冯 兴，姚仰平，霍海峰

(1. 中国民航大学 机场学院，天津 300300；2. 北京航空航天大学 交通科学与工程学院，北京 100191)



黄土隧洞变形及稳定性分析

冯 兴1，姚仰平2，霍海峰1

(1. 中国民航大学 机场学院，天津 300300；2. 北京航空航天大学 交通科学与工程学院，北京 100191)

以黄土隧洞的应力变形及稳定性分析为研究目标，首先基于考虑黏聚力c值的SMP准则，对原UH模型进行改进，建立了考虑c值的UH模型，使得UH模型能够用于隧洞开挖等问题的分析；然后应用半隐式回映算法对应力进行更新，采用Newton-Raphson算法进行非线性问题的解答，编制了考虑c值UH模型的有限元程序，并将初始超固结比OCR作为参数引入到有限元程序中；进而对一无衬砌黄土隧洞进行了三维有限元分析，比较分析了应用原UH模型、考虑c值的UH模型和Mohr-Coulomb模型计算得到隧洞周围土体的位移。说明了应用考虑c值的UH模型进行隧洞计算分析的合理性，得出了隧洞周围土体的位移变化规律，并应用考虑c值的UH模型研究了隧洞周围土体的应力应变规律，而且应用有限元强度折减法，对隧洞的安全稳定性进行了分析，研究了超固结比与安全稳定性的关系。

隧道工程；黄土隧洞；UH模型；黏聚力；变形；稳定性

0 引 言

随着我国经济建设及基础设施的发展，西部地区修建了大量的铁路与公路隧道、输油输气及输水管道和地下工程。这些工程所处土层多为黄土，土体多处于超固结状态，在施工影响下，易风化，易滑塌，因此隧洞工程的应力变形及稳定性分析越来越受到人们的重视。国内外众多学者对其进行了深入研究，如：郑颖人等[1-4]将有限元强度折减法应用于土体隧洞中，对隧洞进行安全稳定分析，并提出了黄土隧洞的剪切破坏与拉裂破坏安全系数；张贵忠等[5]根据引冯济羊工程隧洞开挖施工实践，对黄土地区隧洞开挖衬砌技术进行了研究；大西有三等[6]和足立纪尚等[7]分别对隧洞开挖问题进行了二维弹性有限元计算。

近年来，数值计算技术发展迅速，有限元方法已成为分析隧洞工程的一种非常有效的手段。有限元法的关键是本构模型，若在有限元中采用合适的本构模型，就可利用有限元强大的非线性求解平台，对隧洞工程的应力变形及稳定性进行合理分析。由姚仰平等[8-10]提出的统一硬化模型(UH模型)能够合理考虑土的复杂应力路径和应力历史对土体变形和强度的影响，它不仅能够描述正常固结土的特性，而且能够描述超固结土的硬化、软化、剪缩和剪胀等应力应变特性。而且它与Cam-clay模型的参数相同，可由常规三轴试验确定，简单、实用，利于模型在工程中的广泛应用。

黏聚力是黄土抗剪强度的一个重要指标。若不考虑土的黏聚力，在分析隧洞开挖等工程问题时，隧洞开挖面上部土体强度会受到影响，导致坍塌，从而造成分析结果的不合理和有限元分析的不收敛问题。因此，笔者基于黏聚力c值的SMP准则，推导了考虑c值的变换应力，并在两者的基础上对原UH模型进行改进，建立了考虑c值UH模型，使其能考虑土的黏聚力，可用于隧洞工程问题分析。以半隐式回映算法作为应力更新算法，采用Newton-Raphson算法进行非线性问题的解答，编制了考虑c值UH模型的有限元程序。然后应用所编制的有限元程序，对无衬砌黄土隧洞工程进行了三维有限元分析，应用原UH模型、考虑c值UH模型和Mohr-Coulomb模型比较分析了隧洞周围土体位移曲线。结果证明：考虑c值的UH模型对隧洞计算分析的合理性。并分析了隧洞周围土体应力应变曲线，并应用有限元强度折减法对隧洞安全稳定性进行了分析，分析了不同超固结比OCR下隧洞的安全稳定系数。

1 考虑c值的SMP准则

c=0的SMP准则[11]可表示为：

I1I2/I3=C

(1)

