刘传孝，王 龙， 张晓雷， 李茂桐，周 桐

(1.山东农业大学 水利土木工程学院，山东 泰安 271018; 2.中国科学院 武汉岩土力学研究所，湖北 武汉 430071)



石灰岩断口细观复杂程度的分形几何学分析

刘传孝1，王 龙2， 张晓雷1， 李茂桐1，周 桐1

(1.山东农业大学 水利土木工程学院，山东 泰安 271018; 2.中国科学院 武汉岩土力学研究所，湖北 武汉 430071)

对石灰岩进行实验室内单轴、三轴压缩试验，得到应力-应变时间序列及岩石损伤破坏实验断口；对不同围压条件下压缩破坏的实验断口进行扫描电镜取像实验，计算石灰岩断口细观尺度下的分数维，以定量追溯其损伤破坏特征。得到围压提高后(< 20 MPa)的压缩破坏过程趋向复杂、岩石破坏断口分数维增大的一般规律；当围压增加到岩石单轴抗压强度约2/3时，高围压引发的径向新损伤主导了后期压缩过程，致使最终破坏原因趋于简单，岩石破坏断口分数维降至最低。在连续损伤力学的基本关系式中引入分数维约化指标，构建了描述石灰岩细观破坏特征的分形损伤统计模型。同应力-应变关系的实验结果比较，表明分形损伤理论模型符合实验关系曲线，能理想地反映石灰岩三轴压缩实验结果的应变软化特性，是对岩石细观损伤破坏特征的有益探讨。

岩土工程；石灰岩；损伤；分形几何学；细观尺度

0 引 言

岩石是由多种矿物晶粒、孔隙和胶结物组成的复合体，在长期地质构造过程中，其内部形成了大量不同阶次的随机分布的微观孔隙和裂纹等缺陷，在单调加载或重复加载下岩石的微缺陷导致其黏聚力减弱，微裂纹、微孔隙发育贯穿，材料逐渐劣化并导致最终破坏。在宏观尺度上，天然岩体又为多种地质构造面(节理、断层和弱面等)所切割，表明岩石是一种很特殊的复杂材料，实质上是似连续、似破断介质。隧道工程的稳定性取决于围岩的性质、产状及其应力环境等，隧道工程围岩在现场处于单轴、三轴压缩工作状态，虽然与其赋存深度及构造应力场等有关，但仍然可以通过实验室内实验近似再现其破坏过程。而岩石是结构极其复杂的非连续和非均质体，无论从微观到宏观都呈现出强烈的非连续、非均质特性，表现出非线性、各向异性、随机性和流变性等复杂力学行为[1]。因此，隧道围岩损伤破坏机理的跨尺度空间应用问题的研究具有必要性。将岩石损伤破坏断口表面视为具有统计自相似分形特征，则可以用分形几何学理论定量地刻画断口的复杂程度，从而探讨隧道工程围岩在工作状态下的细观损伤破坏机理[2-3]。

分形几何学理论自诞生以后，在数学、物理、化学、计算机、水利、土木、化工、生态、大气及地震等领域得到迅速发展，作为研究非线性复杂岩石动力学系统演化特性的一种有效方法，越来越得到广泛应用[4-13]。正分数维D可应用于定量描述动力学系统几何结构和物理空间结构的破碎度，是定量评价系统复杂程度的重要指标，即D越高，系统的复杂程度越高、几何体的构造越复杂或越支离破碎。杨圣奇等从岩石内部微缺陷分布的随机性出发，结合Weibull分布定义损伤变量，建立了岩石单轴压缩下的损伤统计模型[14-15]。曹文贵等将连续损伤理论与概率论结合，从岩石微元强度服从某种随机分布角度出发，建立了在围压下岩石损伤软化的统计模型[16-17]。谢和平等研究表明，材料的最终宏观断裂破坏与其内部微裂隙的发育和聚集有密切的联系，断裂表面是材料损伤破坏后留下的关于断裂过程的记录。在断口上蕴藏着关于损伤破坏机理的信息，通过研究断裂表面可以追溯其产生的原因。岩石破坏后的断口具有自相似的分形特征，用分数维可以对岩石断口的复杂程度进行定量描述[2,12]。刘树新等基于Mohr-Coulomb准则和岩石微元强度服从Weibull随机分布的特点，在损伤本构模型中引入分形参数，对岩石单轴压缩试验进行了研究[18-19]。

