培养推理能力，提升数学素养
2018-05-14沈怡甜
沈怡甜
《数学课程标准（2011）版》指出：“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中，是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”推理一般分成合情推理和演绎推理，合情推理和演绎推理在数学学习中充分体现了数学的创新性和严谨性。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果，这种从已有的事实出发推理出的新的猜想，是或然成立的，是学生创新能力的源泉；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算，通常是用来证明结论，这个结论是必然成立的，演绎推理体现了数学的严谨性。在小学数学教学中，合情推理和演绎推理两者相互融合，笔者将从合情推理和演绎推理出发，并结合苏教版小学《数学》五年级（下册）《和与积的奇偶性》的教学实践，谈谈如何培养学生的推理能力，提升学生的数学素养。
一、合情推理和演绎推理的认识
匈牙利数学教育家乔治·波利亚所著的《数学与猜想》中，首次将数学推理按其结论的可信程度分为两类：论证推理和合情推理。论证推理就是我们所说的演绎推理，数学结论的证明要依靠论证推理，但是数学结论的发现和提出都要依靠观察、实验、类比、归纳等合情推理方法。乔治·波利亚的研究有效地拓宽了数学推理的范围，但是他认为合情推理就是猜想，对合情推理的界定并不清晰。二十世纪末，匈牙利开始进行数学教育改革，近年来匈牙利学者呼吁要加强学生的数学推理能力的培养，他们认为应该从幼儿园到高中的每个阶段在观察的基础上进行归纳、类比，得出猜想后再进行演绎推理的证明。
我国数学教育的主要优势就是重视培养学生的运算能力、推理能力和空间想象能力，史宁中教授认为学习过数学与没有学习数学的思维差异体现在数学的基本思想上，包括抽象、推理和建模，可见推理在小学数学教学中的重要地位。《数学课程标准（2011版）》把推理能力定位为十大核心概念之一，并对合情推理和演绎推理两者的关系进行了解读。由此可见，合情推理和演绎推理作为逻辑推理的两种推理方式，在小学数学学习中都很重要。
二、《和与积的奇偶性》的教学实践
1.运用归纳推理——提出或然的猜想
合情推理通常是指从特殊到一般的推理，主要的两种推理方式包括归纳和类推。归纳推理可以按照归纳的对象是否完全分为完全归纳和不完全归纳。不完全歸纳法是根据考查的一类事物的部分对象具有某一属性，而做出该事物具有这一属性的一般结论的推理方法。在学生猜想两个数相加的和的奇偶性规律的时候，就是通过不完全归纳来进行教学。
片段一：
举例：任意选两个不是0的数，求出它们的和，再看看和是奇数还是偶数。
[加数 加数 和 和是奇数还是偶数 ]
观察：观察填好的表格，说说你的发现。
生：我发现和有的是奇数，有的是偶数。
师：什么时候和是奇数？什么时候和是偶数？
生1：我发现两个偶数相加和就是偶数。
生2：我发现两个奇数相加和也是偶数。
生3：我发现一个奇数加一个偶数和就是奇数。
师：这只是我们的猜想，请每组同学再举一些例子来进行验证。验证之前，请想一想，要举怎样的例子呢？
交流不同位数的两个数相加以及和的奇偶性。
……
这里其实考虑了加数的类型，是以不同的分类情况进行举例，虽然没有得到反例，但是这样只能得到或然的结论。合情推理就是“发现——猜想”，学生写出的算式是杂乱无章的，但这些不同的算式中蕴含着相同点，学生通过比较、分析、综合等一系列思维过程，归纳出结论：“偶数+偶数=偶数、奇数+奇数=偶数、奇数+偶数=奇数”。
2.运用多种推理——证明提出的猜想
