何文正, 陈 晨, 李鹏程, 文竞舟

(1. 重庆广播电视大学 城市建设工程学院，重庆 400052；2. 宜宾职业技术学院 建筑工程系，四川 宜宾 644000；3. 重庆交通科研设计院 道路所，重庆 400067；4. 云南省公路科学技术研究院 岩土所，云南 昆明 650051)



偏心布筋曲梁振动微分方程推导和求解

何文正1, 陈 晨2, 李鹏程3, 文竞舟4

(1. 重庆广播电视大学 城市建设工程学院，重庆 400052；2. 宜宾职业技术学院 建筑工程系，四川 宜宾 644000；3. 重庆交通科研设计院 道路所，重庆 400067；4. 云南省公路科学技术研究院 岩土所，云南 昆明 650051)

为研究预应力筋偏心距和半径等参数对曲梁振动特性的影响，以自由振动状态下的曲梁微段为研究对象，考虑偏心布筋产生的初始曲率对振动的影响，推导了偏心布筋曲梁振动偏微分方程，并求解方程得到了简支曲梁面内振动1阶频率理论计算公式；最后通过实例分析验证了所提理论公式的正确性。

桥梁工程；曲梁；偏心布筋；初始曲率；自振频率

预应力曲梁在工程中已经得到广泛的应用，其动力特性是曲梁设计所关注的重要内容，良好的动力特性是满足曲线梁桥抗震、抗风性能的前提，也是保证结构安全营运的关键[1-2]。

目前，国内外已有不少学者对曲梁的动力特性进行了理论研究。C．H．KOU等[3]提出了薄壁曲梁的有限梁段法进行了曲梁自振频率的分析；单德山[4]应用积分变换法求解了移动荷载作用下的曲梁振动方程，并研究了曲梁弯扭耦合振动机理和薄壁曲线箱梁的振动特性；Y．B．YANG等[5]对曲梁强迫振动进行了研究；叶康生等[6]则采用动力刚度法求解了曲梁面外振动问题；宋郁民等[7-8]采用数学物理方法推导了曲梁振动微分方程组，求解得到了半解析表达式。但是，曲梁的试验研究较少，动力特性试验研究数据相对缺乏。

在以往的曲梁动力特性研究中，基本没有考虑预应力的作用，也未研究力筋布置方式对曲梁动力特性的影响，而目前工程中使用的曲梁基本上为偏心布筋预应力曲梁，其动力特性的计算基本上采用有限单元法进行[9-10]，虽然有限元法功能强大，几乎能够求解所有数学模型的初值问题，但采用解析法更能深入研究曲梁振动内在规律。

笔者采用达朗贝尔原理推导了偏心布筋曲梁振动微分方程，并考虑了预应力以及偏心布筋产生的初始曲率对振动特性的影响。提出了偏心布筋曲梁一阶面内自振频率计算公式，并通过实例分析验证了该公式。

1 偏心布筋曲梁振动微分方程

1.1 推导假定

在进行偏心布筋曲梁振动微分方程的推导前，笔者做了以下基本假定：①曲梁为等截面匀质圆弧曲梁，半径为常数R；②预应力筋直线偏心布置，其预应力大小为P，横向和竖向偏心距为e1和e2；③曲率半径远大于横截面尺寸，忽略梁曲率影响。

采用三维流动直角坐标系，坐标系符合右手螺旋法则规定，正方向规定如图1。

图1 三维流动坐标系Fig. 1 Three-dimensional flow coordinate system

1.2 力筋偏心布置产生的初始弯矩

在曲线预应力筋的预加力P作用下，在L(切向)、M(径向)、N(竖向)产生3个外荷载[11]，如图2。

图2 截面内的预应力和内力Fig. 2 Prestress and internal force in section

1.3 建立振动微分方程

对于预应力筋偏心布置的无黏结预应力混凝土梁，在自由振动时，取出梁上的一段微元体进行受力分析，微元体内力如图3。

图3 曲梁微段截面内力Fig. 3 Internal force of the micro segment of the curved beam

利用弯曲梁段的6个空间平衡条件，考虑轴向力与梁曲率的乘积在力矩平衡方程中形成的附加项，根据达朗贝尔原理得出6个平衡方程：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：m为曲梁单位长度质量；N为轴向内力；T为扭矩；Mx为竖向弯矩；My为横向弯矩；ρ为曲梁密度；u，v，w分别为纵向、径向和竖向位移；φ为扭角。

化简可得到以下4个基本方程：

(7)

(8)

(9)

(10)