式中：C为常数。

式(1)给出的SMP准则适用于粒状体材料，当c≠0时，可通过坐标平移的方法转化，如图1。

图1 扩展SMP面上的剪应力和正应力Fig.1 Shearing stress and normal stress on the extended SMP surface

坐标平移公式为

(2)

应力不变量为

(3)

由图1可知

σ0=c/tanφ

(4)

则考虑c值的SMP准则，可表示为

(5)

2 基于考虑c值SMP准则的变换应力

变换应力方法[12-15]假定在三轴压缩条件下的变换应力与普通应力相同，将普通应力空间的π平面上为外凸三角形的SMP准则转换为变换应力空间内的圆形，如图2。图2为θ=0°～60°范围内的两种屈服面。变换应力如式(6)：

(6)

式(6)为c=0情况下变换应力。当考虑c≠0情况时，变换应力为：

(7)

c=0时，原应力空间平均主应力p为

(8)

(9)

将式(2)和式(8)代入式(9)得

(10)

(11)

将式(2)、(10)、(11)代入式(7)，可得考虑c≠0下的变换应力为

(12)

图2 变换应力Fig.2 Diagram of transform stress

3 考虑c值的UH模型

3.1 屈服函数

基于考虑c值SMP准则，在三维化的变换应力空间中采用相关联流动法则，考虑c值UH模型屈服函数和塑性势函数可统一表示为：

(13)

(14)

其中：

(15)

式(13)的屈服函数可写为：

(16)

3.2 应变增量

根据广义Hooke定律，应力增量和弹性应变增量的关系为：

dσ=Dedεe=De(dε-dεp)

(17)

式中：dεp为塑性应变增量；De为弹性刚度矩阵。

(18)

(19)

式中：ν为泊松比。

(20)

根据流动法则，塑性应变增量为

(21)

3.3 塑性因子

考虑c值UH模型的塑性因子为

(22)

式中：

(23)

(24)

3.4 弹塑性刚度矩阵

考虑c值UH模型的弹塑性矩阵为

(25)

为改善有限元分析收敛性，将切线刚度矩阵变为对称矩阵，参照切线刚度矩阵对称化方法[16]对弹塑性矩阵进行对称化处理。塑性因子Λ变为

(26)

式中：

(27)

弹塑性矩阵变为：

(28)

显然，式(28)所示弹塑性刚度矩阵是对称的。

4 考虑c值UH模型有限元实现

4.1 非线性问题整体求解方法

应用考虑c值UH模型的有限元方法是应用Newton-Raphson算法获得非线性问题的解答，如图3。在非线性分析中，它是增量地施加给定的载荷，逐步获得最终解答，并对于每一个荷载增量步，进行若干次迭代以确定一个收敛于真实解的解，整个流程融合了增量和迭代的过程[17]。每个增量步中的迭代流程如图4。

图3 每个增量步中的迭代过程Fig. 3 Iteration process for each incremental step

图4 每个增量步中的迭代流程Fig. 4 Iterative flow of each incremental step

4.2 应力更新算法

采用半隐式回映应力更新算法[18]，该方法关于塑性参数增量Δλ采用隐式，而关于塑性流动方向r和塑性模量D采用显示的算法，即在步骤结束时计算塑性参数增量，而在步骤开始时计算塑性流动方向和塑性模量。

(29)

根据加卸载准则，进行弹塑性状态的判别：

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

4.3 考虑c值UH模型有限元程序中OCR的引入

初始超固结比OCR是土体历史上的最大竖向有效应力和初始竖向有效应力的比值，是反映土层天然固结状态的一个定量指标。为研究OCR与隧洞安全稳定性的关系，可将OCR作为一个参数引入考虑c值UH模型的有限元程序，对隧洞进行有限元分析，引入流程如图5[19]。

图5 OCR引入流程Fig. 5 Flow chart of the introduction of OCR

(36)

5 无衬砌黄土隧洞有限元分析

5.1 有限元计算模型及参数

该无衬砌黄土隧洞有限元计算模型，采用三维实体模型，高为61 m，宽为51 m，隧洞高为3.5 m，跨度为3 m，矢跨比为0.5，侧墙高2 m。设置边界条件为：上表面为自由边界，其它面为法向位移约束。采用1阶8节点的三维实体单元类型(C3D8)，有限元网格如图6(a)。考虑模型对称性，选取隧洞周围计算结点1～10点，如图6(b)所示来进行分析。采用考虑c值UH模型、不考虑c值UH模型(原UH模型)和Mohr-Coulomb模型分别进行计算，计算参数[20]如表1。