笔者运用分形几何学方法，定量描述压缩试验破坏后的石灰岩断口的复杂程度，以探讨石灰岩的细观损伤破坏特征。结合岩石损伤统计特性与分形几何学理论，建立描述石灰岩细观破坏特征的分形损伤统计模型，并对理论模型的合理性进行了实验结果验证。

1 石灰岩细观损伤破坏的分形特征

1.1 岩石力学性质实验

实验用石灰岩的赋存深度为506 m，取样、运输并加工成近似标准试件。尺寸为φ47×88 mm的圆柱形试件应用于单轴压缩试验，尺寸为φ47×92 mm的试件应用于围压为20 MPa三轴压缩试验，尺寸为φ48×92 mm的试件应用于围压为40 MPa三轴压缩试验。设计实验在SAW-2000型微机控制电液伺服岩石三轴试验机上进行，该试验机采用3套德国DOLI-EDO公司的EDC控制器，以及MOOG公司的D633比例伺服阀共同完成试验过程。试验机刚度高(2×1010N·m-1)、响应频率快，能自动控制及测量试验参数，并绘制出应力-应变曲线。岩石力学性质实验得到的应力-应变时间序列，分别如图4、图5和图6中的曲线B，得到的石灰岩损伤破坏断口，留用于细观尺度层次下的扫描电镜取像实验。石灰岩基本力学性质实验参数，见表1。

表1 石灰岩基本力学参数

1.2 岩石损伤破坏断口的扫描电镜取像实验

采用日本电子株式会社的JSM-6510LV高低真空扫描电镜，获取压缩实验破坏后的石灰岩断口图像。设计各类实验断口的放大倍数均分别为200、500、1 000、2 000及4 000倍，显然属于细观尺度层次。得到石灰岩单轴压缩实验断口的扫描电镜图像，如图1；围压20 MPa时石灰岩三轴压缩实验断口的扫描电镜图像，如图2；围压40 MPa时石灰岩三轴压缩实验断口的扫描电镜图像，如图3。

1.3 岩石损伤破坏的细观分形特征

首先用Photoshop对扫描电镜图像进行滤镜处理，之后采用盒子计数法计算滤镜图像的分数维。作者采用C++语言对盒子计数法原理编程“RELEASE”，实现了滤镜图像输入后分数维的直接输出[15]。得到不同围压压缩实验石灰岩断口在细观尺度下的分数维，见表2。

图1 石灰岩单轴压缩实验断口扫描电镜图像Fig. 1 Limestone fractures images from scanning electron microscope in uni-axial compressing test

图2 石灰岩三轴(围压20 MPa)压缩实验断口扫描电镜图像Fig. 2 Limestone fractures images from scanning electron microscope in tri-axial compressing test (surrounding pressure 20 MPa)

图3 石灰岩三轴(围压40 MPa)压缩实验断口扫描电镜图像Fig. 3 Limestone fractures images from scanning electron microscope in tri-axial compressing test (confining pressure 40 MPa)

放大倍数围压/MPa02040分数维×200×500×1000×2000×40001.94201.99601.99672.00582.01502.01552.05372.02272.02242.01551.97001.99041.97511.99001.9990

