机断层成像技术（Computed Tomography，CT）是一种最先进的医学影像成像技术之一，是由投影重建图像技术，计算机技术以及相关检测技术等多个技术学科综合发展的结晶，它以其卓越的性能在医学的各个领域得到了广泛应用。CT技术可以在不破坏样品的情况下，用X射线旋转照射样品，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。

1.2 相关信息

在如图1所示的典型二维CT系统中，该探测器以旋转扫描方式进行探测，多个探测器等距排列，将每个探测器视为独立接收点，平行入射的X射线垂直于探测器平面。

图1 CT系统示意图

规定单元探测器数量为512个。保持X射线的发射器和探测器相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某个固定旋转中心旋转180次，对每一个X射线方向，在探测器上测量512个等距单元探测器经过二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，经过增益等处理后得到180组接受信息。

CT系统安装时往往存在误差，导致影响成像质量，为了减小误差，需要对安装好的CT系统进行参数标定，即借助于模板标定CT系统的参数，并据此对未知结构的样品进行成像。本题中，在正方向托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板，模板的几何信息如图2所示。

1.3 待解决的问题

图2 模板示意图（单位：mm）

图3 10个位置示意图（单位：mm）

根据以上给出的相关信息，对问题总结如下，并建立相应的数学模型和算法进行分析研究。

问题综述：根据上述两个均匀固体介质组成的标定模板和接收信息，确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置，以及探测器单元之间的距离。

2 问题的分析

根据上页图3中提供的模板接收信息，我们需要求出两个量：CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置，以及探测器单元之间的距离。

3 模型的假设

在正式处理问题之前，我们做出如下假设：

未知介质各个位置的吸收率与该处重建图像上反映的吸收系数成正比。

4 模型的建立与求解

解决问题需要首先分析探测器单元之间的距离，根据吸收图谱中求得的小圆形模板对应的探测器间隔数量以及小圆形模板直径长度，通过比例关系，建立比例模型，求出探测器单元间距离的大小。最后确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置，根据几何关系求解多条弦中垂线的方程，对这些中垂线的交点求平均值确定CT系统旋转中心的位置。

4.1 比例模型求解探测器单元间距离

对于题目中给定的标定模板，由上页图2中的几何信息可知：两个均匀固体介质分别为椭圆和圆，其中椭圆的长半轴RL=40 mm，短半轴RS=15 mm，圆的半径r=4 mm。以正方形托盘的左下角顶点为坐标原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，那么椭圆圆心Oe（50，50），圆的圆心坐标Or（95，50）。

我们发现对于圆形模板，无论发射-接收系统方向如何改变，该模板的X射线吸收量出现数值的区间长度始终保持不变，利用MATLAB2017a随机筛选出10组数据，通过三次样条插值方法进行拟合，得到如图4的拟合曲线图。限于文章篇幅，此处仅列出一组数据拟合曲线图，将此图称之为吸收图谱。

图4 吸收图谱

通过10组数据拟合曲线图，利用MATLAB2017a编程得到小圆形模板对应的探测器间隔数量均为N=29.12，对应小圆形模板直径长2r=8 mm，根据比例关系，对吸收图谱上的长度与模板实际长度建立比例模型，求得探测器单元间距离：

4.2 旋转中心的确定

已知整个发射-接收系统绕某个固定旋转中心逆时针旋转，有512个等距单元的探测器排成一排，吸收经过衰减后的射线能量。成排的探测器可以看作绕固定旋转中心旋转形成的圆形的弦，用图5所示的模型表示。根据圆心和弦的几何关系可知，任意两条弦的垂直平分线的交点即为圆心，利用该定理建立几何模型，求解出CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置。

图5 CT旋转模型

仍以上述建立的坐标系为标准，选取其中一条弦即一组接收信息，该条弦的垂直平分线必然经过512个等距探测器的中心点M，根据吸收图谱可以得到椭圆模板中心Oe到探测器中心点M之间的探测器间隔数量N，利用比例模型求解出对应实际长度：

同时，OeM的长度也是椭圆中心到该弦所对应的垂直平分线的距离d，令该垂直平分线l的方程为：

其中：该直线的斜率k满足k=cotθ

椭圆中心坐标位置，将圆心坐标代入点到直线的距离公式，有：

根据上述等式即可解得该条垂直平分线方程。理论上这些垂直平分线的交于一点，该点即为CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置，但是由于CT系统本身存在误差以及模型的求解过程中会出现误差，导致并没有一个理想的交点出现。我们采用对多个交点的横纵坐标求平均值的方法，将该值作为CT系统的旋转中心，最终求解得到即CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置为（40.756 6，56.095 3）。

[1]刘卫国.MATLAB程序设计教程（第二版）[M].北京:中国水利水电出版社,2010.

[2]庄天戈.CT原理与算法[M].北京:高等教育出版社,1992.