图6 网格划分及计算节点Fig. 6 Meshing and computation nodes

参 数取 值M1λ0.158κ0.06ν0.30e01c/kPa50OCR10φ/(°)25E/MPa28.06

有限元分析步骤：

1)初始分析步，定义模型的边界条件；

2)地压应力场分析步，定义土体的重力，进行初始地应力平衡；

3)静力分析步，进行隧洞的开挖，开挖总长度10 m。

5.2 结果分析

5.2.1 隧洞周围土体位移

图7和图8分别为应用考虑c值UH模型、不考虑c值UH模型和Mohr-Coulomb模型计算得到的开挖后隧洞周围土体的位移云图和计算结点的位移量。方向3即竖直方向，方向2即水平方向。

由图7可知，应用3种模型计算得到的位移云图均表现出，隧洞底部和拱顶部产生的竖向位移较其余地方大，隧洞侧墙部位产生的水平位移较其余地方大。比较3种模型计算的位移云图可知，应用UH模型计算得到的位移变化影响范围较Mohr-Coulomb模型更大一些。

由图8可知，应用3种模型计算得到的隧洞关键点的位移变化规律基本相同，从总体来看UH模型所计算得到的位移较小，这是由于Mohr-Coulomb模型是理想弹塑性模型，它计算的土体一直处于弹塑性状态，所计算产生的变形较大；而UH模型在加载时表现为弹-塑性，卸载时为弹性，所计算的变形相对较小。当用不考虑c值UH模型进行隧洞的计算分析时，计算不收敛发生中断，说明当用不考虑c值UH模型计算的隧洞土体已经承受不了拉力作用从而发生破坏，而当用考虑c值UH模型进行隧洞计算分析时，计算收敛，说明当用考虑c值UH模型由于考虑了土体的黏聚力，从而使得计算的隧洞土体可以承受拉力作用没有发生破坏。而且由于考虑c值UH模型考虑了土的黏聚力，提高了土体的抗剪强度，考虑c值UH模型所计算的位移较不考虑c值UH模型计算的位移小。由此说明应用考虑c值UH模型进行隧洞的计算分析较为合理。

图7 隧洞周围土体位移云图Fig.7 The displacement nephogram of the soil around the tunnel

图8 隧洞周围计算结点位移Fig. 8 The displacement of the computation nodes around the tunnel

由图8(a)的UH模型所计算的结果可知：隧洞底部结点1～3的竖向位移为正值，说明这3个点产生向上的竖向位移，并且在底部中心点1产生最大竖向位移；侧墙的结点4的竖向位移约为0，侧墙和拱的结点5～10的竖向位移为负值，说明这6个点产生向下的竖向位移，并且在拱顶的点10产生最大竖向位移。由图8(b)的UH模型所计算的结果可知，这10个点均产生正向的水平位移，点4～6的水平位移较大。由此可以得出当隧洞开挖之后，洞顶土体出现了下沉，侧墙土体和洞底土体有一定程度的隆起，较大位移出现在拱顶、拱脚和洞底中央部位附近，说明这些部位是隧洞的薄弱环节和危险部位，在隧洞开挖过程中，要特别注意这些部位安全稳定情况。

5.2.2 隧洞周围土体应力应变

图9为应用考虑c值UH模型开挖后隧洞周围土体剪应变云图。图10为开挖后土体结点的应力应变曲线，η为应力比，εv为体积应变，εd为剪应变。

图9 隧洞周围土体剪应变云图Fig. 9 The shear strain nephogram of the soil around the tunnel

图10 土体结点应力应变曲线Fig. 10 Stress-strain curves of soil nodes

由图9可知，隧洞底部角点3和拱点8附近土体的剪应变较其余地方大。由图10可知，点4、6的应力比远还没达到峰值，从趋势来看，点6应力比峰值>点4应力比峰值>点1应力比峰值>点10应力比峰值，点1、4、6的体积应变为负值，说明在这3个点产生了明显的剪胀现象，点10的体积应变为正值，但是有向负值转变的趋势，说明了该点也有剪胀现象。