常规室内岩石三轴试验采用单一围压轴对称应力系统，先对岩石试件施加一恒定的侧压力σ2=σ3，然后再增加轴向荷载σ1，直到试件破坏。由表2可以看出，围压由0MPa增加到20MPa时，分数维增大，符合围压提高后的压缩破坏过程趋向复杂、岩石破坏断口分数维增大的一般规律。但当围压增加到40MPa时，预先施加的围压约达到其单轴抗压强度(59.286MPa)的2/3，已经对试件造成了径向新的明显损伤，在此损伤的基础上试件压缩破坏所需的竖向荷载仅为57.937MPa，即高围压引发的新损伤主导了后期压缩过程，破坏原因简单，致使岩石破坏断口分数维基本降至最低。同时，各级放大倍数所对应的同尺度下的最大分数维，均出现在围压为20MPa时岩石的压缩破坏断口上，是进行分数维约化处理的基础。

2 石灰岩损伤分形统计本构模型

2.1 单轴压缩试验分形损伤统计本构模型

岩石是一种复杂的非均质材料，其内部随机分布着大量的微裂纹、微空隙等缺陷。假设岩石强度服从Weibull分布，其概率密度函数为

(1)

式中：ε为岩石试件的应变；m、F为Weibull分布参数，反映岩石材料的力学性质，可经由实验确定[14-15]。

岩石材料的损伤由内部微元体破坏引起，设在某一级荷载作用下已破坏的微元体数目为Nt，与微元体总数N之比即为损伤变量D。所以，在任意区间[ε，ε+dε]内产生破坏的微元数目为NP(x)dx，当加载到某一水平ε时，已破坏的微元体数目为

(2)

将式(2)代入D的表达式，得

(3)

根据连续损伤力学的基本关系式，有

σ=Eε(1-δD)

(4)

式中：E为弹性模量；δ为从0到1变化的系数。

现将式(4)中的系数δ，用分数维约化处理后的数值f代替，即令f=分数维/同尺度层次最大分数维，得

σ=Eε(1-fD)

(5)

用分数维约化处理后的数值代替损伤变量的系数，即通过分数维来调节损伤变量的变化，建立了分数维与损伤程度之间的关系。而断口上蕴藏的关于损伤破坏机理的信息，可以通过分形几何学理论定量描述其复杂程度的途径追溯，定量评价的石灰岩断口复杂程度越高，表明其损伤程度越高。

将式(3)代入式(5)，得

(6)

式(6)即为单轴压缩下岩石材料的分形损伤统计本构模型。

2.2 三轴压缩试验分形损伤统计本构模型

对于三轴压缩条件下的岩石材料，有连续损伤力学的基本关系式：

σ=Eε(1-δD)+μ(σ2+σ3)δD

(7)

(8)

(9)

联立式(8)、式(9)，求解得：

(10)

(11)

3 石灰岩损伤分形本构模型实例

3.1 单轴压缩分形损伤模型的实例验证

石灰岩单轴压缩试验曲线，如图4中B。

图4 单轴压缩实验曲线与模型理论曲线Fig. 4 Comparison between experimental and theoretical curves in uni-axial compressing experiment

分数维约化参数的处理是基于同尺度层次的最大分数维，由表2中的分数维可以计算得到石灰岩断口各放大倍数所对应的分数维约化参数f；表1中的基本力学参数结合f，可以计算得到建立石灰岩分形损伤统计本构模型的参数m；表1中的基本力学参数结合f与m，可以计算得到参数F。石灰岩单轴压缩细观损伤分形理论模型的相关计算参数，见表3。

表3 石灰岩单轴压缩分形损伤模型的计算参数

Table 3 Calculation parameters for fractal damage model of limestone in uni-axial compressing experiment

倍 数×200×500×1000×2000×4000f0.96400.97200.98700.99200.9998m2.67582.38652.51532.60172.4474F/(×10-3)4.45904.45603.60204.52804.5380