数学是严谨性的学科，根据有限数量的例子来说明“偶数+偶数=偶数、奇数+奇数=偶数、奇数+偶数=奇数”只是或然的结论，为了培养学生的科学精神，还是需要在学生能理解的基础上进行演绎推理。
片段二：
师：我们举了一些例子，比如两位数加三位数，三位数加三位数等等，看是否符合我们的猜想，但是这样就能够一定证明这个结论是正确的吗？请在小组内交流想法。
交流1：判断一个数是奇数还是偶数只需要看这个数的个位，所以我们只要把所有两个数相加的个位相加的情况列举出来就能验证猜想了。
交流2：之前已经学过用字母表示数，那么就可以用2a和2b来表示偶数，用2a+1和2b+1来表示奇数，2a+2b=2（a+b）还是偶数，（2a+1）+（2b+1）=2（a+b+1）结果是偶数，2a+2b+1=2（a+b）+1结果是奇数。
交流3：用画图的方式，可以进行证明。如下图：
偶数：
奇数：
偶数+偶数：
……
对不同水平的学生要有不同的要求，学生验证的方法有很多，包括合情推理的不完全归纳，也可以通过数形结合、字母表达和完全归纳等。教师在教学时应渗透演绎推理的思想，提供丰富的路径给予学生思考，即使学生不是所有都能理解，但是这样的证明方式就像给了学生一扇窗，能让学生有意识的进行有理有据的思考。
3.运用关系推理——探索和的奇偶性规律
在研究3个或4个及以上不是0的自然数相加，和的奇偶性的情况时，一般都是利用举例验证，通过不完全归纳来进行探索规律的。但是不完全归纳依然得到的或然的结论，因此在这样的基础上，应该给予学生更为深入思考的机会，如利用演绎推理中的关系推理完全可以进行证明。
片段三：
活动要求：
（1）任意选3个或4个及以上不是0的自然数相加，研究它们和的奇偶性。
（2）观察：加数里有几个偶数、几个奇数，和是什么数？
（3）思考：和是奇数还是偶数，与加数中什么数有关系，有什么关系？
学生可以用老师所提供的表格举例，也可以画图、文字形式、用字母表示数等来进行推理验证。
在充足的自主探索时空中，学生有丰富的探索方法，但是教师还要引导学生利用已有的结论“偶数+偶数=偶数、奇数+奇数=偶数、奇数+偶数=奇数”进行关系推理。譬如，“奇数+奇数+奇数+奇数”，可以这样思考，“奇数+奇数=偶数”，所以
4.运用类比推理——提出新的猜想
和的奇偶性與积的奇偶性的探索方法是类似的，在探索和的奇偶性的规律之后，通过类比推理的方法，先让学生猜想积的奇偶性的规律，即使猜想是错的也没有关系，学生就会经历从猜想到验证，再到结论的过程，带着自己的思考进入下面的学习，让学生真正成为学习的主人。当学生发现知识之间是存在联系的，就会感受到自己多了一种本领，仿佛是发现了“新大陆”，助长了学习的信心。关系思维，是非常重要的一种思维。
片段四：
师：回顾探索和发现规律的过程，说说自己的体会。
生1：我知道了以后在解决复杂问题时，可以从简单入手。
生2：我学到了可以用举例的方法找规律。
生3：我还知道举例之后，要找出他们的共同点才能有所发现。
生4：我认为除了举例之外我们还要验证，这样才能知道我们找到的规律是否正确。
……
师：今天我们的主题是“和与积的奇偶性”，现在我们才解决了和的奇偶性的规律，如果让你自己来探索积的奇偶性，你想怎样做？
生1：我认为可以先探索两个数相乘的规律。
生2：我认为需要举很多例子，然后比较这些算式，找出相同点，就能发现规律了。
生3：我要提醒一下，有发现了之后，还需要进行验证。
生4：我们可以继续研究多个数相乘，找出规律。
……
师：通过今天的学习，类比“和与积的奇偶性”的规律，你们还有什么猜想吗？
……
通过《和与积的奇偶性》的教学实践，我认为合情推理和演绎推理是互为补充的，归纳和类比是演绎的基础，为演绎提供条件；演绎是归纳和类比的前提，为归纳和类比提供理论依据。在小学数学教学中，应该提倡合情推理和演绎推理并重，将两者相互融合，从而培育学生的创新精神和严谨精神，提升学生的数学素养。
（作者单位：江苏省常熟市练塘中心小学）
