江苏南通市通州区金沙中学 戴培红

解析几何二轮复习的一些建议

江苏南通市通州区金沙中学 戴培红

解析几何是中学数学的难点和重点，对于高考应试要求来说，解析几何的难度稳中有升，考查学生转换问题的能力和运算能力，成为数学学习的难点。

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众所周知，二轮复习是提高学生核心复习的重要环节，在二轮复习中，很多知识以专题、整合、综合的形式出现，并注重了核心考点的梳理，从而成为复习教学的关键。近年来，解析几何板块在高考应试中的地位呈现稳定趋势，一般而言以三小题一大题的模式出现，分值基本稳定在30分左右。二轮复习中解析几何应该重点关注什么呢？如何复习才是高效的呢？笔者就多年教学经验，结合近年热点给出一些自己的想法和建议，旨在抛砖引玉。

一、重视定义，关注本质

为什么称之为解析几何？为什么称之为圆锥曲线？笔者认为仅仅就这两个名称，还有很多学生并不了解。之所以称之为解析几何，是因为从椭圆、双曲线、抛物线问题的解决角度入手，用坐标化的方式解决了几何图形的问题，将几何问题用代数方式进行了解析，所以叫解析几何。圆锥曲线就更有意思了，古希腊数学家在沙滩上用平面截圆锥，得到了各种截口曲线，恰为圆、椭圆、双曲线、抛物线，因此截口圆锥曲线就此得名（如下图）。复习解析几何对于学生而言，要进行定义的理解和解析化思想渗透，因此二轮复习首要的关注点即在此。

（截口椭圆）

（截口抛物线）

（截口双曲线）

问题1：如右图，AB是平面α外固定的斜线段，B为斜足。若点C在平面α内运动，且∠CAB等于直线AB与平面α所成的角，则动点C的轨迹为_______________。

分析：对于圆锥曲线本质不理解的学生，初识本题学生往往是一片茫然，这样的试题往往是考查学生对于圆锥曲线概念的理解程度，有深刻的理解才有清晰的思路。思考本题，不妨首先抽去平面α，AB作为定直线可以看成轴，空间直线AC与轴AB成固定角度，因此动点C在空间的轨迹是以AB为轴的圆锥母线上的点，此时圆锥已经形成，将平面如上图插入，考虑到题意中“∠CAB等于直线AB与平面α所成的角”，显然平面α与圆锥的某一母线是平行的，故截口曲线是抛物线。

说明：关注概念是二轮复习的重中之重，圆锥曲线怎么考？万变不离其宗——概念！是考查感官定义，还是更为深刻的本质理解？笔者认为二轮复习要在数学本质的角度多加思考，因为感官定义学生掌握程度是比较熟练的，因此关注本质是二轮复习的重要方向。

二、积累性质，化繁为简

解析几何中有很多值得积累的性质，这些性质往往存在于很多动态性的问题之中，其研究问题的方式也是学习的关键。比如最简单的性质研究∶椭圆上动点与两焦点组成的三角形周长为定值，这是借助椭圆定义得到的；双曲线焦点三角形内心横坐标为定值，也可以利用双曲线定义证明；抛物线过焦点的直线存在很多相关重要性质等等。对于学生而言，积累一定的解析几何性质是学习的必备途径，它可以让解决解析几何问题来得更为高效一些。

分析：初识本题，定然觉得本题是非常难的运算问题。但是有性质依托下的思考，是解决本题烦琐运算的关键。我们知道，对于椭圆和双曲线的顶点存在重要的几何性质，以双曲线为例：A1、A2为实轴端点，P点为双曲线上的动点，则不难证明直线PA1、PA2的斜率之积为定值。如果掌握类似的性质，本题可以说几乎是秒杀问题，由上可知，又点P为双曲线第一象限内的动点，则，又因为可以取遍，因此，离心率可得。

说明：本题是笔者原创问题，在测试中，笔者发现不少学生对于平时所学的几何性质并不重视积累，导致其学习无法去繁从简，从而复习并不高效。二轮复习中加强性质的积累是重中之重。

三、转换方式，综合知识

解析几何的很多问题是转化，是几何问题的代数转化。二轮复习中，教师要引导学生加强转化方式的训练，这是体现综合知识的一种能力。比如倾斜角之和互补为本的几何问题，是典型的斜率代数运算；在问题中直角的几何考虑，可以使用向量数量积代数运算求解等等。举一个案例：

总之，二轮复习解析几何中主要围绕上述三方面展开，从基本概念的深化到性质的积累，再到综合转化方式的巩固是二轮复习解析几何中的重要部分，可以通过三方面专题方式的回顾加强学生二轮复习的有效性。

[1]刘见乐.解析几何教学中的几个关注点[J].中国数学教育，2013（5）.

[2]罗增儒.数学解题学引论[M].陕西师范大学出版社，2002.