摘要：苏教版必修二中讨论了两圆的位置关系，本文利用分类讨论的思想对三圆位置关系进行了系统讨论，按照交点个数从零到六共七种情况分别讨论，得到了三圆的45种位置关系，从而提高了学生对数学的学习兴趣，在整个讨论过程中，体现了学生对数学知识的极大渴求欲望。

关键词：分类讨论;三圆;相切;相交;相离

苏教版必修二§2.2.3节《圆与圆的位置关系》中主要讲述了两个圆之间的五种位置关系，并且重点讨论了两圆相切这种情况，这也是教学与考试的重点与难点所在。在教学过程中为了拓宽学生的思路以及培养学生分类讨论的思想，我引导学生探讨了三圆之间的位置关系。

在讨论两圆位置关系时，我们把其中一个圆固定，另一个圆在发生位置变化的过程中产生了五种不同的位置关系，利用模具演示使学生在直观上对这种关系进行理解，在探讨三圆位置关系时，我引导学生进行类比思考，我们可以先固定其中的两个圆，然后让第三个圆在变化过程中形成各种不同的位置关系。

因为三圆的位置关系比较复杂，变化比较多，我首先让大家独立思考两分钟，然后讨论一下看怎么样才能把三圆的位置关系找全，做到不重不漏。几分钟后，一个学生站起来说，我们可以利用切、交、离——即两两之间的位置关系来进行分类讨论，把每一类对应的都找出来，大家都赞同他的说法。我说很好，我们可以按照这种方法进行分类，那么还有其他的分类方法吗？

另一位同学说：我们可以利用三圆之间的交点个数进行分类，把每一类对应的都找出来就可以了。其他同学纷纷站起来说出很多种分类方法。

最后大家一致同意以交点个数作为分类的依据进行讨论，为了节约时间，我让每一个小组探讨一种情况，即第一组讨论交点为零的情况，第二组探讨交点为一个的情况……以此类推。下面是我们探讨出的三圆位置关系：

一、 交点为零的情况，共有四种

二、 交点为一个的情况共有九种

三、 交点为两个的情况，共有十种

在讨论这种情况的时候有同学提出其中两圆外切，第三个圆过切点与其中一个相交，与另外一个相切这种情况（如下图1），刚开始有很多同学附和说这也是两个交点的一种情况，这时候另一个同学站起来说：这种情况是不存在的，因為两圆相切时两圆圆心与切点在同一条直线上，所以图1所画出来的并不正确，刚才那位同学所说的应该是图2这种情况，这时候有三个交点。

四、 交点为三个的情况，共有八种

通过本节课的学习，同学们表现了对学习的极大热情与对知识的极大渴求。同学们对三圆之间的位置关系有了一个最直观、最全面的了解，对分类讨论思想有了极深的理解和掌握。同时也充分体现了同学的合作互助能力。通过这节课的学习，我认为在今后的教学过程中应该多增加些这类探索、发散性题目让学生去思考，培养学生思维能力，这也是我们数学教学的基本思想所在，数学就是要培养人们的逻辑思维能力，从而使人们的思维更加缜密。

参考文献：

[1]仇炳生.普通高中课程标准实验教科书（苏教版）《数学2（必修）》[M].南京：江苏教育出版社，2017.

作者简介：

陈星，江苏省宿迁市，江苏省泗阳中学。