代入几何、物理方程可建立曲梁内力与变形之间的关系[12]，将几何、物理方程代入式(7)～(10)中可得

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：A为曲梁截面面积；Ix为绕x轴的抗弯惯矩；E为梁的弹模；Iy为绕y轴的抗弯惯矩；G为剪切模量；Id为抗扭惯矩；Iw为梁的扇性惯矩。

分析式(11)～(14)可知，此时方程组中并不包含力筋的横向和竖向坐标e1和e2；但需要注意到当预应力筋偏心布置时，预应力会对曲梁产生横向和竖向附加弯矩，从而使梁体产生初始挠度。而此时梁体是以该初始挠度为平衡位置进行自由振动，因此，梁上各点的振动位移为附加弯矩产生初始位移以及自由振动产生的位移增量之和[13]，即

(15)

(16)

(17)

式中：脚标Δ表示振动产生的位移增量。

预应力产生的初始位移可用静力学方法得到，将式(15)～(17)对z和t求导，并代入式(11)～(14)可得到考虑偏心布筋的曲梁振动方程组：

(18)

(19)

(20)

(21)

式(18)～(21)即为偏心布筋曲梁振动微分方程。令：e1=e2=0，P=0；则式(18)～(21)退化为宋郁民等[7]所提出的方程，即不考虑预应力效应的曲梁振动微分方程。

当e1=e2=0、曲梁半径R→∞，式(18)～(21)则退化为考虑轴力影响的直梁振动方程[14]。

2 方程求解

2.1 边界条件

笔者考虑单跨超静定简支曲梁的情况，如图4。

其边界条件为：

u(0)=0，u′(l)=0

(22)

v(0)=v(l)=0，v″(0)=v″(l)=0

(23)

w(0)=w(l)=0，w″(0)=w″(l)=0

(24)

φ(0)=φ(l)=0，φ′(0)=φ′(l)=0

(25)

图4 单跨曲梁支承布置Fig. 4 Support arrangement of a single span curved beam

2.2 微分方程求解

考察微分方程式(18)和式(19)，方程中径向振动和纵向振动相互耦合，由于桥梁结构轴向拉压刚度极大，轴向变形很小，可忽略轴向变形，在忽略曲梁纵向振动的情况下面内振动方程可以解耦，从而实现方程的求解。但面外振动由于弯扭耦合的影响，求解方法还需要进一步研究。

仅考虑曲梁面内的振动，在忽略轴向变形的情况下有

(26)

将式(15)和式(16)代入式(26)，再将所得方程式代入式(19)，可得：

(27)

在预应力筋偏心布置的情况下，梁体振动时预应力大小也为一个变化量，可通过平截面假定推导出振动中的预应力值为[13]：

(28)

式中：P0为预应力筋的初始张拉力；Et，At分别为钢束的弹性模量和钢束面积。

将式(28)代入式(27)，并化简得到：

(29)

式(29)为非齐次非线性偏微分方程，可采用Galerkin法求得近似解。

选取形状函数φr(x)和权函数qr(t)，构造横向振动位移函数：

(30)

将式(30)代入式(29)，并对得到的算式在区间(0≤x≤l)上进行加权积分，取简支梁1阶振型函数φ1(x)=sin(πx/l)作为形状函数和权函数代入算式，简化得到：

(31)

对式(31)进行积分得：

(32)

式(32)为一个单自由度自治系统，仍用Galerkin法求解体系自振频率，构造方程的近似解为：

q(t)=acos(ωt)

(33)

式中：ω=2π/T，a为振幅，T为周期。

将q(t)代入式(32)得到残差力：

(34)

(35)

式(35)为偏心布筋曲梁面内振动1阶自振频率近似计算公式。令偏心距e1=0且曲梁半径R趋于无限大，则式(35)就退化为轴心布筋直线梁1阶自振频率公式[14]：

(36)

通过对式(35)的分析，可知：①偏心布筋曲梁1阶面内振动频率除了与自身的质量和刚度分布有关以外，还与曲线半径、轴力大小以及偏心距有关，当R趋于无限大时且偏心距为0时，曲梁的频率则退化为直梁的频率；②偏心直线布筋会对曲梁自振频率产生影响，偏心距越大，自振频率越大。