将表3中的计算参数代入单轴压缩下岩石材料的分形损伤统计本构模型即公式(6)，得到石灰岩分形损伤统计本构模型，绘制各细观尺度下的应力-应变理论曲线，如图4。可见5个尺度层次(或放大倍数)下单轴理论曲线的集中程度高，但其与试验曲线B的符合程度一般，表明分形损伤理论模型在一定程度上可以反映石灰岩单轴压缩细观损伤破坏过程。

3.2 三轴压缩分形损伤模型的实例验证

3.2.1 围压20 MPa的三轴压缩试验

围压为20 MPa的石灰岩三轴压缩试验曲线，如图5中B。

图5 三轴压缩实验曲线与模型理论曲线(围压20 MPa)Fig. 5 Comparison between experimental and theoretical curves in tri-axial compressing test(confining pressure 20 MPa)

由表2可见，各尺度层次下围压为20 MPa时石灰岩断口的分数维最大，所以各放大倍数所对应的分数维约化参数f均为1；仅通过表1中的石灰岩力学实验参数，即可计算得到分形损伤统计本构模型建立所需的参数m；通过参数m及表1中的基本力学性质，可计算得参数F。因此在进行围压为20MPa的三轴压缩实验时，石灰岩的细观损伤分形理论模型的计算参数中，分数维约化参数f为不变量。

将计算参数代入三轴压缩下岩石材料的分形损伤统计本构模型即公式(8)，得到石灰岩分形损伤统计本构模型。由于计算参数f、m及F均为定值，因此各细观尺度下的应力-应变理论曲线相同，绘制如图5。比较理论曲线与实验曲线，二者在峰前段符合程度高，表明分形损伤理论模型比较符合实验结果，较好地反映了围压20MPa时石灰岩三轴压缩细观损伤破坏特征。

3.2.2 围压40MPa的三轴压缩试验

围压为40MPa的石灰岩三轴压缩试验曲线，如图6中B。

图6 三轴压缩实验曲线与模型理论曲线(围压40 MPa)Fig. 6 Comparison between experimental and theoretical curves in tri-axial compressing test(confining pressure 40 MPa)

由表2中的分数维计算得石灰岩断口各放大倍数所对应的分数维约化参数f；通过参数f结合表1中的基本力学参数，计算得石灰岩分形损伤统计本构模型建立需要的参数m；结合参数f、m与表1中的基本力学参数，计算得参数F。统计石灰岩三轴压缩(围压40MPa)细观损伤分形理论模型的计算参数，见表4。

表4 石灰岩三轴压缩分形损伤模型的计算参数Table 4 Calculation parameters for fractal damage model of limestone in tri-axial compressing experiment

将表4中的计算参数代入三轴压缩下岩石材料的分形损伤统计本构模型即公式(8)，得到石灰岩分形损伤统计本构模型，绘制各细观尺度下的应力-应变理论曲线，如图6。理论曲线与实验曲线比较表明，在进行围压为40 MPa的石灰岩三轴压缩实验时，分形损伤理论模型同实验结果的符合程度最高，很好地反映了石灰岩三轴压缩细观损伤破坏过程。

4 结 论

1)引入分形几何学理论研究石灰岩压缩破坏的实验断口，应用分数维定量追溯其细观损伤破坏原因。

2)随着试验围压的提高(<20 MPa)，石灰岩压缩破坏断口的分数维增大，其细观损伤破坏过程趋向复杂；试验围压提高到岩石单轴抗压强度约2/3时，新生径向损伤主导了后续简单的压缩破坏过程，石灰岩细观损伤断口的分数维最小。

3)引入分数维约化指标，构建了描述石灰岩破坏特征的分形损伤统计模型，同实验结果的符合程度较高，在细观尺度上比较理想地反映了石灰岩的损伤破坏过程。

[1] 刘传孝.岩石破坏机理及节理裂隙分布尺度效应的非线性动力学分析与应用[D].青岛:山东科技大学,2005. LIU Chuanxiao.ElementaryTheoryforRockNonlinearDynamics[D].Qingdao:Shandong University of Science and Technology, 2005.

