摘要：二次根式概念的理解辨析;二次根式运算法则及公式;运算中常见错误的分析;如何提高二次根式运算能力。

关键词：二次根式;运算法则及公式;常见错误;运算能力

在初中数学教学中，师生们往往会淡化学生的计算问题，甚至认为计算错误仅仅是粗心、失误，其实上了中学以后，计算能力的培养是数学能力要求不可或缺的重要部分，特别是二次根式的运算，因数域拓展到实数，很多学生会停留在小学中的整数或分数运算模式中，没有将数的运算提升到“式”的运算模型，导致运算过程的种种错误，如果不及时纠正引导，对以后的分式运算、因式分解、解方程或不等式等都产生直接的影响，那么如何过好二次根式的运算关呢？

一、 重视概念的理解辨析

数学概念定义作为知识模块的基础，在教学过程中务必重视，分析到位，辨析清楚，后面的运算法则、公式才能得以引出应用。在与二次根式运算相关的概念中，有两个特别关键，一个是“平方根”，一个是“最简二次根式”：若一个数x，它的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=±a。注意两点：A. 它与平方是逆运算，但不是一对一的逆运算，即“一个数的平方的平方根不一定是本身，一个数的平方根的平方是原数！”刚开始学习学生对这一关系不好理解，可以举个例子：小明的父亲的儿子不一定是小明（可能是小明的兄弟）;张三的儿子的父亲一定是张三！B. 它与算术平方根有区别，也就是±a与a的区别，算术平方根概念中是“一个正数x”，结果就是a。一个典型的例子：4的平方根是。（是±2，而不是2）

最简二次根式是指被开方数不含分母（其实还应指出分母不含根式），也不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。有关二次根式的化简运算首先应将它们化为最简二次根式，而是否最简不是看形式结构，而是上述概念中的两个要求，例如12、15貌似简洁但不是最简。若遇到形如12+13的运算必须将两个数都化为最简二次根式，否则无法进行求和。

二、 熟练掌握二次根式的运算法则及公式

A. 乘除运算法（用字母表示，下同）：a·b=ab，（a≥0，b≥0），ab=ab，（a≥0，b>0）。这两个法则是通过验算得到的，学生接受起来不难，但是不少同学会想当然地认为a+b=a+b或a-b=a-b！这是错误的！可以通过多举一些反例如：4+9≠4+9加以说明。另外，还要注意a、b的取值范围，特别是从左往右运算的时候。

B. 加减运算法：ma±na=（m±n）a。二次根式的加减运算类似于合并同类项，但要求先化简，只有化为最简二次根式后，被开方数相同，才能进行加减合并。教师教学过程中必须把A、B两种运算做全面对比，还要与整式的加减运算法则进行对比，才能更好掌握运算法则，防止运算错误。

C. 乘方开方运算法则：（a）2=a，a2=|a|。第一个式子可直接由概念引出，结合例子如（4）2=4，（7）2=7等理解。第二个式子特别难！学生很容易误认为a2=a。应通过多几个正反例子增加印象，并把例子适当变形升级，如52=5;（-5）2=5;（x2+1）2=x2+1，（π-4）2=|π-4|=4-π。两个乘法公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，（a+b）（a-b）=a2-b2对于二次根式的化简计算帮助很大，必须熟练掌握！例如化简13-2，必须利用平方差公式将分子分母同乘3+2，才能化为最简：13-2=3+2（3-2）（3+2）=3+23-4=-3-2。而对于形如（25+2）2的运算，应注意利用公式当成“式子”展开进行：（25+2）2=（25）2+2×25×2+（2）2=20+410+2=22+410。

三、 常见运算错误举例分析

在教学过程中发现，学生在进行二次根式运算过程中出现的错误情况五花八门，简直是应有尽有、匪夷所思！但仔细分析可以发现，主要是概念、法则理解掌握不牢，或与其他法则混淆。例如：

①2+3=5，错误原因：与2×3=6混，运算法则没理解。

②57-37=2，错误原因：合并同类项运算不过关，丢失了7，它与5a-3a的运算是类似的。

③（7-2）2=72-22=7-2=5，错误原因：一方面表达不规范，（7）2，（2）2应带括号;另一方面，乘法公式运用错误，漏了中间项。

④116=18，错误原因：概念不清或误以为82=16。

⑤9的平方根是。错误答案一：3;错误原因是直接求9=3。错误答案二：±3，错误原因是没有将9的平方根与9的平方根区别开来。

⑥323+12-2=2+23-2=2，错误原因：在化简323时，将根号内外的3进行约分了！

四、 如何提高二次根式的运算能力

针对以上学生出现的二次根式运算问题，我们在教学过程中要注意运算能力（准确程度、合理程度、简捷程度及快慢程度）的培养！让学生准确理解和牢固掌握二次根式运算所需的概念、公式、法则，注意例题的典型示范，明确解题的目标、计算的步骤及其依据。通过典型示范比较顺利的由理解知识，过渡到应用知识，从而形成运算能力。并时刻注意与其他知识点的对比，如与整式运算、与有理数运算的对比。当然，加强二次根式的运算练习是必不可少的，任何能力都是在一定的实践活动中形成和发展起來的，为了有效提高学生二次根式运算能力就必须加强练习，我们在设置练习时要有目的性、系统性、典型性。通过错题重做、一题多变、一题多改，培养运算的准确性、熟练性、灵活性，以题组训练形式培养学生运算过程中思维的深刻性，那么就一定能让学生在二次根式运算能力方面有一个全面的提高。

作者简介：

沈明俊，福建省漳州市，福建省诏安第一中学。