3 数值验证

3.1 建立有限元分析模型

采用有限元程序验证所提的近似计算公式的正确性。算例采用矩形截面实心梁；梁高h=1.6 m，宽b=0.8 m，l=30 m，偏心直线布筋，曲梁半径分别取60、100、200、500、10 000 m；混凝土弹性模量E=3.5×1010N/m2，混凝土密度ρ=2 500 kg/m3，预应力筋弹性模量Et=2.1×1011N/m2，面积At=2.8×10-3m3，密度ρ=7 800 kg/m3；预应力采用降温法进行模拟，力筋分别按照偏心距e分别取0、0.2、0.3 m布置。分别采用有限元程序和式(35)计算预应力大小为P0分别取0、10、20 kN时的曲梁面内1阶自振频率。二者计算结果比较如表1～表3和图5。

表1 自振频率计算结果对比(P0=0 kN)

表2 自振频率计算结果对比(P0=10 kN)

表3 自振频率计算结果对比(P0=20 kN)

图5 不同偏心距(P0=0 kN)和预应力(e=0.3 m)下的1阶频率Fig. 5 First order frequency with different eccentricities (P0=0 kN) and prestress values (e=0.3 m)

3.2 计算结果及相关参数的影响分析

按照式(35)计算的偏心布筋曲梁面内自振频率与有限元计算结果较为吻合，最大的误差为3.38%；自振频率随着预应力值增大而减小，公式计算和数值计算结果都表明预应力值对频率的影响极小。

在偏心布筋情况下，曲梁自振频率随着半径的增加而逐渐降低。在半径小于200 m时，曲梁半径对频率影响较明显；当半径过200 m时，对频率的影响较小。

曲梁的1阶面内自振频率随偏心距的增加而增大，与有限元分析结果吻合，其直梁频率变化趋势与李荣[15]所得出的结论一致，相对于预应力值和半径来说，偏心距对频率的影响更为明显。

根据对比分析结果可知，采用笔者所提出的计算公式能较好地进行偏心布筋曲梁的1阶面内振动频率计算，公式能较好的地反映曲梁的频率随偏心距、半径及预加力大小变化的趋势。

4 结 论

笔者推导了偏心布筋曲梁的自由振动微分方程组；并求解面内振动方程得出了曲梁面内振动1阶频率近似计算公式；分析了偏心距、预加力和半径等参数对自振频率的影响；数值分析结果与理论公式计算结果吻合，证明了方程的推导及求解的正确性。

结果表明：①预应力值对曲梁动力特性影响极小，计算中可以不考虑；②曲梁半径对动力特性影响较预应力值明显，但是当半径大于200时，曲梁半径对动力特性影响较小；③偏心距对频率的影响较明显，计算中不宜忽略。

[1] 赵跃宇，康厚军，冯锐，等．曲线梁研究进展[J]．力学进展，2006，36(2)：170-186． ZHAO Yueyu, KANG Houjun, FENG Rui, et al. Advances of research on curved beams[J].AdvancesinMechanics, 2006, 36(2): 170-186.

[2] 谢秉敏，向中富，王小松，等．基于ANSYS的车桥耦合动力分析[J]．重庆交通大学学报(自然科学版)，2012，31(5)：935-938． XIE Bingmin, XIANG Zhongfu, WANG Xiaosong, et al. Dynamic analysis method of vehicle-bridge coupling based on ANSYS[J].JournalofChongqingJiaotongUniversity(NaturalScience), 2012, 31(5): 935-938.

[3] KOU C H, BENZLEY S E, HUANG J Y, et al. Free vibration analysis of curved thin-walled girder bridges[J].JournalofStructuralEngineering, 1992, 118(10): 2890-2910.

[4] 单德山．高速铁路曲线梁桥车桥耦合振动分析及大跨度曲线梁桥设计研究[D]．成都：西南交通大学，1999：14-46． SHAN Deshan.Curved-GirderBridgesandVehiclesCoupledVibrationAnalysisandDesignStudyoftheLong-SpanCurved-GirderBridgesinHigh-SpeedRailway[D]. Chengdu: Southwest Jiaotong University, 1999:14-46.

[5] YANG Y B, WU C M, YAU J D. Dynamic response of a horizontally curved beam subjected to vertical and horizontal moving loads[J].JournalofSoundandVibration,2001,242(3):519-537.

[6] 叶康生，赵雪健．动力刚度法求解平面曲梁面外自由振动问题[J]．工程力学，2012，29(3)：1-8． YE Kangsheng, ZHAO Xuejian. Dynamic stiffness method for out-of-plane free vibration analysis of planar curved beams[J].EngineeringMechanics, 2012, 29(3):1-8.

[7] 宋郁民，吴定俊，李奇．圆弧曲梁振动微分方程推导及振动特性分析[J]．沈阳建筑大学学报(自然科学版)，2012，28(3)：400-404． SONG Yumin, WU Dingjun, LI Qi. Derivation of vibration differential equation and analysis of vibration properties about ARC-curved beam [J].JournalofShenyangJianzhuUniversity(NaturalScience), 2012, 28(3): 400-404.

