刘歌，张旭洲，汪洪艳

(空军航空大学 信息对抗系，吉林 长春 130022)

0 引言

在现代电子战争中，为了提高雷达的生存能力，越来越多的雷达系统采用低截获概率(LPI,low probability of intercept)信号。在低截获概率雷达信号中，多相码信号由于兼具相位编码和频率调制的优良特性[1]，而得到广泛的应用。因此如何对多相码信号进行有效的参数估计成为研究的重点。

由于多相码信号由线性调频信号(LFM,linear frequency modulation)衍生而来，有着与LFM相似的时频特征，且LFM信号在时频域已有较为成熟的分析方法，因此对多相码信号参数估计常用的方法一般是基于信号的时频特征。文献[2-3]提出基于RWT的多相码信号检测和参数估计方法；文献[4-6]利用RAT及其改进算法实现了多相码信号的检测与参数估计。但是这2种方法将信号的能量分散在时频平面的各个峰值上，导致估计精度降低，且计算量较大，Radon变换的存在使信号的估计精度受旋转角度分辨率的影响。

为了解决上述问题，本文提出了基于积分二次相位函数(IQPF)和分数阶傅里叶变换(FrFT)的联合参数估计算法对多相码信号进行参数估计。首先通过公式推导在理论上证明了IQPF具有将多相码信号的多条脊线累积为一个峰值的优良性能，通过峰值将多相码信号的调频率估计出来，然后利用估计出的调频率计算FrFT的最佳旋转阶次，将多相码信号的FrFT分布由二维搜索转换为一维搜索，实现其他参数的估计。仿真实验验证了公式推导结果，并且证明了该方法的有效性。

1 信号模型

多相码信号的表达式[7]为

s(n) =Aej(2πf0n+φk),0≤n≤N-1，

(1)

式中：A为信号幅度；f0为信号载频；N为采样点数；φk为随时间变化的相位码序列，不同的序列代表不同的多相码信号类型。多相码信号主要包括Frank，P1，P2，P3，P4码，具体表达式参见表1[1]。

表1 多相码信号的相位调制

图1是对多相码信号的进行WVD变换的时频图(以P4码为例，其他码型时频图类似)。从图中可以看出，多相码信号在时频平面上表现为多条平行的脊线，并且这些脊线的能量呈现出从主脊线向副脊线逐渐减小的趋势。

多相码信号调制参数包括：调频率k，信号的码元宽度Tc，信号带宽B，它们可以通过图中脊线与时间轴的夹角α0，脊线间隔为d以及脊线与频率轴的截距fd计算出来：

(2)

2 算法原理

2.1 IQPF原理

信号s(t)的IQPF是对传统二次相位函数模值平方的积分，其表达式[8]为

(3)

式中:l=min(n,N-1-n)。

由图1中分析可知，多相码信号在时频平面内可以简单地看作是由数条平行的线性调频(LFM)信号组成，且多相码信号很难用一个确定的公式表达[9]，因此为了更加直观地通过公式推导从理论上证明IQPF的性能，本文在公式推导中采用多条调频率相同、起始频率不同的线性调频信号进行代替。

单分量LFM信号的解析表达式[10]为

(4)

式中：ω为角频率；k为调频率。

所以，多分量LFM信号的表达式为

(5)

式中：z为多分量LFM信号的分量数。

不失一般性，先对两分量LFM信号进行分析，将其表达式代入式(3)中可以得到

s2(n+m)][s1(n-m)+

(6)

式中:

(7)

(8)

将式(7)和式(8)代入式(6)中展开计算，得到结果如下:

(9)

式中:

(10)

(11)

(12)

W=ej[(ω1-ω2)+(k1-k2)n]m+e-j[(ω1-ω2)+(k1-k2)n]m.

