◆卢亦思

高中数学解题中“辅助元”的构造研究

◆卢亦思

在对高中题目进行解答的过程中，根提题干的类型运用合适的解题方法，能够在最大的程度上提高解题的效率。本文主要对数列、函数、图形等辅助元在数学题目解答当中的运用进行了研究和分析，以此提高解题的效率。

高中数学；辅助元；构造；解题

一、数列辅助元在高中数学解题过程中的运用

在高中数学知识学习的过程中，采用数列辅助元对数学问题进行求解是常用的方法之一。通过数列辅助元的运用，可以将复杂的题目化简，学生在解题的过程中就能够很好的掌握相关的数量关系，提高学生解题的效率。

在对数列辅助元进行构造的时候，首先就应该对通项公式进行化简。在化简的过程中，学生可以根据题干所给出的已知条件，同时结合题干，找出他们之间的内在关系，进而展开消元或者是变形。最后运用数学当中的化归思想或者是待定系数法等相关的解题思路，将原通项公式构造成等比或者是等差数列，以此来达到化简求解的目的。在数列辅助元的构造当中，主要有以下几种题目类型：第一就是在借助曲线上的点对数列辅助元进行构造。第二就是在通项公式当中，如果两个以上相邻的项存在着地推的关系，那么就可以采用待定系数法将数列辅助元化简成为一个等比数列，然后就可以快速解答出相应的结果。第三就是根据已知条件以及题干的关系，找出合适的解题方法。

二、函数辅助元在高中数学解题过程中的运用

函数一直都是高中数学学习当中的重点，同时也是难点。在众多题型的解答过程中，都会用到函数及其相关的知识点，根据题干所给出的已知条件，对函数辅助元进行构建，同时运用函数的基本性质结合原题干进行相应作答。这样就会大大提高解题的效率。在平时的学习过程中，学生可以借助相关的练习题全面掌握函数辅助元构建的技巧，通过对函数辅助元的构建来解决不等式或者是方程问题。

已知：

根据题干证明：4tanα+cotβ=0。

在对这道题进行解答的时候，如果单纯的将这道题当成是三角函数的问题，然后在解题的过程综合运用引导公式等方法进行解答的时候，学生就会陷入知识的误区，无法求出正确的答案。

学生仔细观察过后就会发现，如果将4tanα+cotβ转化成为（3tanα+cotα)+tanα，那么题目当中给出的已知条件：

就会转化成为：(3tanα+cotβ)3+(3tanα+cotβ)+tan3α+tanα=0，进一步分析就可以打得出在R上，f(x）=x3+x是单调递增的函数，而且还是奇函数，所以在这样的情况住下，就可以将：

(3tanα+cotβ)3+(3tanα+cotβ)+tan3α+tanα=0

进一步转化成为：f（3tanα+cotβ）=-f（tanα）=f（-tanα），最后根据函数单调性的特点就可以得出3tanα+cotβ=-tanα。

所以，4tanα+cotβ=0。

三、图形辅助元在高中数学解题过程中的运用

学生在对高中数学相关知识进行学习的时候，将图形与数量关系充分结合起来对相关的问题进行解答是学生必须掌握的一种解题思路以及解题方法，通过将图形与数量关系相结合，能够对复杂的数量关系化简，从而提高解题的效率。在解题的过程中运用图形辅助元的解题方法，能够根据数量关系或者是根据数量关系对题目的模型进行构建，比如圆、多边形等，学生借助自己熟悉的图形对一些数量关系复杂的问题进行求解，不仅能够将复杂的题目化简，提高解题的效率，同时学生学习的信心也会得到有效的提高。

有三个锐角α、β、γ，cos2α+cos2β+cos2γ=1，根据已知条件求出tanα*tanβ*tanγ的取值在什么范围之内。

这是一道典型的三角函数题型，如果学生在解答的过程中直接采用三角函数相关的知识点对问题进行作答，就会造成解答过程复杂，甚至可能会陷入思维误区，造成无法解答出正确的答案，所以在这样的情况下，可以借助图形辅助元的构建对相关的问题进行解答（如下图）。

图1

就可以得出 tanα*tanβ*tanγ的取值范围是。所以在这样的情况之下，通过对图形辅助元进行构造，就能够将函数的数量关系简单的表示出来，在解题的过程中也会更加得心应手，同时解题的效率也会大大提高。

结束语

高中知识点的难度较大，同时题型的综合性较强。学生在解题的过程中不能仅仅依靠相关的定理或者是公式进行题目的解答，而是找出已知条件同题干的关系，同时对题干进行观察，找出可以消元的可能性，将式子尽量化简。最后就是根据题目问题的具体要求进行数列、函数或者是图形辅助元的构建，从而有效解答出相应的问题。

[1]赵杰.高中数学解题中“构造法”的应用探讨[J].华夏教师,2014,12:28.

（作者单位：长沙市雅礼中学）