余炜炜

摘要：导数，它是一种工具，一种研究函数的工具，已经成为了高中数学中必不可少的一部分，也是高考中的一个考试热点，它在求函数的切线方程、单调性、最（极）值、证明不等式以及生活中的优化问题等都有着非常重要的应用。希望能够通过导数在数学题中的应用，来拓展学生在解题中的思路。

关键词：导数；函数；高考；应用

高中数学在这几年新课改下增加了一些内容，导数就是其中一个。作为高等数学中的内容，导数其实是微积分的初步知识，因此，中学引入导数这个知识点，也为以后進入大学继续深造打下良好的基础。另外，我们都知道不管是初等数学还是高等数学，函数都是抽象的，很多学生学不好数学的一个重要原因就是由于函数，但是函数又是高中数学的主线之一，在高考中的比例比较重，所以我们有必要把函数学好。自从导数加入到高中数学后，它就成为了研究函数的一种载体，给中学生提供了一种更好用、更方便的方法，提供了一种重要的思想，这也在很大程度上激发了他们学习数学的兴趣和积极性。导数在高考中经常出现在一道大题和一道小题上，而大题又经常以压轴题的形式出现，可以说是难题。本文就通过一些高考出现的考题，来谈一谈导数在高考中的应用

一、 利用导数解决切线问题

近几年，导数的几何意义在高考中是考查的热点，它经常与解析几何交汇命题，考查学生解决综合问题的能力，大部分是以小题的形式出现，偶尔的时候也会出现在大题的第一问上。而导数的几何意义主要是用来解决有关切线的斜率问题，这是由于导数的几何意义是：函数y=f（x）在点 M（x0，y0）处的导数f′（x0）就是过点M的切线的斜率。

二、 利用导数解决函数的性质问题

中学数学经常要研究函数的性质，诸如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、有界性等等，而图像是研究这些性质最好用的一种方法。因此，如果我们能够作出相关函数的图像，那这些问题就比较容易解决了。但是这里的关键地方就在于，我们要准确地画出函数的图像才行。如果研究的函数是基本初等函数，像y=2x等，那么我们可以通过描点法画出函数的图像，但是如果涉及的函数是比较复杂的非基本初等函数呢？比如y=ax+lnx，y=x3+2x2-3x+1等等，再画图形就有点心有余而力不足了。而引入导数这个知识点后，我们发现解决这类型的函数题目就不会感到那么困难了。我们只需要利用求导数判断出函数的单调区间，极值点、最值点，有的时候再结合一些特殊情况就可以作出大致的图像，从而进一步研究性质。下面我们一起来看一道2014年安徽省高考的题目。

三、 利用导数解决不等式问题

从最近几年高考来看，有关不等式证明的题目，综合性都很强，重难点也不太好把握，往往越短的一道题目，我们由于不知道从何入手，反而越不容易解答。传统的证明不等式有很多方法：比较法、综合法、分析法、数学归纳法、放缩法等等，而新课改后，导数成为了证明不等式的一种很实用的方法，这并不是说传统的方法不能用了，而是由于有的不等式题目用初等数学方法是很难证明的，但是如果我们能够以导数为工具，根据所要证明的不等式的特点，构造恰当的函数，把不等式的证明问题转化为函数的最值问题，再利用单调性或者其他的知识来解决，就会发现问题已经简单化了。

四、 利用导数解决实际问题

利用导数，我们不仅仅能够解决求解切线方程、研究函数性质、证明不等式等问题，还能够解决一些实际应用题，比如生活中的优化问题——利润最大、费用最省、效率最高等等。在2011年的高考中，就出现过好几个省的应用题考查导数的知识。

【例4】（2011·山东）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米）其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803π立方米，且 l≥2r。假设该容器的建造费用仅与其表面积有关。已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千米，半球形部分每平方米建造费用为c（c>3）千米。设该容器的建造费用为y千米

（1）写出y关于x的函数表达式，并求该函数的定义域。

（2）求该容器的建造费用最小时的r。

五、 结束语

随着时代的发展，导数在高中数学中的地位不断提升，它还与越来越多的其他知识相交汇，比如数列，立体几何、三角函数等等，几乎贯穿于高中数学的六大模块。导数不仅仅是高中数学的重要知识，它还蕴含着丰富的数学思想，为我们解决数学问题带来了很大的方便，也很好地帮助我们学好中学数学。因此，中学数学引入导数是很有必要且有意义的。

参考文献：

[1]王宝祥.浅谈导数与不等式证明的知识整合[J].中学数学研究，2005，（4）.

[2]李秋凤.导数在函数问题中的应用[J].中国科技信息，2006，（3）.

[3]祁丽娟.谈在高中数学课程中开设导数及其应用的必要性[J].甘肃教育，2006，（4）.

[4]李玉欣.导数的几种常见用法[J].考试周刊，2009.

[5]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义[M].高等教育出版社，2001.