安徽 赵艳丽

平面向量面积比问题的探究与应用

安徽 赵艳丽

这是一道平面向量面积比问题，小题中的难题，在高考、竞赛试题中时有出现，有没有什么方法可以帮助我们快速、准确地解决这类问题呢？

一、面积比与系数的关系

证明：作PD∥AC交AB于D,PE∥AB交AC于E,

即△APB的高h1与△ABC的高h之比为μ，

即S△PAB∶S△ABC=μ∶1.

同理，S△PAC∶S△ABC=λ∶1，即S△PAB∶S△PAC=μ∶λ.

观察图形易得S△PAB∶S△PAC∶S△PBC∶S△ABC=μ∶λ∶(1-μ-λ)∶1.

二、面积比与P点位置无关

若P点位于其它6个区域呢？是否也有类似结论呢？

探究2：我们知道笛卡尔建立的平面直角坐标系架起了几何与代数的桥梁，能不能用代数方法解决这个几何问题呢？

证明：以A点为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系.

可设B(b,0),C(a,c),P(x,y)，

即P(λb+μa，μc).

而lAC:cx-ay=0，lBC：cx-(a-b)y-bc=0.

从而，点P到边AB，AC，BC的距离分别为

dAB=|μ|·|c|，

故S△PAB∶S△PAC∶S△PBC∶S△ABC=|μ|∶|λ|∶|μ+λ-1|∶1.

解析：解题的过程中,化归思想非常重要.转化如下：

则S△PAB∶S△PAC∶S△PBC∶S△ABC

=|μ|∶|λ|∶|μ+λ-1|∶1

=|l|∶|n|∶|m|∶|m+n+l|.

两个结论本质上具有共通性，接下来尝试利用第二个结论再解应用1.

安徽省滁州市定远县定远中学)