(13)

由于多相码信号各脊线的调频率相同，因此将上述两分量的LFM信号的调频率设置为相等，即k1=k2=k，所以式(9)可以进一步简化为

(14)

式中:H=G(ej(ω1-ω2)m+e-j(ω1-ω2)m)。

对式(14)进行分析，当满足u=k时，两分量LFM信号的IQPFx(u)达到最大值。u≠k的其他点处IQPFx(u)的值都比较小，此时IQPF平面上在点u=k处出现一个峰值，如图2所示，其中一分量LFM的归一化起始频率为0.1，终止频率为0.2，另一分量LFM的起始频率为0.2，终止频率为0.3，采样点数为1 024。

当信号由多个调频率相同的LFM分量构成时，同样可以通过理论推导得出相同的结论。类比多相码信号，IQPF同样也可以将多相码信号的多条脊线能量累积到一个峰值上，如图3所示。峰值的累积能够产生抑制噪声的效果，且通过搜索该峰值的位置，可以有效地将LFM信号的调频率估计出来。其中，仿真信号是P1码，归一化载频为0.25，采样点数为1 024，码元宽度为64。

2.2 FrFT原理

FrFT可以看作时频平面的旋转算子，因此它适合于处理LFM类信号。作为广义的傅里叶变换的一种形式，信号s(t)的FrFT可以表示为[11]

(15)

Kp(t,u)=

(16)

式中:Kp(t,u)为变换核函数，p为变换阶数；α为旋转角度，且满足α=pπ/2。

FrFT一般被应用到处理LFM信号及类似LFM的信号(如多相码信号、线性调频连续波信号等)一类信号中[12]，是因为这些类似LFM信号的FrFT分布旋转到一定角度时会在相应的投影平面呈现出冲击峰值。

多相码信号的时频图是数条调频率相同的平行直线，所以多相码信号的FrFT分布在最佳旋转角处对应的投影平面上会出现多个冲击峰值，且各峰值之间的横坐标间隔相同[13]。如图4所示，由于多相码信号码型存在差异，多相码信号的FrFT需要分2种情况进行讨论：一种是P1/P2/P4码只有一条主脊线，在FrFT投影平面上只有一个最大峰值；另一种是Frank/P3码有2条主脊线，在FrFT投影平面上有2个近似相等的峰值。

搜索主脊线的位置可以估计出多相码信号的载频，利用图中的脊线间隔可以通过公式变换将剩余的参数估计出来。为了实现参数的快速估计，本文采用文献[14]中的分解型快速算法计算FrFT。

3 基于IQPF和FrFT的多相码参数估计算法

综上分析，本文提出利用IQPF和FrFT联合算法对多相码信号进行参数估计。具体算法步骤如下：

(17)

式中：α为最佳旋转角。

(3) 计算出信号最佳旋转阶次p下的FrFT分布，搜索平面内的最大值h1和次大值h2，求出它们的比值λ1=h1/h2，并记录它们对应的横坐标a1和a2。若λ1>0.5，说明此时多相码信号只有一条主脊线，即信号载频对应的横坐标a0=a1；若λ1<0.5，说明此时多相码信号有2条主脊线，即信号载频对应的横坐标a0=(a1+a2)/2。根据式(18)可以估计出多相码信号的载频为

(18)

(19)

式中:ΔF和ΔT分别为频率轴和时间轴的量化单位，且ΔF=fs/N,ΔT=1/fs(fs为采样频率，N为采样点数)。

4 性能分析及仿真实验

4.1 性能分析

(1) 对比分析

以RWT为例，RAT与之情况类似，如图5所示，RWT，RAT 2种方法在处理多相码信号，会产生多个峰值，使信号的能量分散到各个峰值上，在信噪比为10 dB时，各峰值明显，参数估计可以正常进行；但是在信噪比为-5 dB，RWT,RAT都产生一个较高的噪声基底，将较小的峰值淹没，无法准确地估计出多相码信号的参数。

如图6所示(以RWT为例，RAT与之情况类似)，6a)中采用的角度分辨率为1/180 πrad，6b)采用的角度分辨率为1/18 πrad。从图中可以看出，由于采用Radon变换，因此这2种方法参数估计的精度还会受到旋转角分辨率的影响。角度分辨率越高，估计精度越高，但计算量会增大；虽然角度分辨率降低，计算量会降低，但时频平面中的尖峰会变得模糊，导致估计值不准确；这个问题在IQPF方法中是不存在的。因此，IQPF在估计多相码信号的调频率问题上具有优良的性能。

(2) 计算量分析

当信号点数为N，旋转角度的个数为M时，采用RWT和RAT实现参数估计总体需要的运算量均为O(N2M)[15]。若只估计信号的调频率，RAT只对过原点的脊线进行积分即可，使得RAT比RWT计算量小，但是因为要对多相码信号的其他参数(如脊线间隔)进行估计，就必须对其他脊线也进行积分，所以两者的计算量相当。