[2] 谭云亮,刘传孝,赵同彬.岩石非线性动力学初论[M].北京:煤炭工业出版社,2008. TAN Yunliang, LIU Chuanxiao, ZHAO Tongbin.ElementaryTheoryforRockNonlinearDynamics[M].Beijing:Coal Industry Publishing House, 2008.

[3] 林振山.非线性科学及其在地学中的应用[M].北京:气象出版社,2003. LIN Zhenshan.NonlinearScienceandItsApplicationinGeoscience[M]. Beijing: Weather Press, 2003.

[4] NADA S I.Fractal dimension of chaotic dynamical spaces[J].ChaosSolitonsandFractals, 2006, 30(2):374-379.

[5] EFTAXIAS K.Review and a model of pre-seismic electromagnetic emissions in terms of fractal electro dynamics[J].Fractals, 2004, 12(2): 243-273.

[6] KUZMIN Y I.Dynamics of the magnetic flux trapped in fractal clusters of a normal phase in percolating super conductors[J].JournalofLowTemperaturePhysics, 2003, 130(34): 261-286.

[7] BEREZOWSKI M.Fractal character of basin boundaries in a tubular chemical reactor with mass recycle[J].ChemicalEngineeringScience, 2006, 61(4): 1342-1345.

[8] ZIAEI A N,KESHAVARZI A R,HOMAYOUN E.Fractal scaling and simulation of velocity components and turbulent shear stress in open channel flow [J].ChaosSolitonsandFractals, 2005, 24(4): 1031-1045.

[9]梁正召,唐春安,唐世斌,等.岩石损伤破坏过程中分形与逾渗演化特征[J].岩土工程学报,2007,29(9):1386-1390. LIANG Zhengzhao,TANG Chun’an,TANG Shibin,et al. Characteristics of fractal and percolation of rocks subjected to uni-axial compression during their failure process[J].ChineseJournalofGeotechnicalEngineering, 2007, 29(9): 1386-1390.

[10] 刘秉正,彭建华.非线性动力学[M].北京:高等教育出版社,2005. LIU Bingzheng, PENG Jianhua.NonlinearDynamics[M].Beijing:High Education Press, 2005.

[11] 谢和平.非线性力学理论与实践[M].徐州:中国矿业大学出版社,1997. XIE Heping.NonlinearMechanicsandPractice[M].Xuzhou: China University of Mining and Technology Press, 1997.

[12] 刘传孝,蒋金泉,刘福胜,等.砂岩节理裂隙贯通的Kolmogorov熵定量判别及应用[J].岩土工程学报,2007,29(11):1730-1733. LIU Chuanxiao, JIANG Jinquan, LIU Fusheng, et al. Quantitative determination on transfixion of joins by Kolmogorov entropy theory and its application to sandstone[J].ChineseJournalofGeotechnicalEngineering, 2007, 29(11): 1730-1733.

[13] 刘传孝,蒋金泉,刘福胜,等.岩石材料微、细、宏观断裂机理尺度效应的分形研究[J].岩土力学,2008,29(10):2619-2622. LIU Chuanxiao, JIANG Jinquan, LIU Fusheng, et al. Fractal study of scale effect in microscopic, mesoscopic and macroscopic states for fracture mechanism of rock materials[J].RockandSoilMechanics, 2008, 29(10): 2619-2622.

[14] 杨圣奇,徐卫亚,韦立德,等.单轴压缩下岩石损伤统计本构模型与试验研究[J].河海大学学报(自然科学版),2004,32(2):200-203. YANG Shengqi, XU Weiya, WEI Lide,et al.Statistical constitutive model for rock damage under uni-axial compression and its experimental study[J].JournalofHohaiUniversity(NaturalSciences),2004, 32(2): 200-203.

