广东 刘光明

巧借曲线切线，妙解五类问题

广东 刘光明

曲线切线问题不仅仅是导数的几何意义那么简单，仔细琢磨推敲，曲线的切线可以从导数的几何意义、恰到好处证明不等式、求参数范围、含参函数的零点问题、曲线上点到直线的最短距离等角度进行考查，本文就此以例题分别展开阐述，期望从中以窥曲线切线的分析策略.

一、直接利用导数的几何意义

【例题1】已知函数f(x)=2x3-3x，若过点P(1,t)存在三条直线与曲线y=f(x)相切，求实数t的取值范围.

【评注】与曲线的切线有关的问题，主要从三个方面着手，一是曲线的切点，借助导数的几何意义求出切线斜率；二是切点在曲线上；三是切点在切线上.无论含参与否，都紧抓以上三个方面联立方程或者转化为熟悉的知识点处理即可.

二、巧借曲线的切线化曲为直，化解计算尴尬，证明不等式

【例题2】已知函数f(x)=aex+(2-e)x(a为实数，e为自然对数的底数)，曲线y=f(x)在x=0处的切线与直线(3-e)x-y+10=0平行.

(Ⅰ)求实数a的值，并判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的零点个数；

(Ⅱ)证明：当xgt;0时，f(x)-1gt;xln(x+1).

【简解】(Ⅰ)a=1，函数f(x)在区间[0,+∞)上没有零点(过程详解略).

(Ⅱ)证明：不妨先证明当xgt;0时，f(x)-1≥x·x成立.

设g(x)=ex+(2-e)x-1-x2(xgt;0)，则g′(x)=ex-2x+2-e，设φ(x)=ex-2x+2-e，

所以∃x0∈(0,1)，使得φ(x0)=0，故x∈(0,x0)∪(1,+∞)时，φ(x)gt;0，即g′(x)gt;0，x∈(x0,1)时，g′(x)lt;0,因此，函数g(x)在区间(x0,1)上单调递减，在区间(0,x0)和(1,+∞)上单调递增，且g(0)=g(1)=0,所以g(x)≥0(xgt;0)，当且仅当x=1时等号成立，可得f(x)-1≥x·xgt;xln(x+1)，故f(x)-1gt;xln(x+1).

【变式练习题1】(2015·山东卷理·21题节选改编)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)，当alt;0时，∃x0∈(0,+∞)使得f(x0)lt;0.

【评注】构造函数证明不等式中，若多次求导后均未能实现单调性或最值的求解，那么需要考虑放缩.中学阶段的曲线切线，加上函数的凹凸性，恰好是一种极好的放缩.人教A版教材选修2-2第32页习题1.3B组第1题中的不等式exgt;xgt;lnx提供了一个不错的放缩思路.故平时多积累一些放缩的例子，为以后的不等式证明提供快捷思路.

三、巧借过定点切线，指引讨论参数的方向

【例题3】已知函数f(x)=x+xlnx，若k∈Z，且k(x-1)lt;f(x)对任意xgt;1恒成立，求k的最大值.

【评注】通过曲线的切线去探求参数的范围，主要还是利用导数求单调性、极值、边界变化情况(变化趋势)，考虑函数的凹凸性，然后描绘曲线的大致图象，数形结合，进而得到参数范围.不过，借切线为边界，只是探求参数的范围，解决小题可以，但解答题需慎用.

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四、借用两曲线的公切线，突破含参函数零点的讨论

【评注】两条曲线相切，其关键点是两曲线在相切处导数值相等、函数值也相等.

五、妙用切线为桥梁，转换思想求距离

【简解】由直线的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交，设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x-5y+k=0，

令方程(*)中的判别式Δ=64k2-4×25(k2-225)=0，解得k1=25,k2=-25.

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【评注】由例题5和变式练习题3可知，对于求解曲线上一点到直线的最短距离问题，如果仅仅是利用导数处理最值，可能会遇到计算困难.巧妙借助切线，从几何和代数相结合的角度，避免繁杂计算，自然转化成点到直线距离问题，易懂易操作.特别是两条不相交曲线间的最短距离，首先应该关注两曲线是否对称，借助对称轴桥梁，处理距离最值.

广东省华南师范大学附属中学汕尾学校)