马璐，孙瑞胜

(南京理工大学 能源与动力工程学院，江苏 南京 210094)

0 引言

垂直发射技术使得导弹系统反应能力快速，发射效率高，360°无发射死角，装弹量大、火力强，有利于通用化、模块化，结构简单，工作可靠，成本低等优点[1-3]。应用垂直发射技术，导弹升空后要进行转弯控制，而这仅依靠常用的气动力舵面和翼面提供控制力和力矩是不行的，需要借助额外的发动机推力实现转弯控制。此外,如果转弯段攻角过大，导弹的气动非线性特性会非常明显，出现“失速”现象。因此可以通过选择合适的发动机推力大小和作用时间来有效改善弹道的性能。

本文的垂发超近程导弹射程一般在1 km以内，飞行时间短，能够快速打击或拦截来袭目标，可应用于高价值目标[4-5]的反导防御系统中，在来袭目标距离高价值目标的几百米的范围内进行防御作战。通过对垂发超近程导弹设计合理的弹道飞行方案，使在满足垂直发射、机动能力、飞行时间的约束条件下同时还要保证导弹的射程和精度指标具有重要的理论研究意义和工程应用价值。

弹道优化方法主要分为直接法和间接法两大类[6]，由于间接法的诸多局限性，直接法被广泛应用于当前的优化设计中。文献[7-8]针对滑翔弹道进行优化设计，采用的粒子群算法具有收敛速度快、计算稳定的优点。但是与其他全局优化算法一样，粒子群算法也容易陷入局部最优的情况，造成收敛精度不高并且收敛速度较慢。文献[9-10]针对飞行器多约束多阶段弹道优化模型基于序列二次规划法进行弹道优化设计。序列二次规划法收敛性好，边界搜索能力强，但是该方法适用于中小型问题，求解问题规模越大其稳定性越差。文献[11-13]提出了一种hp自适应伪谱法来解决复杂的多约束问题。和一般伪谱法相比hp自适应伪谱法综合了 h型细化方法的计算稀疏性和p型细化方法的快速收敛性,使其能够以较少的计算代价得到较高精度的解[14]。

垂发超近程导弹弹道优化设计问题是一个初始状态确定、多优化变量、含有飞行过程约束和终端约束的最优控制[15]问题。以垂直发射导弹为研究对象将不同阶段发动机推力、发动机推力作用时间和飞行攻角作为设计变量，同时设计飞行过程和飞行终端弹道参数约束，采用hp-伪谱法进行弹道优化设计。

1 问题描述

1.1 垂直发射导弹飞行过程

本文的研究对象有如下特点：导弹飞行用的主发动机兼用于导弹转弯段的姿态控制，发动机推力分不同阶段开关，推力方向沿弹轴方向，发动机在导弹落地前结束工作。针对最近射程，采取2段推力的设计方案对弹道进行优化设计。导弹飞行过程主要分为如下3段：

(1) 垂直发射段：采用冷发射方式，弹道倾角θ保持90°，导弹只受重力作用下到达预定高度时发动机点火控制。

(2) 大推力转弯段：由于此时导弹飞行速度较小，气动舵操纵的效果不明显，通过发动机推力影响导弹速度大小进而改变导弹的弹道倾角变化，完成转弯控制。

(3) 小推力飞行段：这段飞行过程要注意对飞行高度的限制，不能使弹道顶点过高否则难以满足终点射程约束。

导弹工作过程示意图如图1所示。

1.2 动力学方程

方案弹道初步设计过程中简化了运动模型,将导弹描述为理想的质点，暂时不考虑弹体绕质心转动的影响。以纵向平面内的质心运动方程为动力学模型[16]:

(1)

式中:m为导弹质量;P为发动机推力;Isp为发动机比冲;X=qSCx,Y=qSCy分别为阻力和升力，由动压q和气动特性决定，其中Cx和Cy是Ma和α的函数,可由吹风试验和数值计算获得; ϑ为导弹俯仰角;θ为弹道倾角;x,y分别为射程和飞行高度。

1.3 约束条件

(1) 导弹飞行过程状态参数约束

(2)

(2) 导弹飞行终端状态参数约束

(3)

(3) 控制约束

根据发动机推力工作特点设计t1为第1阶段发动机推力工作时间，P1为第1阶段发动机推力，t2为第2阶段发动机推力工作时间，P2为第2阶段发动机推力。根据飞行任务及外界环境变化需要,通过调整攻角达到预定的战术指标，因此同时把攻角α作为设计变量。发动机约束条件和飞行攻角约束条件为

(4)