5.2.3 安全稳定系数

在隧洞的安全稳定分析方面，有限元强度折减法[21]的基本原理是在隧洞的有限元计算中，通过不断折减土体的强度参数，直到隧洞发生破坏为止，这时的折减系数即隧洞的安全稳定系数。它的具体做法是将土体的实际强度参数c和φ同时除以一个折减系数Ftrail(大于1的系数)，得到一组折减后的新系数c′和φ′值，即

(37)

将折减后的c′和φ′值作为新的材料参数代入有限元进行试算。当有限元计算收敛时，取Ftrail稍大一些后再试算，直到有限元计算不收敛时为止，这时土体达到极限平衡状态，对应的Ftrail即为安全系数。

表2为不同OCR下应用考虑c值UH模型计算的隧洞安全系数。由表2可知：随着隧洞土体超固结比OCR增大，安全系数也越大，这也说明了隧洞稳定性是随着超固结比的增大而越来越高。

表2 不同OCR下隧洞安全系数

6 结 论

1)将土的黏聚力c值引入到UH模型，建立了考虑c值的UH模型，实现了原UH模型的改进，使得UH模型能够对隧洞开挖等问题进行分析；

2)通过对无衬砌黄土隧洞开挖进行数值模拟，比较了应用考虑c值UH模型、不考虑c值UH模型和Mohr-Coulomb模型所计算的隧洞周围土体位移曲线，得出考虑c值UH模型较合理地反映了隧洞周围土体的变形情况；应用考虑c值UH模型对无衬砌黄土隧洞进行有限元分析，由计算所得到的位移曲线可以看出拱顶、拱脚和洞底中央部位附近土体产生较大位移，说明这些部位是隧洞的薄弱环节和危险部位，在隧洞开挖过程中，要特别注意这些部位安全稳定情况；由应力应变曲线可以看出考虑c值UH模型合理反映了黄土隧洞周围超固结土体的剪胀现象；

3)应用有限元强度折减法对无衬砌黄土隧洞进行安全稳定性分析，得到了不同OCR下的隧洞的安全稳定系数，可以看出随着隧洞土体超固结比OCR的增大，安全系数也越大，说明了隧洞的安全稳定性是随着超固结比的增大而越来越高。

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(责任编辑：刘 韬)

Deformation and Stability of Loess Tunnel

FENG Xing1, YAO Yangping2, HUO Haifeng1

(1. School of Airport, Civil Aviation University of China, Tianjin 300300, P. R. China; 2. School of Transportation Science and Engineering, Beihang University, Beijing 100191, P. R. China)

The stress deformation and stability analysis of the loess tunnel engineering was taken as the study objective. Firstly, on the basis of SMP criterion considering the cohesion valuec, the original UH model was improved and UH model consideringcvalue was established, which made UH model could analyze the tunnel excavation problems. Secondly, the semi-implicit return mapping algorithm was adopted to update the stress, and Newton-Raphson algorithm was adopted to solve the nonlinear problems. The finite element program of UH model consideringcvalue was compiled, and the initial over-consolidated ratio OCR as one parameter was also introduced into the finite element program. Finally, the three dimensional finite element analysis of an unlined loess tunnel was performed. The displacement of the clay around the tunnel calculated by the original UH model, the UH model consideringcvalue and Mohr-Coulomb model were compared. And the UH model consideringcvalue was used to carry out the calculation analysis of tunnel, whose rationality was declared. Furthermore, the displacement variation law of the clay around the tunnel was attained. The stress-strain law of the clay around the tunnel was studied by using the UH model consideringcvalue. In addition, the security and stability of tunnel was analyzed by using the strength reduction FEM, and the relationship between over-consolidated ratio and security-stability was studied.

tunnel engineering; loess tunnel; UH model; cohesion; deformation; stability

10.3969/j.issn.1674-0696.2017.07.04

2016-04-07；

2016-08-13

国家自然科学基金项目(11672015；51308534)；中央高校基本科研业务专项基金项目(3122014C014)；中国民航大学机场工程科研基地开放项目(JCGC2015KFJJ004)；中国民航大学科研启动基金项目(2013QD12X)

冯 兴(1980—)，女，河北石家庄人，讲师，博士，主要从事岩土工程方面的研究。E-mail：fxing_sjz@foxmail.com。

U451；TU43

A

1674-0696(2017)07-021-08