本文算法是在IQPF之后进行一次已知旋转阶次的FrFT。由文献[3]可知，IQPF的计算公式比WVD和AF的计算公式多N次加法和乘法，这几种方法实质上都可以看作自相关之后进行傅里叶变换，计算量为O(N2lbN)，而已知旋转阶次的FrFT的计算量仅相当于一次N点的FFT，计算量为O(NlbN)，所以本文算法计算量小于RWT和RAT。

4.2 仿真实验

为了验证本文参数估计算法的有效性，对5种码型的多相码信号进行仿真实验。仿真信号的参数设置如下：

码元宽度tb为0.1 μs，重复周期T为6.4 μs，编码位数Nc为64，信号载频fc=25 MHz，采样频率fs=100 MHz。RWT和RAT的角度分辨率取为1/180 πrad。噪声采用高斯白噪声，且信噪比范围设置为-15～6 dB，每2 dB的信噪比作100次Monte Carlo仿真实验。

(1) 不同方法参数估计性能比较

以P4码为例，分别利用本文方法、RWT和RAT 3种方法估计出调频率k、码元宽度tb和重复周期T，并作3种方法估计参数的均方根误差(RMSE)与信噪比之间的关系图，如图7～9所示。

由图7～9分析可知，本文使用的参数估计方法在低信噪比的条件下较RWT和RAT参数估计方法的性能高。这是因为本文算法中的IQPF可以将多相码信号的所有脊线累积到一个峰值上，从而达到累积信号能量、抑制噪声和提高调频率估计精度的效果，而RWT和RAT2种方法不能将脊线累积到一个峰值上，导致信号能量分散，低信噪比的条件下平面内的峰值容易被噪声淹没，降低了估计精度，影响了算法的整体性能。而且本文方法不需要进行坐标变换，仅需进行一维搜索。所以本文的方法不仅具有较好的估计性能且在计算量方面存在优势。

(2) 不同码型的多相码信号间的性能比较

利用本文方法对不同码型的多相码信号估计载频、码元宽度和重复周期的RMSE与SNR的关系如图10～12所示。

从图10中可以看出，5种码型的多相码信号的载频估计的RMSE可以达到-55 dB以下；具体来看，在信噪比为-10～0 dB时，Frank/P3码的载频估计的RMSE比另外3种码型高约5～10 dB，这是因为Frank/P3码经过FrFT之后产生2个近似相等的最大值和次大值，导致单个峰值的幅度下降，从而使其抗噪性变差。

图11和图12是对5种码型的多相码信号的码元宽度和重复周期的估计性能进行比较。整体来看，5种码型的的码元宽度和重复周期估计性能相差不大；具体来看，在信噪比大于-10 dB小于0 dB时，Frank/P3码的参数估计的RMSE比另3种码型低约5～10 dB，这是因为这2种码型的多相码信号经过FrFT之后的次大值比其他3种码型得到的次大值要大得多，低信噪比下不易被噪声淹没，能够更好的估计脊线间隔，从而得到高精度的码元宽度和重复周期。

5 结束语

本文利用多相码信号与LFM信号具有类似时频特征的特点，提出基于IQPF和FrFT的多相码信号联合参数估计方法。理论上证明了IQPF可以将多相码信号的多条脊线累积为一个峰值，并利用IQPF估计信号的调频率，将FrFT的二维搜索中转化为一维搜索，估计信号的其他参数。联合参数估计方法的抗噪性能较强，且计算复杂度较低，估计精度不受角度分辨率的影响，克服了传统方法本身固有的缺陷。仿真实验表明，在低信噪比的条件下，联合参数估计方法的估计性能优于RAT和RWT 2种传统方法。为低信噪比下对多相码信号的参数估计提供了一种可靠的方法。

参考文献：

[1] PACE P E.Detecting and Classifying Low Probability of Intercept Radar[M].Norwood,MA:Artech House,2004:113-116.

[2] LI Ying-xiang,TANG Wei-wen,KUANG Yu-jun.A New Polynomial Phase Signal Detection Algorithm Based on the Combination of Filter Bank and Short-Time Radon-Wigner Transform[C]∥2010 IEEE International Conference on Communications and Mobile Computing.Shenzhen,2010,2:515-519.