[15] 王龙.岩石常规试验断裂损伤演化及其控制的分形几何研究[D].泰安:山东农业大学,2014. WANG Long.FractalAnalysisofControlofFractureandDamageofLimestoneinGeneralExperiments[D].Tai’an:Shandong Agricultural University, 2014.

[16] 曹文贵,赵明华,刘成学.岩石损伤统计强度理论研究[J].岩土工程学报,2004,26(6):820-823. CAO Wengui, ZHAO Minghua, LIU Chengxue. A study on damage statistical strength theory for rock[J].ChineseJournalofGeotechnicalEngineering, 2004, 26(6): 820-823.

[17] 徐卫亚,韦立德.岩石损伤统计本构模型的研究[J].岩石力学与工程学报,2002,21(6):787-791. XU Weiya, WEI Lide. Study on statistical damage constitutive model of rock[J].ChineseJournalofRockMechanicsandEngineering, 2002, 21(6): 787-791.

[18] 刘树新,刘长武,韩小刚,等.基于损伤多重分形特征的岩石强度Weibull参数研究[J].岩土工程学报,2011,33(11):1786-1791. LIU Shuxin, LIU Changwu, HAN Xiaogang, et al. Weibull distribution parameters of rock strength based on multi-fractal characteristics of rock damage [J].ChineseJournalofGeotechnicalEngineering, 2011, 33(11): 1786-1791.

[19] 刘传孝,贺加栋,张美政,等.深部坚硬细砂岩长期强度试验[J]. 采矿与安全工程学报,2010,27(4):581-584. LIU Chuanxiao, HE Jiadong, ZHANG Meizheng, et al. Long-term strength test and application of hard fine sandstone in deep site [J].JournalofMining&SafetyEngineering, 2010, 27(4): 581-584.

(责任编辑：朱汉容)

Fractal Geometry Analysis on Complexity of Limestone Fracture Mesoscale

LIU Chuanxiao1, WANG Long2, ZHANG Xiaolei1, LI Maotong1, ZHOU Tong1

(1. School of Water Conservancy and Civil Engineering, Shandong Agricultural University, Tai’an 271018, Shandong, P. R. China; 2. Institute of Rock and Soil Mechanics, Chinese Academy of Sciences, Wuhan 430071, Hubei, P. R. China)

The stress-strain time series and rock damage experimental fractures were obtained by laboratory uni-axial and tri-axial compressing experiments on limestone. The experimental fractures with the compressive failure of different confining pressures were analyzed by scanning electron microscope imaging experiment. Fractal dimensions in mesoscale space of limestone fractures were calculated to trace the damage feature quantitatively. The general rule that when the confining pressure increases (< 20 MPa), the compressive failure process inclines to be complicated and the fractal dimensions of limestone factures increase was obtained. When the confining pressure increased to about 2/3 uni-axial compressive strength of rock, latter compressing process may be controlled by new radial damage caused by high surrounding pressure, which resulted in that the final failure cause tended to be simple and the fractal dimensions of rock damage factures tended to be the minimum. The fractal dimension reduction index was introduced into the basic relation of continuum damage mechanics, and a fractal damage statistical model describing mesoscale failure mechanism of limestone was established. Comparing with the stress-strain test results, it is indicated that the fractal damage theory model is fitted with the experimental relation curve and can ideally reflect the strain softening feature of limestone tri-axial compression test. The proposed model is a valuable discussion for mesoscale failure mechanism of the damaged rock.

geotechnical engineering; limestone; damage; fractal geometry; mesoscale

10.3969/j.issn.1674-0696.2017.07.13

2016- 01-10；

2016- 02-22

国家自然科学基金项目(51004098；51574156)；山东省自然科学基金项目(ZR2014DM019)

刘传孝(1970—)，男，山东郯城人，教授，博士生导师，主要从事非线性动力学、计算力学、岩土力学与工程方向的科研与教学工作。E-mail: Lchuanx@163.com。

TU451

A

1674-0696(2017)07-077-06