曹培英

【编者按】人们都说数学是抽象的，抽象思维是学生应当具备的数学素养之一。教师在实际教学中，面对着以形象思维为主的学生，如何培养其抽象思维，谋求数学的抽象性与儿童思维形象性的和谐统一，对于教学目标的达成，学生的后续学习都是十分重要的。本期话题，围绕“小学数学教学中学生抽象思维养成”展开探讨。

一、相关概念的辨析

1. 抽象思维与逻辑思维。

心理学认为，思维是一种基于感知觉、超越感知觉的认知活动；它是人脑借助语言、表象或动作实现的，对客观现实概括、间接地反映，它反映的是事物的本质属性与事物之间的联系。按照发展水平的不同，思维可分为直观动作思维、具体形象思维、抽象逻辑思维（又叫作抽象思维或逻辑思维）。

也就是说，在心理学中，抽象思维就是逻辑思维。抽象思维既不同于以动作为支柱的动作思维，又有别于以事物表象为支撑的形象思维，它是以概念、判断、推理的形式反映客观事物本质特征与内在联系的思维。

例如：计算7-3。儿童依靠扳手指的动作获得答案，属于动作思维；凭借头脑中的直观形象得出结果，则是形象思维；而依据数的组成想出得数，就是初步的抽象思维了。

2. 抽象、概括与抽象思维。

按照心理学的解释，所谓抽象是指在分析、综合、比较的基础上抽取同类事物具有的共同的、本质的特征，舍弃个别的、非本质特性的思维过程。

这种抽取事物本质特性的思维过程也有程度（水平）的区别。例如，从具体的一个个物体抽象出它们的数“1”，无疑是一种抽象，由具体的数1、2、3……抽象出自然数的概念，则是更高水平即抽象程度更高的抽象。

所谓的概括也是思维过程的一种，它是在抽象的基础上，把抽象出来的事物共同的本质特征综合起来，并推广到同类事物上去的过程。可见，抽象联系着概括，概括必须借助于抽象。

例如：教学三角形的认识。从现实原型抽象出三角形的图形，再到概括三角形的图形特征，再描述概念。这是小学数学概念形成的典型过程，抽象与概括的相互联系可见一斑。

我们通常在两种意义下使用“抽象思维”这一名词：一是指相对于形象思维而言的逻辑思维，二是指与具体化相对的一种思维过程。不难理解，抽象与抽象思维都是思维的过程，它们的区别在于前者是“舍去→抽取”的思维过程，后者是“概念→判断→推理”的思维过程。它们之间的内在联系，最明显的是：抽象思维得以实现的前提就是从实体中抽象出概念，进而才有依据概念的判断与推理。实际上，抽象与抽象思维的紧密联系具有更广泛的表现。例如：由长5厘米、宽3厘米的长方形根据乘法的含义推出它的面积是“5×3”平方厘米，这是相对具体的推理，然后抽象出长方形一行a个面积单位，有这样的b行面积单位，进而推导出长方形的面积等于“长×宽”，显然是更为抽象的推理。

有别于心理学的视角，在数学及其教学研究中，习惯上也常常将“抽象”说成“抽象方法”与“抽象思想”。前者是因为思維过程蕴含方法；后者是鉴于数学在本质上研究的是抽象的东西，数学发展所依赖的最重要的基本思想就是抽象。

二、抽象思维与数学学习的关系

抽象思维的两种含义都与数学学习密切相关。

首先，抽象是数学的起点，数学的研究对象，无论是数与形，还是数量关系与图形关系，都是抽象的结果。可以说，没有抽象就没有数学，也就没有数学的学习内容。

国外对数学能力的研究，影响较大的如苏联心理学家克鲁捷茨基关于数学能力结构的研究，通过实证得到：迅速、广泛地概括数学材料的能力，在各数学能力成分中位于首位。我国的心理学研究者如朱智贤、林崇德则更一般地认为：发展学生的概括能力是发展思维、培养智力的一个重要环节。毕竟思维发展的重要指标就是学生能从具体事物中概括出抽象的东西。

这些研究之所以特别关注概括，可能主要是由于抽象与概括的思维过程，最终是通过概括显性表现。实践同样表明，让学生经历抽象与概括的思维过程，是把数学对象从具体情境中剥离出来并提升意义理解的重要手段。

其次，概念、判断与推理等思维形式不同程度地贯穿数学学习的始终，因此真正的数学学习离不开逻辑思维，反过来，数学学习又是发展学生逻辑思维的主要途径。这是数学的学科特点，也是它的育人优势。

三、培养小学生抽象思维能力的主要策略

这里仅就小学数学中的抽象过程，例谈若干比较直接、主要的教学策略。

1. 从具体到抽象。

这一基于抽象本意（相对于具体化的思维过程）的教学策略，无疑是让学生经历抽象、概括思维过程的基本策略。

例如，加法交换律的教学（人教版四下）。从具体的实际问题（李叔叔骑车旅行）抽象出具体的算式（40+56，56+40），并且补充具体的算式例证，再到用语言、用符号概括例证中加法运算共同的特性，最后用字母表达。这一“去情境化→数学化”的整个教学活动反映了相当完整的抽象、概括的思维过程，有效引领学生实现从具体到抽象的数学认知。

有必要指出，上述过程中“补充具体算式例证”，旨在丰富、增强学生的感性认识，但与其追求例证数量，不如追问：“还需要更多的例子吗？为什么？”从而启发学生用自己的语言，对规律作出解释。就如：从数数的顺序与结果无关、从加法的意义“合并”等视角，说明规律的必然性。因为例证举得再多，既无法穷尽，也无法确保不出现例外，而说明算理，则相当于揭示了其中的因果关系。这也有助于提升学生的抽象、概括的理解水平。

2. 从直观到抽象。

小学生的思维特点是从以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式。在这过渡中，仍然需要直观形象的支撑。因此，加强直观教学是小学数学的主要对策。

以分数初步认识为例，各地教师都非常重视实物直观、图形直观的应用。

提问：“为什么不同的折法，每一份都是四分之一？”让学生通过自己的语言表达促进抽象。

（2）用分数表示每个图中的一份（图2）。

提问：“为什么不同的图形，每一份还是四分之一？”帮助学生进一步抽象，感悟分数的实质。

3. 从经验到抽象。

小学数学化解抽象的常用手段及其策略，除了用好几何直观，还有调动学生的生活经验与学习经验。

例如：学习异分母加法。教师通过以下几题的比较异同，启发学生抽象出加法的原理：（1）3元7角+2元=？（2）37+20=？（3）3.7+2=？

这里既有生活经验（人民币的计算），也有先前的学习经验（整数、小数的加法），通过计算（都是3+2）、说理，不难抽象概括出“相同计数单位的数相加”的共同本质。

4. 重视思维互逆过程的体验。

从具体、直观到抽象的过程与从抽象到具体、直观的过程，构成了双向的联想（联结）与可逆的心理过程，它们常常相辅相成，能够有效地促进学生的抽象思维，提升理解水平。

例如：乘法分配律的教学（沪教版四上），先由具体实例、数形结合，引出两种算法，并加以比较。在此基础上教学超越问题的现实情境，过渡到抽象的数学模式（用字母表示）。进而引导学生将分配律应用于具体的实例。

显然，通过数学结论返回具体的应用与解释，上述教学在巩固学生抽象认知的同时，还培育了他们的数学应用意识。

此外，把握抽象概括的时机、及时抽象与逐步抽象，以及多种手段、方式的协同等策略，就不再一一展开了。endprint