摘要：特殊三角形一直是初中数学研究的重点，它们除了具有普通三角形的所有性质外，还具有本身的特殊性质，在中考几何中占有重要的位置。特殊三角形常见的辅助线中有旋转，旋转被广泛用于解决一些较难的几何问题，大多时候可以做到一转解千愁。为学生们更好的掌握好这一知识点，本文结合2018各地中考题中以特殊三角形为背景的例题加以说明。

关键词：等边三角形;等腰直角三角形;手拉手全等;旋转

一、 相关模型

模型一等边三角形类型

题目中如果有出现等边三角形，那么可以考虑把某一个图形绕已知图形中的一个固定的点旋转60°，使得旋转后重新构造一个等边三角形。如下图（1），图（2），在等边△ABC中，点P是△ABC内任意一点，在公共平面，把△ABP绕点A按逆时针旋转60°，满足旋转前的线段AB旋转后同线段AC重合。通过图（1）到图（2）的变化后，此时△PAP′也是等边三角形，则PP′=PA，得到图（1）中的不在同一个三角形中的三条线段PA，PB，PC集中于图（2）中的同一个△PCP′中。

图（1）图（2）

模型二等腰直角三角形类型

题目中如果有出现等腰直角三角形，那么可以考虑把某一个图形绕已知图形中的某个固定的点旋转90°，使得旋转后的图形中出现一个新等腰三角形。如下图（3），图（4），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC。点P为Rt△ABC内任意一点，在公共平面内将△ABP绕点A按逆时针旋转90°，使得旋转前的线段AB旋转后与线段AC重合。经过图（3）到图（4）的旋转变化后，则AP′=AP，得到圖（4）中△PAP′为等腰直角三角形。

图（3）图（4）

模型三旋转构造手拉手全等类型

如果已知题目中提到有公共端点的相等线段（特殊情况：等腰三角形），又已知量比较分散，则可以考虑旋转，旋转角应该定为相等线段的夹角，构造手拉手全等三角形。如下图（5），在△ABC中，CA=CB。线段AB上有一点D，CD=CE，∠ACB=∠DCE，连接BE。因为CA=CB，∠ACB=∠DCE，CD=CE，又有共同的端点C，所以△CBE可以看做是由△ACD绕点C旋转∠ACB得来，此模型为手拉手全等模型。

图（5）

二、 例题解析

【例1】（2018·山东淄博）如右图，P为等边△ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则等边△ABC的面积为（）

A. 9+2534B. 9+2532

C. 18+2532D. 18+253

简析：要求等边三角形的面积，方法一：先求等边三角形的一边长，如：AB的长度，然后再利用S等边△ABC=3AB24即可;方法二：可以用分割法，先分别求出S△PAB、S△PAC、S△PBC，然后再求出它们的和即为等边△ABC的面积。已知条件只告诉我们PA，PB，PC的长度，则用方法二求S△PAB、S△PAC、S△PBC的面积不好求，故我们考虑用方法一。因为已知条件PA，PB，PC不在同一个三角形中，又△ABC是等边三角形，所以考虑用模型一的方法。将△BCP绕点B逆时针旋转60°得△ABE，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=CP=5，∠EBP=60°，则△BEP为等边三角形，得到EP=BP=4，∠BPE=60°。延长BP，过点A作AF⊥BP于点F。在△AEP中，AE=5，EP=4，AP=3，可得△AEP为直角三角形，且∠APE=90°，则可得到∠APF=30°。在Rt△AFP中可得AF，PF的长度，从而可以得到BF的长度，那么在Rt△ABF中可求得AB的长度，进而求得三角形△ABC的面积。

解：∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，∴绕点B把△BCP按逆时针旋转60°得到△BAE，连EP，并延长BP，过定点A作AF⊥BP于点F，故BE=BP=4，AE=CP=5，∠EBP=60°，∴△BEP为等边三角形，∴EP=BP=4，∠BPE=60°。在△AEP中，AE=5，EP=4，AP=3，∴AE2=EP2+AP2，∴△AEP为直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APF=180°-∠APE-∠BPE=180°-90°-60°=30°。在Rt△APF中，∵∠APF=30°，∴AF=12AP=32，∴PF=AP2-AF2=32-322=274=332。在Rt△ABF中，AB2=AF2+BF2=322+4+3322=25+123，∴S等边△ABC=3AB24=3425+123=9+2534。故选：A。

点评：本题中，因为已知条件中所给的三个已知量PA，PB，PC的长度，显得比较分散，没有在同一个图形中，与所求等边三角形的面积没有直接关系，所以解决本题的关键是对已知图形进行整合。把已知条件中三条线段PA，PB，PC转移到同一个图形中，又因为已知图形是等边三角形，这时常常将已知图中的某个图形绕一定点旋转60°后将分散的已知量集中在同一个图形△AEP中，充分利用了旋转前后的不变量，使已知图形中的角、线段充分得到利用，之后利用图形中的特殊边角关系使问题得以解决。

【例2】（2018·四川绵阳）如右图，△ABC和△CDE中，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°。△ABC的顶点A在△CDE的斜边DE上，若AE=2，AD=6，则两三角形重叠部分的面积为（）