[3] DENG H.Polyphase Code Design for Orthogonal Netted Radar Systems[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2004,52(11):3126-3135.

[4] 徐海源,黄知涛,周一宇.基于Radon变换的具有线性调频特性的多相编码信号参数估计[J].信号处理,2008,24(2):172-176.

XU Hai-yuan,HUANG Zhi-tao,ZHOU Yi-yu.Parameter Estimation Methods for Poly-Phase Codes Derived from LFM Waveforms Using the Radon Transform[J].Signal Processing,2008,24(2):172-176.

[5] 洪先成,张国毅.多相编码雷达信号参数快速估计方法[J].火控雷达技术,2010,39(3):28-32.

HONG Xian-cheng,ZHANG Guo-yi.Fast Parameters Estimation Approach of Poly-Phase Coded Signal[J].Fire Control Radar Technology,2010,39(3):28-32.

[6] JENNISON B K.Detection of Polyphase Pulse Compression Waveforms Using the Radon-Ambiguity Transform[J].IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems,2003,39(1):335-343.

[7] 李宏,秦玉亮,李彦鹏,等.基于AF的多相编码脉冲脉内调制参数估计[J].系统工程与电子技术,2010,32(9):1823-1827.

LI Hong,QIN Yu-liang,LI Yan-peng,et al.Parameter Estimation of Intro Pulse on for Poll Phase Coded Pulse Based on AF[J].Systems Engineering and Electronics,2010,32(9):1823-1827.

[8] 李建,张国毅,张旭洲.一种改进的多相码信号参数估计法[J].现代防御技术,2013,41(4):88-93.

LI Jian,ZHANG Guo-yi,ZHANG Xu-zhou.Parameter Estimation Method for Poly-Phase Coded Signal Based on the Modified FrFT[J].Modern Defence Technology,2013,41(4):88-93.

[9] 唐鹏飞,林钱强,袁斌,等.基于积分二次相位函数和分数阶Fourier变换的多分量LFM信号参数估计[J].信号处理,2012,28(7):926-931.

TANG Peng-fei,LIN Qian-qiang,YUAN Bin,et al.Parameter Estimation of Multi-Component LFM Signals Using Integrated Quadratic Phase Function and Fractional Fourier Transform[J].Signal Processing,2012,28(7):926-931.

[10] 王勇,姜义成.一种新的LFM信号参数估计算法[J].信号处理,2008,24(1):132-134.

WANG Yong,JIANG Yi-cheng.A New Parameter Estimation Algorithm for LFM Signals[J].Signal Processing,2008,24(1):132-134.

[11] 齐林，陶然.基于分数阶Fourier变换的多分量LFM信号的检测和参数估计[J].中国科学:E辑,2003(12) :749-759.

QI Lin,TAO Ran.Multi Component LFM Signal Detection and Parameter Estimation Based on Fractional Fourier Transform[J].Science in China：Series E,2003(12) :749-759.

[12] 史文国,徐向辉.基于分数阶傅里叶变换的多分量线性调频信号检测和参数估计的快速自适应方法[J].科学技术与工程,2012,20(7):1517-1521.

SHI Wen-guo,XU Xiang-hui.Fast Adaptive Method of the Multi-LFM Signal Detection and Parameter Estimation Based on Fractional Fourier Transform[J].Science Technology and Engineering,2012,20(7):1517-1521.

[13] Haldun M Ozatkas,Orhan Arikan,Alper Kutay M.Digital Computation of the Fractional Fourier Transform[J].IEEE Trans.on Signal Processing,1996,44(9):2141-2150.

[14] Steven M Kay,罗鹏飞.统计信号处理基础—估计与检测理论[M].北京:电子工业出版社,2011:44 -49.

Steven M Kay,LUO Peng-fei.Statistical Signal Processing-Estimation and Detection Theory[M].Beijing:Electronic Industry Press,2011:44 -49.

[15] 张贤达,保铮.非平稳信号分析与处理[M].北京:国防工业出版社,1998.

ZHANG Xian-da,BAO Zheng.Non-Stationary Signals Analyzing and Processing[M].Beijing:National Defence Industry Press,1998.