[8] 宋郁民．曲梁振动微分方程组求解[C]//中国力学学会《工程力学》编委会．第23届全国结构工程学术会议论文集：第Ⅰ册．2014：258-264． SONG Yumin. Solving the differential equations of curved beams [C]//Editorial Board of Engineering Mechanics, Chinese Society of Mechanics.Proceedingsofthe23rdNationalConferenceonStructuralEngineering:VolumeI. 2014:258-264.

[9] 冯东明，李爱群，李建慧，等．独塔斜拉与连续刚构组合桥梁动力特性及参数影响分析[J]．重庆交通大学学报(自然科学版)，2010，29(3)：329-332． FENG Dongming, LI Aiqun, LI Jianhui, et al. Research on dynamic behavior and parameter influence of single pylon cable-stayed and continuous rigid-frame composite bridge[J].JournalofChongqingJiaotongUniversity(NaturalScience), 2010, 29(3): 329-332.

[10] 梁甜甜，向中富，卞明智，等．曲梁预应力摩阻损失试验研究[J]．重庆交通大学学报(自然科学版)，2008，27(增刊)：871-874． LIANG Tiantian, XIANG Zhongfu, BIAN Mingzhi, et al. Test and study of attrition loss of pre-stressed wire of curved box girder[J].JournalofChongqingJiaotongUniversity(NaturalScience), 2008, 27(Sup): 871-874.

[11] 邵容光，夏淦．混凝土弯梁桥[M]．北京：人民交通出版社，1996：212-216． SHAO Rongguang, XIA Gan.ConcreteCurvedGirderBridge[M]. Beijing: China Communication Press, 1996: 212-216.

[12] 姚玲森．曲线梁[M]．北京：人民交通出版社，1989：1-14． YAO Lingsen.CurvedBeam[M]. Beijing: China Communications Press, 1989:1-14.

[13] 王龙林．简支梁自振频率的预应力效应分析[D]．长春：吉林大学，2013: 53-77． WANG Longlin.AnalysisofPrestressingEffectonNaturalFrequencyforSimplySupportedBeam[D]. Changchun: Jilin University, 2013: 53-77.

[14] 刘晶波，杜修力．结构动力学[M]．北京：机械工业出版社，2005：160-169． LIU Jingbo, DU Xiuli.StructuralDynamics[M]. Beijing: China Machine Press, 2005: 160-169.

[15] 李荣．无粘结预应力混凝土梁动力特性研究[D]．包头：内蒙古科技大学，2013：7-33． LI Rong.StudyonDynamicPeculiarityforUnbondedPre-stressedConcreteBeam[D]. Baotou: Inner Mongolia University of Science and Technology, 2013:7-33.

(责任编辑：刘 韬)

Derivation and Solution of Vibration Differential Equation of theCurved Beam with Eccentric Reinforce

HE Wenzheng1, CHEN Chen2, LI Pengcheng3, WEN Jingzhou4

(1. School of Urban Construction Engineering, Chongqing Radio & TV University, Chongqing 400052, P. R. China;2. Department of Architecture Engineering, Yibin Vocational and Technical College, Yibin 644000, Sichuan, P. R. China; 3. Road Research Institute, Chongqing Communications Research and Design Institute, Chongqing 400067, P. R. China;4. Rock and Soil Engineering Institute, Yunnan Science & Technology Research Institute of Highway, Kunming 650051, Yunnan, P. R. China)

In order to study the influence of tendon eccentricity and radius on the vibration characteristics of the curved beam, the differential equation of the vibration of the prestressed curved beam considering the influence of initial curvature on vibration was derived by analyzing the micro section of the curved beam under the condition of free vibration. Then the theoretic calculation formula of the first order natural frequency vibration of the eccentric reinforcement simply supported curved beam was deduced by solving the equation. Finally, the correctness of the proposed theoretic formula was verified by the case study.

bridge engineering; curved beam; eccentric reinforce; initial curvature; natural frequency of vibration

10.3969/j.issn.1674-0696.2017.07.03

2015-12-02；

2016-07-16

交通运输部建设科技项目(2013318791440)；重庆广播电视大学重点基金项目(ZD2015-02)

何文正(1982—)，男，重庆人，讲师，硕士，主要从事桥梁检测加固方面的研究。E-mail：hewenzheng1982@126.com。

U441.2

A

1674-0696(2017)07-015-06