A. 2B. 3-2C. 3-1D. 3-3

简析：要求重叠部分的面积，方法一：可以构造辅助线用三角形的面积公式或割补法;方法二：根据相似三角形的性质求面积法。已知条件只告诉我们AE，AD的长度，则用方法一进入死胡同，所以我们考虑用方法二。因为已知条件AE，AD在同一个三角形中的同一条边上，发挥不了作用，又△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，所以考虑用模型二的旋转法。连接BD，过点C作CH⊥DE，根据∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE，得∠ADC=∠BAC=45°，再由同角的余角相等可得∠DCB=∠ACE，又因为AC=BC，CD=CE，所以根据SAS得△BCD≌△ACE。根据全等三角形的性质知BD=AE=2，∠BDC=∠E=45°，从而得∠ADB=90°。在 Rt△ABD 中，根据勾股定理得AB=22，从而根据勾股定理的逆定理得AC=BC=2，CD=CE=1+3。根据等面积法SRt△CDE=12DE×CH=12CD×CE，从这个式可以求出CH=2+62，可得S△ACD=3+32。因为∠ADC=∠BAC=45°，∠ACO=∠ACD，得△CAO∽△CDA，故由面积比等于相似比的平方从而求得题目中两个三角形重叠部分的面积。

解：连接BD，过点C作CH⊥DE，∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，

∴∠DCB=∠ACE，又∵AC=BC，CD=CE，∴△BCD≌△ACE，

∴BD=AE=2，∠BDC=∠E=45°，

∴∠ADB=∠BDC+∠ADC=45°+45°=90°。

在Rt△ABD中，AB2=BD2+AD2=（2）2+（6）2=8。

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2=8，∴2AC2=8，∴AC=BC=2。

在Rt△CDE中，CE2+CD2=DE2=（2+6）2，∵CE=CD，

∴CE=CD=2+62=1+3。

∵SRt△CDE=SRt△CDE，

∴12DE×CH=12CD×CE，∴CH=CD×CEDE=3+122+6=2+62，

∴S△ACD=12AD×CH=12×6×2+62=3+32。

∵△ABC和△CDE中AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ADC=∠BAC=45°，又∵∠ACO=∠ACD，∴△CAO∽△CDA。

∴S△ACOS△DCA=ACCD2，∴S△ACO3+32=21+32，∴S△ACO=3-3。则答案为D。

点评：在本题中，因为已知条件中所给的已知量AE，AD在同一个三角形中的同一条边上，与所求阴影△ACO的面积没有直接关系，所以解决本题的关键是对已知图形进行整合，把已知条件转移到同一个图形中，充分利用了旋转前后的不变量，使问题得到解决。

【例3】已知：如右图，△ABC是等边三角形且各边长为1，△BCD是等腰三角形，且BD=CD，顶角（∠BDC）为120°，∠MDN=60°，点M交于AB边上，点N交于AC边上。求证：△AMN的周长等于2。

简析：要求证△AMN的周长等于2，而已知条件告诉长度的只有△ABC是边长为1的等边三角形，所以需要证明它等于等边△ABC的两边的长，只需证MN=BM+CN。采用旋转构造全等的方法来解决。

证明：把△DBM绕点D顺时针方向旋转120°，使得点B与点C重合，点M落在点M′的位置，∴∠MDM′=120°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°。

∵△BCD是顶角（∠BDC）为120°的等腰三角形，∴∠DCB=∠DBC=30°，

∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+30°=90°，同理∠DBM=90°。

∵△CDM′是由△BDM旋转120°得来，

∴∠DCM′=∠DBM=90°，CM′=BM，DM′=DM。

∴∠ACD+∠DCM′=90°+90°=180°，∴M′，C，N三点共线。∵∠MDN=60°，∴∠M′DN=∠MDM′-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠M′DN=∠MDN=60°。

∵DN=DN，DM=DM′，∴△DMN≌△DM′N。

∴MN=M′N=M′C+CN=BM+CN。

∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+BM+CN=AB+AC=1+1=2。

点评：在这道题目中，已知长度的量只有△ABC的各边长为1，所以需要证明△AMN的周长等于等边△ABC的两边的长，故只需证MN=BM+CN。又BM，CN没有在同一条直线上，所以解决本题的关键是对已知图形进行旋转整合，把已知条件BM，CN转移到同一条直线上，充分利用了旋转前后的不变量，得到BM+CN=M′N。要证MN=M′N，根据之前的分析由全等可以证得，使得问题得到解决。

三、 总结

几何中出现下列几种图形，常考虑用旋转变换来做题。

1. 图形中如果出现等边三角形，则可以考虑把已知的某一个图形旋转60°，使得比较分散的一些未知量尽量放在同一个图形中;

2. 图形中如果出现等腰直角三角形（或正方形），则可以考虑把已知题中的某一个图形旋转90°，使得比较分散的一些未知量尽量放在同一个图形中;

3. 已知图中如果有公共端点相等的线段（特例：等腰三角形），則应该考虑把已知题中的某一个图形旋转角定为相等线段的夹角，使得比较分散的一些未知量尽量放在同一个图形中。

参考文献：

[1]【美】G·波利亚.怎样解题[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2011.

[2]陈晓芳.浅析中考中的三大类特殊图形旋转问题归类剖析[J].中学数学，2016（1）.

作者简介：

张春花，福建省莆田市，福建省莆田市莆田二中。