1.4 目标函数

在弹道设计阶段，一个重要的指标是使得导弹在弹道末端的脱靶量最小。因此，弹道优化设计的目标函数为

J=min|xf-xc|，

(5)

式中：xf为弹道预先设计的射程；xc优化弹道的射程。

2 hp-伪谱法

hp-伪谱法通过判定准则在网格划分的迭代过程中能够独立改变网格单元的长度h和基函数的阶次p，在降低计算量的同时最大限度的保证优化精度。

2.1 优化问题离散

hp-伪谱法分别将状态变量和控制变量离散化[17]。系统的状态变量是用全局插值多项式表示为单元节点间系统时间和状态变量之间的关系。通过选择合适的配点对多项式求导获得状态变量导数，使其在配点处一定精度条件下满足系统的微分方程组，从而将系统动态方程约束转换为一组代数约束，动态方程被近似为光滑基函数的加权和。以节点处的控制变量和配点处的控制变量作为优化设计变量，由此将连续时域问题离散转换为非线性规划问题。

2.2 hp自适应迭代原则

当网格精度不满足最大设定误差要求时将选择是否细分网格单元或者增加插值多项式阶次。

(6)

利用拉格朗日插值多项式近似得到每个配点中点处的系统状态变量和控制变量。设

(7)

式中：系统状态变量为n个，控制变量为m个。定义残差矩阵为

(8)

|·|表示对矩阵R中的每一个元素取绝对值，则R中的每个元素分别对应着系统动力学方程组在中点处的残差。进一步，取R中每一行最大的元素构成新的列向量，设为

(9)

取算术平均得到

(10)

标准化得到

(11)

向量χ就是迭代判断准则，当χ中所有元素的量级相当时应通过增加插值多项式的阶次来实现计算精度的提高;当χ中某些元素的量级明显大于或小于其他元素,则应通过网格细化实现计算精度的提高。

2.3 hp-伪谱法计算步骤

自适应伪谱法计算步骤如下所示：

(1) 网格区间初始化，区间配点数为Li，Δti∈[ti-1，ti],i=1,2,…,n，利用hp-伪谱法将优化问题转化为非线性规划问题并采用二次序列规划法进行求解。

(4) 根据上一步的计算结果构建新的网格区间，求解当前的非线性规划问题。

(5) 判断重新构建的网格区间相对容许误差是否满足给定的允许误差，若满足优化结束退出程序，否则回到步骤1重新优化。

3 仿真算例分析

3.1 参数设置

以某垂直发射导弹为例，采用hp-伪谱法对其弹道进行优化。

(1) 导弹飞行过程约束条件

(12)

(2) 导弹飞行终端约束条件

(13)

(3) 优化控制变量约束条件

(14)

3.2 仿真结果与分析

方案1代表hp-伪谱法，方案2代表遗传算法，P1和t1为发动机第1阶段推力和作用时间，P2和t2为发动机第2阶段推力和作用时间。表1和图2分别给出了2种方案的推力优化结果和推力随时间变化的过程，图3～7给出了弹道参数对比仿真结果。

表1 发动机推力优化结果

(1) 根据表1和图2的发动机推力优化结果可以看出2种方法的推力优化方案大致相同，验证了hp-伪谱法发动机推力优化方案的合理性。

(2) 图3～5 hp-伪谱法和遗传算法的仿真结果相差不大，导弹飞行轨迹均比较合理，导弹飞行状态参数、脱靶量均满足约束要求。

(3) 由图6～7 hp-伪谱法和遗传算法的仿真结果看出，2种算法的优化攻角、过载的变化趋势相同。导弹在转弯段攻角变化比较平缓没有出现大攻角的飞行状态，说明合理的选择发动机的推力大小和作用时间能有效改善弹道的性能。但是发动机推力优化结果的微小差异造成导弹进行转弯控制的高度和时刻都存在微小的差异，优化结果的攻角却产生了明显的不同，表明了导弹的飞行攻角在大推力转弯段对发动机的推力的作用时间十分敏感，这在今后进行垂发导弹弹道优化设计时需要特别注意。

4 结论

(1) 针对垂直发射导弹超近程弹道优化问题，通过引入多设计变量和多约束条件将弹道优化问题转变成非线性规划问题，仿真表明优化模型比较合理。

(2) 根据仿真结果，hp-伪谱法在解决垂直发射导弹超近程弹道优化问题上能够生成较为合理的优化方案，在应对多优化设计变量上能够寻找到合理的优化解。

(3) 结果表明可为垂发超近程导弹弹道优化设计提供参考。

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